高三数学教案：小结与复习(二)

1、课题 ： 小结与复习 (二 )教学目的：1. 一步巩固求极限的基本方法，数学 法.2.利用函数极限存在，解 .3.利用函数的 性，解一些 目教学重点： 求解数列或函数的极限 .教学 点： 极限的求解 . 数学 法的 用 .授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 内容分析 ：极限是描述数列和函数在无限 程中的 化 的重要概念. 并且与我 下一章要学 的 数有密切的关系. 学 极限概念要注意体会 象的 化 律，数列或函数有极限，意味着它 在 化中无限 近于一个常数，所以我 要以运 的眼光来看待事物，要把握运 状 中的不 量 . 本 ，先本看一个用数学 法来 明的一个例子， 然极限是

2、本章的主要内容， 但数学 法 种方法也要掌握，特 是一些与n 有关的 目， 用数学 法 明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些 目， 一步巩固一下求极限的一些方法.教学 程 ：一、 解范例：例 1已知数列1 ,17,1,11),144710(3n2)(3n(1) 算 s1，s2， s3， s4.(2)猜想 sn 的表达式，并 明.(3) lim sn.n解： (1)s1=114.14s2=117121447287s =2120133771070104313914s =101013130.13(2 )解：通 是以 3n 2，3n+1 两数乘 分母的，而我 看到，在表示上面四个 果的分数中，分子

3、可用 数 n 表示，分母可用 3n+1 表示，于是可猜想 .sn =1111n447710(3n2)(3n1)3n11第 1页共 8页证明方法一 :用数学归纳法证明如下：1111等式成立 .1 当 n=1 时， s =443111k2假设当 n=k 时等式成立 .即 sk=.3k1当 n=k+1 时 .sk 11114(3k2)(3k1) (3k 1)(3k4)1sk1k11)(3k4)3k1(3k1)(3k4)(3kk(3k4)13k 24k1(3k1)(3k4)(3k1)(3k4)(3k 1)( k 1)k1(3k1)(3k4)3k4k 13(k 1) 1当 n=k+1 时，等式也成立.

4、sn=n(n n* )13n证明方法二：(3n11)1 (121)2)(3n33n3n1 sn11111447710(3n2)(3n1)11)1 11111)111)(14(4)3(23n3377103 3n11 (111111121)34477103n3n11 (11)13n33n133n1n3n1 sn=n13n第 2页共 8页(3)解: lim snlimnlim113n113nnn3n例 2已知下列极限，求a 与 b.(1) lim ( x21axb0)x x 1(2) lim ( x2x1axb)0x(3) limxab12xx1分析：此题属于已知x 趋向于 x0(或无穷大 )时，函

5、数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型 .上边三个小题都不能简单地将x=x0 直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的 x 不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将 x=1 代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键， 是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a， b 的值 .解： (1) lim ( x21axb)lim (1 a) x2(ab)x (1 b)xx1xx1(1a) x(a b)1blimx1x1x1 如果 1 a 0， lim 10, lim 1b0xxxx(1 a) x (a1 bb) limx1

6、1xx不存在 .2 如果1 a=0，(1a) x (a b)1bx(ab) 0 lim1x101x= (a+b)=0即 a+b=0第 3页共 8页1a0a1b0b1a解： (2)lim ( x2x1axb)xlim (x2x1axb)(x2x 1ax bxx2x1axblim x2x1(axb)2xx2x 1axb(1 a2 )x2(12ab) x(1b2 )lim2xxx1axb(1 a2 )x(12ab)1b2lim11bx0x1axx2x要使极限存在 1a 2=0.(1a2 )x(12ab)1b2(12ab) limx0x111ab1axx2x即 1+2ab=0，a+1 0.1a20a1

7、 12ab0b1a102解： (3) limxablim ( xab)(xa b)x 1x21x1( x21)( xab)limxa b2( x21)(xab)x 1limxab2( x1)( x1)(xab)x 1当 x1 时xab2极限存在，则分子、分母必有公因式 x 1.1)( x1)(xa( xb)ab 2= 1原式 =lim1112( 1 a b)x 1 (x 1)( x a b)第 4页共 8页ab21a15116112(1ab)b4说明：第一题是分子分母同除以x 的较低的幂， 第二题是分子有理化，和第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方

