【数学】2011版《3年高考2年模拟》： 第8章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用

第三节 空间向量在立体几何中的应用 第一部分 三年高考荟萃 2010 年高考题 一、选择题 1.（2010 全国卷 2 理） （11）与正方体 1ABCD的三条棱 AB、 1C、 D所 在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线 上取一点，分别作 垂直于 于 则 分别作 ，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线 定理可得，PN PM ；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 ，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC 1、A 1D1.所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D. 2.（2010 辽宁理）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条， 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0, 62） (B)（1, ） (C) ( , ） (D) （0, 2） 【答案】A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可以取最大值，可知 AD= 3，SD= 1a，则有 210; 综上分析可知 a（0, 62） 3.（2010 全国卷 2 文） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC 1、A 1D1所在直线的 距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， 三个圆柱面有无数个交点， 4.（2010 全国卷 2 文） （8）已知三棱锥 SABC中，底面 为边长等于 2 的等边三角 形， SA垂直于底面 BC， =3，那么直线 与平面 S所成角的正弦值为 （A） 34 (B) 54 (C) 7 (D) 3 【答案】D 【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF 面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3， 3AE，AS=3， SE=23，AF= ， A BC S E F 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ A B CD A1 B1 C1D1 O 3sin4ABF 5.（2010 全国卷 1 文） （9）正方体 ABCD- 1中， 1B与平面 1ACD所成角的余弦 值为 （A） 23 （B） 3 （C） 23 （D） 6 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求 法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的 具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B 1与平面 AC 1所成角和 DD1与平面 AC 1D所成角相等,设 DO平面 AC ，由等体积法得1ACADV ,即 1 133ACACDSOS.设 DD1=a, 则 1 221 3sin60()2Saa , 21ACDSa. 所以 1 32ACDO ,记 DD1与平面 AC 1所成角为 ,则1sin3 ,所以 6cos3. 【解析 2】设上下底面的中心分别为 1,O； 1与平面 AC 1D所成角就是 B 1与平面 AC1D 所成角， 11 6cos/32D 6.（2010 全国卷 1 理） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B) 43 (C) 3 (D) 83 7.（2010 全国卷 1 理） （7）正方体 ABCD- 1ABCD中， B 1与平面 AC 1D所成角的余弦值 为 （A） 23 （B） 3 （C） 23 （D） 6 8.（2010 四川文）（12）半径为 R的球 O的直径 AB垂直于平面 a，垂足为 B，BCD 是平面 a内边长为 的正三角形，线段 C、A 分别与球面交于点 M、 N，那么 、 两点间 的球面距离是 （ A） 17arcos25R （ B） 18arcos25R （ C） 3 （ D） 4 【答案】A 【解析】由已知， AB2 R,BC R,故 tan BAC 12 cos BAC 5 连结 OM，则 OAM 为等腰三角形 AM2 AOcos BAC 45R，同理 AN 45R，且 MN CD 而 AC R,CD R 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 故 MN： CD AN:AC MN 45R， 连结 OM、 ON，有 OM ON R 于是 cos MON 22175OMNA 所以 M、 N 两点间的球面距离是 arcos 二、填空题 1.（2010 江西理）16.如图，在三棱锥 OABC中，三条棱 OA，OB ， C两两垂直，且 ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 1S， 2，3S ，则 1， 2， 3S的大小关系为 。 【答案】 1 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论， 特殊化，令边长为 1，2，3 得 321S。 2.（2010 北京文） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是()f ，则 ()f的最小正周期为 ；yx 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 。 【答案】4 1 说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向 滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针 旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 3.（2010 北京理） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 ()yf，则 AB()fx的最小正周期为 ； ()yfx在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 【答案】4 1说明：“正方形 PABC 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 轴负方向滚动。4.