最新微积分基础国家开放大学第3章第1节函数的单调性

1、3.1函数的单调性与导数(一),1.单调性的定义,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,一、知识回顾：,2.判断函数单调性的方法,比如：判断函数 的单调性。,减,增,如图：,发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们考察单调性与导数有什么关系?,这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,分析: 该函数在区间 （

2、，2）上切线斜率小于0,即其导数为负,这时函数在（，2）上单调递减； 在区间（2，+）上切线斜率大于0,即其导数为正，这时函数在（，2）上单调递增。 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,函数单调性与导数正负的关系,一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,例1、已知导函数 的下列信息：,当10; 当x4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。,A,B,C,D,D,求函数 的单调区

3、间。,变1：求函数 的单调区间。,理解训练：,解：,的单调递增区间为,单调递减区间为,变3：求函数 的单调区间。,解:,解:,注意:单调区间不可以并起来.,例3、判断下列函数的单调性，并求出 单调区间：,(1) f(x)=x3+3x ;,解： =3x2+3=3(x2+1)0,从而函数f(x)=x3+3x 在xR上单调递增， 见右图。,(2) f(x)=x2-2x-3 ;,(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,(2) f(x)=x2-2x-3 ;,解： =2x-2=2(x-1),图象见右图。,当 0，即x1时，函数单调递增；,当 0，

4、即x1时， 函数单调递减；,(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),解： =cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减， 见右图。,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4),当 0， 即 时， 函数单调递增；,图象见右图。,当 0， 即 时， 函数单调递减；,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,

5、那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,练习,2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状,一、求参数的取值范围,增例2：求参数范围,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,增例2：,在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,增例2：,本题用到一个重要的转化：,例3：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。,作业： 已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。,(1)函数单调性与导数正负的关系,课堂小结,(2)利用导数研究函数单调性的步骤,总