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文档简介
1、西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目: 组 合 数 学 考试日期: 考试时间: 120 分考试方式: 闭卷 任课教师: 学生姓名: 学 号: 注意,请先阅读完题目后面的要求后再答题。一、 (10分)请计算多项式的展开式中和两项的系数。二、 (10分)满足不定方程62的整数解共有多少组?其中要求,。三、 (10分)一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间,而且每天至少工作5小时,最多工作10个小时。问共有多少种不同的安排方案?假设一周有5个工作日。四、 (10分)把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友,且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么,有多少种不同的分法?。
2、五、 (10分)求递推关系的通解。六、 (10分)某人有99根相同的铅笔,他每天送给某个小朋友一根或两根,那么他可以有多少种方式把这99根铅笔送完?七、 (10分)某班的学习委员给大家发英语作业本,不小心发乱了。(1)结果没有一个同学同时拿到了自己的作业本。问出现这种分发结果的可能性有多少种?(2)若至少有两人拿到了自己的作业本,问出现这种分发结果的可能性又是多少?八、 (10分)某班同学选修外语课,可选的外语语种有英语、法语和德语。其中有14人选学英语,12人选学法语,6人同时选法语和英语,5人选学德语和英语,还有2人同时选了这三种外语,而6个选德语的同学每人包括德语在内都至少选了两种外语。
3、问该班至少有多少名学生?九、 (10分)在一个边长为n的正方形中至少选取多少个点,才能保证在以这些点为顶点的各个三角形中,至少有一个三角形的面积不大于二分之一?并证明你的结论。十、 用红色和蓝色两种颜色对一个正六面体的八个顶点进行染色,使其中有3个顶点染红色,其余5个顶点染蓝色,且六面体可以做任何能使得图形重合的刚体运动,求不等价的染色方案数。其中正六面体的8个顶点的置换群Q的轮换指标为。要求:(1) 请在试题和试卷上写上学号和姓名;(2) 请给出每一个问题的具体解答过程;(3) 考试时允许携带计算器;(4) 所有的答案都要按顺序写在试卷上;(5) 请按题目的顺序书写答案;(6) 请将试题夹在
4、自己的试卷中一并交回;(7) 对于计算题,当计算结果较大时,不要求计算出具体的数字,只要给出答案的表达式即可,如答案为15或20!38!等。请浏览后下载,资料供参考,期待您的好评与关注!一、 (10分)请计算多项式的展开式中和两项的系数。 22680 5分 22680 5分二、 (10分)满足不定方程62的整数解共有多少组?其中要求,。 做变换3, 5, , 2分 原方程化为60 2分 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 3分 答案为 2分 结果为39711 1分三、 (10分)一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间,而且每天至少工作5小时,最多工作10个小时。问共有
5、多少种不同的安排方案?假设一周有5个工作日。 分析问题,写相应的(普)母函数 4分 母函数展开得 5676 4分(12x3456)(系数对称)(13x61015212527)(14x1020355680104125140146)(14x1020355680104125140146) (15x1535707805)51535707805 答:共有780种选法 2分四、 (10分)把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友,且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么,有多少种不同的分法?方法I:用母函数 分析问题,写相应的(指)母函数 4分 母函数展开13794200 4分 答:共
6、有79种分法 2分方法II:用排列 每个小朋友无上限,有=81种分法 4分 不符合要求的分法有甲或乙独分4颗2种情况 4分 所有有81-2=79种分法 2分五、 (10分)求递推关系的通解。 特征方程0 3分 特征根 q1,1,1,1 3分 通解 3分 其中A、B、C、D为任意常数 1分六、 (10分)某人有99根相同的铅笔,他每天送给某个小朋友一根或两根,那么他可以有多少种方式把这99根铅笔送完? 设送完n根铅笔的不同方式共有种,分析问题 3分分两种可能的情况:(1)第1天送1根,此类方式共有种;(2)第1天送2根,此类方式共有种。 建立递推关系 3分 解得 2分 答: 2分七、 (10分)
7、某班的学习委员给大家发英语作业本,不小心发乱了。(1)结果没有一个同学同时拿到了自己的作业本。问出现这种分发结果的可能性有多少种?(2)若至少有两人拿到了自己的作业本,问出现这种分发结果的可能性又是多少?第(1)问: 分析问题,设全集S和子集(i1,2, ,n) 2分设全部分配方案组成集合S,第i个人拿到自己作业本的所有分配方案构成集合。 计算 n!,(nk)! 2分 由逐步淘汰原理计算结果 2分或进一步Ln!(错排数)第(2)问: 设,计算(与第(1)步相同) 2分 计算结果 2分n!n!n!n(n1)! 或进一步n!2n!n!n!八、 (10分)某班同学选修外语课,可选的外语语种有英语、法
8、语和德语。其中有14人选学英语,12人选学法语,6人同时选法语和英语,5人选学德语和英语,还有2人同时选了这三种外语,而6个选德语的同学每人包括德语在内都至少选了两种外语。问该班至少有多少名学生? 方法I 设集合A、B、C和S,确定已知条件 3分设集合A、B、C分别为选英语、法语和德语的学生,SABC,则14,12,6,6,5,2,0 画图描述(见图(a),或推导3 4分 计算结果 3分(14126)(653)220 (a) (b)方法II 设集合A、B、C和S,确定已知条件 3分设集合A、B、C分别为选英语、法语和德语的学生,SABC,则14,12,6,6,5,2, 0 画图,推导出图(b)中的每一部分 4分624,523,()6321,14(423)5,12(421)5 计算 3分550431220九、 (10分)在一个边长为n的正方形中至少选取多少个点,才能保证在以这些点为顶点的各个三角形中,至少有一个三角形的面积不大于二分之一?并证明你的结论。 答:需要21个点 4分 证明 6分将原正方形等分为大小相等的边长为1的小正方形,由抽屉原理,至少存在一个小正方形,其内部有3个点,那么此3点构成的三角形的面积不超过小正方形的面积的二分之一,即其面积12。
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