（2010 四川文） （15）如图，二面角 的大小是 60，线段 . ，lAl与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 .ABlAB 【答案】 34 【解析】过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连结 AD，有三垂线定理可知 AD l，故 ADC 为二面角 的平面角，为 60 又由已知， ABD30连结 CB，则 ABC 为 与平面 所成的角AB 设 AD2，则 AC ， CD13 AB 40sinAD sin ABC CB 5.（2010 湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相 同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如 图所示） ，则球的半径是_cm. 【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由 可得 ,解3V和和3322486rr 得 r=4. 6.（2010 湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 的几何体的三视3cm 图，则 hcmABCD 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 7.（2010 湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三 个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的 球（如图所示） ，则球的半径是 cm。 【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由 可得3V和和3 ,解得 r=4.322486r 8.（2010 福建理数） 12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】 6+23 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 ，侧面积为 ，所以其表面积为 。43166+23 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基 本能力。 三、解答题 1.（2010 辽宁文） （19） （本小题满分 12 分） 如图，棱柱 1ABC的侧面 1BC是菱形，1B （）证明：平面 1平面 1A； （）设 D是 AC上的点，且 /B平面 1CD，求1: 的值. 解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 11 又已知 CACB1,且 所又 1平面 A1BC1，又 平面 AB1C ， 所以平面 平面 A1BC1 . （）设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE， 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线， 因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE. 又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点. 即 A1D：DC 1=1. 2.（2010 辽宁理） （19） （本小题满分 12 分） 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. （）证明：CMSN； （）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明： 设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系 如图。 则 P（0,0,1） ，C（0,1,0） ，B（2,0,0） ，M（1,0, 12） ，N（ ,0,0） ，S（1, 12,0）. 4 分 （） 11(,),(,0)22MSN, 因为 C， 所以 CMSN 6 分 （） 1(,0)2N , 设 a=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量， 则 10,22.xyzx令 ， 得 a=(,1-). 9 分 因为 12cos,3aSN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。 12 分 3.（2010 全国卷 2 文） （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B C 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3 EB 1 （）证明：DE 为异面直线 AB 与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC -B1的大小 【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识。 （1）要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线，即证明 DE 与它们都垂直，由 AE=3EB1，有 DE 与 BA1 平行，由 A1ABB1 为正方形，可证得，证明 CD 与 DE 垂直，取 AB 中点 F。连结 DF、FC，证明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。 （2）由条件将异面直线 AB1，CD 所成角找出即为 FDC，设出 AB 连长，求出所有能求出 的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。 4.（2010 江西理）20. （本小题满分 12 分） 如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面 BCD，AB 平面 BCD， 3AB。 （1） 求点 A 到平面 MBC 的距离； （2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二 面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一：（1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD.又平面 MCD平面 B,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、 B、 O、 M 共面.延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角. OB=MO= 3， MO AB，MO/面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等， 作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得： OH=OCsin600= 32,MH= 15,利用体积相等得： 215AMBCAVd。 （2） CE 是平面 ACM与平面 BD的交线. 由（1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形. 作 BF EC 于 F，连 AF，则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60. sin603BC ，ta2AF ， 5i 所以，所求二面角的正弦值是 2. 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、 垂线、平行线等特殊位置的元素解决 解法二：取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD，又平面MCD 平面 B,则 MO平面 BCD. yx M D C B O A z 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图. OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0，0，0） ， C（1，0，0） ， M（0，0， 3） ， B（0，- ，0） ， A（0，- 3，2 ） ， （1）设 (,)nxyz是平面 MBC 的法向量，则 B=(,3)，,3M ，由 BC得 0xy；由 n得 0yz；取()(0,23)A ，则距离15Bnd （2） (,03)CM， (1,32)C. 设平面 ACM 的法向量为 1,)nxyz，由 1nCMA 得 302xzy.解得3xz ， y，取 1(3,.又平面 BCD 的法向量为 (,1)，则11cos,5n 设所求二面角为 ，则 215si(). 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计 算必须慎之又慎 5.（2010 重庆文） （20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ） 如题（20）图，四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， PA底面 BCD，2PAB ，点 E是棱 的中点. （）证明： 平面 ； （）若 1，求二面角 的平面角的余弦值. z 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 6.（2010 浙江文） （20） （本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点， 将ADE 沿直线 DE 翻折成ADE，使平面 A DE平面 BCD，F 为线段 AC 的中点。 （）求证：BF平面 ADE； （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平 面 ADE 所成角的余弦值。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 7.（2010 重庆理） （19） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 如题（19）图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 底面 ABCD，PA=AB= 6，点 E 是棱 PB 的中点。 （I） 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； （II） 若 AD= 3，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 8.（2010 北京文）(18) （本小题共 14 分） 设定函数 32()(0)afxbxcda，且方程 ()90fx的两个根分别为 1，4。 （）当 a=3 且曲线 ()yf过原点时，求 ()f的解析式； （）若 ()fx在 ,无极值点，求 a 的取值范围。 解：由 32abcd 得 2()fxbxc 因为 2()990fxx 的两个根分别为 1,4，所以 29016836abc （*） （）当 3a时，又由（*）式得 26810bc 解得 ,12bc 又因为曲线 ()yfx过原点，所以 d 故 32()fx （）由于 a0,所以“ 32()afxbxc在（-，+）内无极值点”等价于“2()0fxabc 在（-，+）内恒成立” 。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 由（*）式得 295,4bac。 又 ()4(1)9 解 09()0a 得 1,a 即 的取值范围 1, 9.（2010 北京理） （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂 直， CEAC,EFAC,AB= 2， CE=EF=1. （）求证： AF平面 BDE； （）求证： CF平面 BDE； （）求二面角 A-BE-D 的大小。 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF/AG，且 EF=1，AG= 12AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF/平面 EG， 因为 EG平面 BDE，AF 平面 BDE， 所以 AF/平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CEAC， 所以 CE 平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz. 则 C（0，0，0） ，A（ 2， ，0） ，B（0， 2，0）. 所以 (,1)F， (,1)E，(2,01)DE . 所以 01CFBEA, 10CFDEA 所以 , . 所以 BDE. (III) 由（II）知， 2(,1)CF是平面 BDE 的一个法向量. 设平面 ABE 的法向量 ,nxyz,则 0nBA， E. 即 (,)2,01)xyzA 所以 ,且 ,y 令 1y则 2z. 所以 (0,)n. 从而 3cos,2|nCFA。 因为二面角 BED为锐角， 所以二面角 的大小为 6. 10.（2010 广东文）18.（本小题满分 14 分） 如图 4，弧 AEC 是半径为 a的半圆，AC 为直 径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB= a5 （1）证明：EB FD （2）求点 B 到平面 FED 的距离. （1）证明： 点 E 为弧 AC 的中点 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 11.