8、法是分子、分母同除 x 的最高次幂， 但像第一题， 因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x2，则分子极限为 0 ，不符合，所以通分后，应除以分子分母中 x 的较低次幂 .并且 x 的次数比分子 x 的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样极限才存在 .2x 23x2例 3 f(x)=2求 a，使 lim f(x)存在 .3xax2x2解：要使 lim f(x)存在，则 lim f(x)与 limf(x)要存在且相等 .x 2x2x 2limf(x)=lim(2x2 3)=2 22 3=5.x2x2limf(x)=lim(3x2+a)=3 22+a=12+a.x2x2 5=12+a.a= 7

9、2x1(x0)例 4 设函数 f(x)=a(x0) ，在 x=0 处连续，求 a，b 的值 .b (1 x1) (x0)x分析：要使f(x)在 x=0 处连续，就要使f(x)在 x=0 处的左、右极限存在，并且相等，等于 f(x)在 x=0 处的值 a.解： lim f(x)= lim b (1x 1)x0x0xlimb(1x1)(1 x1)x 0x(1x1)limb(1x1)limbbx 0 x( 1x 1)x 01 x 12lim f(x)= lim (2x+1)=2 0+1=1x0x0baa12b21a第 5页共 8页说明：这类连续的题目，也关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点

10、的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的二、课堂练习：1 lim ( 13)2x( 12)3 x0xx解： lim ( 13)2x( 12)3 x0xx(1 3x) 2(1 2x)31 6x 9x2(1 6x 12 x28x3 )lim2lim2x 0xx 0xlim3x28x3lim( 38x)3x2x 0x 02. lim (n21n) 2n3n61解： lim (n21n)2n3n61n2 1 n22n n212n2 1 2n n2 1lim36lim36n1n1nn21211n2n2202lim4.1n3 11n63.lim sin x n(m， n 为自然数 )x 0 sin

11、m xsinxnnsinxnn msinxnlimxnxlimxnx解： limmxsinx mx0 sinm xx0 sinxmx 0xm()x当 n m0 时，即 nmlim xnm =0x0当 n m=0 时，即 n=mlim x nm =1x0当 n m0 时，即 nmlim ( 1) mn 不存在 .x0xlim sinxnlimxn mx 0xnx 0limxn mlim(sinx)mx 0x0x第 6页共 8页当 n m 时， lim sin x n=0；当 n=m 时， lim sin xn=1；x 0 sin m xx 0 sin m x当 n m 时， lim sin x

12、n 不存在 .x 0 sin m xn1 mx14. limx(m， n n* ， n 正奇数 )x 0n1 mx1解：方法一： limxx0lim ( n 1 mxn1)( n 1 mx ) n 1x 0x(1mx )n 1(n1( n 1 mx )n 2ln 1 mx 1mx )n 2ln 1mx 1lim( n 1mx)n1x( n 1mx ) n 1( n 1mx )n2ln 1mx1x 0lim1mx 1x( n 1mx ) n 1( n 1mx )n2ln 1mx1x 0limmmm(n 1 mx)n 2n 1 mx 1 1 11 nx 0 (n 1 mx)n 1n个因为这里的 m

13、，n 是确定数，不是无限数，所以在分母上，可以用函数极限的四则运算法则 .方法二：设 n 1mx =y，则 x= 1(yn 1)m当 x 0 时， y 1.n1mx1limy1m( y1) limx1limyn 2l 1)x 0y 1n1)y 1 ( y 1)( yn 1( ymlimmmmyn 2l 1 1 1 l1 ny 1 yn 11 4 2 4 3n个5.数列 a 满足 lim (2n 1)a =2.求 lim (na )nnnnn解： lim(nan)=n = lim (2n 1)an limnlim (2n1)an12n1nn2nnn第 7页共 8页=2 lim1211.n122n6.求下列极限： limtan 2xxcot( x)44sin 2x sin( x)sin 2x sin