（2010 福建文）20 （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ， 且 EH/A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G。 （I）证明：AD/平面 EFGH； （II）设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记 该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在棱 A1B1, B1B 上运动 且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 12.（2010 湖南理） 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 13.（2010 江苏卷）16、 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90 0。 (1)求证：PCBC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几 何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC。 由BCD=90 0，得 CDBC， 又 PDDC=D，PD、DC 平面 PCD， 所以 BC平面 PCD。 因为 PC 平面 PCD，故 PCBC。 （2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2。 （方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 ABDC，BCD=90 0，所以ABC=90 0。 从而 AB=2，BC=1，得 BC的面积 1ABCS。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 133ABCVSPD。 因为 PD平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PDDC。 又 PD=DC=1，所以 2PCD。 由 PCBC，BC=1，得 B的面积 2PBCS。 由 APBCAV， 1133PChVA，得 h， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2。 2009 年高考题 一、填空题 1.若等边 ABC的边长为 23，平面内一点 M满足 1263CBA，则 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ MAB_ 2在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_。 【解析】设 (0,)y由 224(3)1y可得 故 (0,1) 【答案】(0,-1，0) 二、解答题 3.（本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中 点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD 平面 CDE； （III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系， 点 A为坐标原点。设 ，1AB依题意得 ， 0， 1C ， 02D ， 1E ， 10F.2M， （I） ，解 ： 10BF ， 10DE .2cos，于 是 所以异面直线 F与 所成的角的大小为 06. （II）证明： ，由 21AM ， 1CE 0AMCE02AD， 可 得， ， .DM0DCE 平 面， 故又，因 此 ， .平 面， 所 以 平 面平 面而 （III） .0D)(CDEEuCzyxu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面 .1(1.0）， 可 得令，于 是 xzy 又由题设，平面 AC的一个法向量为 ).0，v.310cosvu，所 以 ， 4 （本题满分 15 分）如图，平面 PAC平面 B， AC 是以 AC为斜边的等腰直角三角形， ,EFO分别为 P，PB ， 的中点， 16， 10 （I）设 G是 O的中点，证明： /G平面 ； （II）证明：在 内存在一点 M，使 平面 BE，并求点 M到 OA， 的距离 证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x轴，y 轴， z轴，建立空间直角坐标系 O xyz， 则 0,(,80)(,)(0,8)OABC(,6)(0,43)P,0F，由题意得，4G 因 43E ，因此平面 BOE 的法向量为 (3,4)n ，(,3F 得 nFG，又直线 F不在平面 BE内，因此有 /G平面 BOE 6.（本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为 AB，DF 的中点 。 （I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 MN=(-1,1,2). 又 DA=（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量， 可得 cos( MN, DA)= 36| AN 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 cos 36,DAMN 6 分 ()假设直线 ME 与 BN 共面， 8 分 则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。 又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线， 所以 AB/EN。 又 AB/CD/EF， 所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分 7.（13 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MDABC平 面 ，NBACD平 面 ，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点 （1） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （2） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES 平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 Dxyz 依题意，得 1(0,)(1,(0,1)(,)(1,0)(,0)2AMCBNE。2NE 10cos,|NEAM， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 10.A （2）假设在线段 AN上存在点 S，使得 E平面 AN.(0,1) , 可设 (,)S 又 1(, (,)22EAESA. 由 S平面 MN，得 0, 即 0,(1). 故 12，此时 12(0,)|2AS. 经检验，当 S时， E平面 AMN. 故线段 AN上存在点 ，使得 S平面 ，此时 2S. 8.（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 1BCA中， ,BACD、 E分别为 1A、 BC的中点，DE 平面 1 （I）证明： A （II）设二面角 BDC为 60，求 1B与平面 C所成的角的大小。 分析一：求 1与平面 所成的线面角，只需求点 1到面 BD的距离即可。 19 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分） 如题（19）图，在四棱锥 SABC中， A且 C； 平面 CSD平面 ， ,2D； E为 BS的中点，2,3EA 求： 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ （）点 A到平面 BCS的距离； （）二面角 ED的大小 （）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空 间坐标系，设 (,)Axyz，因平面 ,OABCDACOD平 面 故 平 面 即点 A 在 xoz 平面上，因此 01Azuv， 又 2213,0xSxuv从 而 （ ， ， ） 因 AD/BC，故 BC平面 CSD，即 BCS 与平面 yOx 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为 2Ax. ()易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点. BCS 为直角三角形 , 知 2BSCEuv 设 B(0,2, Z)， B0，则 AZ2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） . 在 CD 上取点 G，设 G（ 1,xy） ，使 GECD . 由 1(2,)(,)CDECDGuvuvuv故10xy 又点 G 在直线 CD 上，即 /Gv，由 v =（ 1,20xy） ，则有 12xy 联立、，解得 G 24(,0)3 , 故 Euv=(,1).又由 ADCD，所以二面角 ECDA 的平面角为向量 GEuv与向量DA 所成的角，记此角为 . 因为 Guv= 23， (0,1),1ADGuvu,所以 3cos2GEDAuv 故所求的二面角的大小为 6. 作 B于 ，连 C，则 GBD， AC为二面角 BDC的平面角，0AGC .不妨设 23A，则 2,4.在 RT中，由D ，易得 6. 设点 1B到面 的距离为 h， 1BC与平面C 所成的角为 。利用133BBCDSES ，可求得 23，又 可求得 4 1sin0.h 即 1与平面 所成的角为 3. 分析二：作出 BC与平面 D所成的角再行求解。如图可证得 BCAFED面 ，所 以面 AFE面 。由分析一易知：四边形 AFED为正方形，连 、 ， 并设交点为 O，则 面 ， OC为 在面 内的射影。C即 为 所 求 。以下略。 分析三：利用空间向量的方法求出面 BD的法向量 n，则 1BC与平面 D所成的角 即为 1B与法向量 n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁 江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 9 （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，D底 面 ，点 E 在棱 PB 上. （）求证：平面 P平 面 ； 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ （）当 2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 . 【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz， 设 ,ABaPh 则 00,0,CaPh， （） ,CDhBa， ,AP， ACDP，ACDB，AC平面 PDB， 平面 ECB平 面 . （）当 2PDA且 E 为 PB 的中点时， 120,2,PaEa， 设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， 122,0,2EAaaEa， cosO， 45AE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45. 10.（本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分） 如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中， AB/DC，BAD= 2 ，CD=AD=2.，四边形 ABFE 为平行四边形，FA 平面 ABCD，FC=3，ED= 7，求： （）直线 AB 到平面 EFCD 的距离： （）二面角 F-AD-E 的平面角的正切值， 18.（本小题满分 12 分） 如图 4，在正三棱柱 1ABC中， 2AB D 是 1AB的中点，点 E 在 上，且 DE。 （I） 证明平面 平面 1 （II） 求直线 和平面 ABC所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱 1ABC的性质知 1A平面 1BC 又 DE平面 A 1B C ，所以 DEAA . 而 DEAE。AA AE=A 所以 DE 平面 AC C 1A ，又 DE平面 ADE，故平面 ADE 平面 AC C 1A 。 解法 2 如图所示，设 O 使 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A 1= ，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3，0，0） ， C 1（0，1， 2） ， D（ 3，- 21， ） 。 易知 A=( ，1，0)， 1A=(0，2， )， A=( ，- ， ） 设平面 ABC 1的法向量为 n=（x，y，z）,则有,0231zyACnxB 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 解得 x=- 3y， z=- 2， 故可取 n=(1，- ， 6)。 所以， cos(n AD)= n= 3102= 5。 由此即知，直线 AD 和平面 AB C 1所成角的正弦值为 10。 11.（本小题满分 12 分） 如图 3，在正三棱柱 ABC- 1AB中，AB=4, A 1= 7,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE1E （）证明：平面 D平面 1C; （）求直线 AD 和平面 1A所成角的正弦值。 解法 2 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是 A(2,0,0,), 1A.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0) 易知 1AB=（-3， 3，- ） ， DE=（0，- ，0） ， AD=（-3， 3，0） 设 n=（x，y，z）是平面 1DE 的一个法向量，则 13070nDEyAxzuv 解得 7,03xzy 故可取 n=（ ,0,-3， ）于是 = 372184 由此即知，直线 AD 和平面 1ADE 所成的角是正弦为 12 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 PBCD中，底面 B是矩形， PA平面 BCD， 4PA，2AB . 以 的中点 O为球心、 A为直径的球面交 于点 M，交 于点 N. （1）求证：平面 AM平面 P； （2）求直线 与平面 所成的角的大小； （3）求点 N到平面 C的距离. 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， (,04)P，(,0)B ， (2,40)C， (,)D， 2M；设平面 CM的一 cos,nADurr y x z D M CB P A NO 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 个法向量 (,)nxyz，由 ,nACM可得： 240xyz，令 1，则(2,1) 。设所求角为 ，则 6sin3D， 所以所求角的大小为 6arcsi3。 （3）由条件可得， ANC.在 RtPA中， 2PNC,所以 83,则103NCP , 59，所以所求距离等于点 到平面 AM距离的 59，设点 到平面 M距离为 h则 263n ，所以所求距离为 5106h927。 19（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互 相垂直， E是等腰直角三角形，,45F （I）求证： B平 面 ； （II）设线段 CD的中点为 P，在直线 AE上是否存在一点 M，使得 PBCEA平 面 ？ 若存在，请指出点 M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角 FB的大小。 ()因为ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AEAB. 又因为平面 ABEF平面 ABCD,AE平面 ABEF, 平面 ABEF平面 ABCD=AB, 所以 AE平面 ABCD. 所以 AEAD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1，B（0，1，0） ，D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, AEF = 45, 所以AFE= 90. 从而， 1(0,)2F. 所以 E, (0,1)BE, (,0)C.B , F. 所以 EFBE, EFBC. 因为 BE平面 BCE,BCBE=B , 所以 EF平面 BCE. ()存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM平面 BCE. M ( 0,0, 12 ), P ( 1, 12,0 ). 从而 = ,), 于是 EF= (1 1(0,)2=0 所以 PMFE,又 EF平面 BCE，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PMM平面 BCE. 8 分 ()设平面 BDF 的一个法向量为 1n，并设 1=（x,y,z）.10BD（ ， ， ）uv ， 302BF（ ， ， ）uv1nFg 即 xy1z 取 y=1，则 x=1，z=3。从而 1n3（ ， ， ）。 取平面 ABD 的一个法向量为 2（ 0， ， ） 。122cos(n,)11uvg 。 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ 故二面角 FBDA 的大小为 arccos 31。12 分 14.（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 1BC中， 12BCA,AB ,求二面角 A的大小。 简答： 3 2008 年高考题 解答题 1. （2008 全国19） （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 1ABCD中， 124AB，点 E在1C 上且 E31 （）证明： 平面 ； （）求二面角 1ADB的大小 以 D为坐标原点，射线 为 x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 yz依题设， 1(20)()(02)(4)BCEA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1E， ， ， ， ， ， A B CD E A1 B1 C1D1 A B C D E A1 B1 C1D1 y x z N M A B D C O 11(24)(204)ACDA， ， ， ， ， （）证明 因为 B， 10CDEA， 故 1， 1 又 DBE， 所以 1AC平面 （）解 设向量 ()xyz， ，n是平面 1DAE的法向量，则DEn ， 1 故 20yz， 40xz 令 ，则 2， ， (412)， ，n1AC，n 等于二面角 1ADEB的平面角，42,cos1n 所以二面角 1AEB的大小为 14arcos2 2. （2008 安徽）如图，在四棱锥 OACD中，底面 B四边长 为 1 的菱形， 4C, 和, , 为OA 的中点， N为 B的中点 （）证明：直线 M和 ； （）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。 作 APCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为,xyz 轴建立坐标系 222(0,)1,(0,),(,0),(),(0,1),0)4BOMN , 高考学习网中国最大高考学习网站 G | 我们负责传递知识！ x y z N M A B D C O P (1)证明 222(1,1),(0,),(,)4MNOPD 设平面 OCD 的法向量为 (,nxyz,则 ,0nA 即 202xyz 取 2z,解得 (0,4)n21,1(,2)0MNAA OCD和 (2)解 设 B与 所成的角为 , 2(1,0)(,1)BMD 1cos,23AMD , A与 所成角的大小为 3. (3)解 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d， 则 d为 O在向量 (0,4)n上的投影的绝对值, 由 (1,2), 得 23 Bd .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 23 3. （2008 湖南 17 ）如图所示，四棱锥 P