高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1_5_1 比较法学案 新人教b版选修4-5

15.1比较法读教材填要点1定义要证ab，只需要证ab0；要证ab，只需证abb0时，1，0，则1；当ba0时，01，1.综上可知，当a，b(0，)时，aabb(ab) 成立(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1已知x1，求证：1.证明：x1，1x0，0.(1)(x1)21(1)20，1.比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？思路点拨本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可精解详析设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等式问题，一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不等式关系；作出问题结论2某人乘出租车从A地到B地，有两种方案第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地的距离为m千米起步价内行驶的路程为a千米显然当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适当ma时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2x，Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)当x10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选择起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同对应学生用书P18 一、选择题1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()Aa2b2Blgb21 Da2b2解析：ab0，ab0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10.lg b2lg a2.答案：B2已知P，Qa2a1，那么P、Q的大小关系是()APQ BPp BmnpCnmp Dnmp解析：由已知，知m，n，得ab0时mn，可否定B、C.比较A、D项，不必论证与p的关系取特值a4，b1，则m4，n213，mn.可排除D.答案：A4若a，b为不等的正数，则(abkakb)(ak1bk1)(kN)的符号()A恒正 B恒负C与k的奇偶性有关 D与a，b大小无关解析：(abkakb)ak1bk1bk(ab)ak(ba)(ab)(bkak)a0，b0，若ab，则akbk，(ab)(bkak)0；若ab，则akbk，(ab)(bkak)0.答案：B二、填空题5若xy0，M(x2y2)(xy)，N(x2y2)(xy)，则M，N的大小关系为_解析：MN(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0，xy0，MN0.即MN.答案：MN6设0xa2，a0，b0，得ba.又cb(1x)0，得cb，知c最大答案：c7如果a0，b0，则下列两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b)(填不等关系符号)解析：(1a)(b1)1abab，lg(1a)lg(1b)lg .(1)2()22(ab)，又ab2，2(ab)0.lg(1)lg(1a)lg(1b)答案：8一个个体户有一种商品，其成本低于元如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析：设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为L21202%a，则L1L21000.025a2.51200.02a0.045，a，L1L2，月末出售好答案：月末三、解答题9已知a1，求证，证明：()()0，.10设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()50.所以a3b3(a2b2)11设mR，ab1，f(x)，比较f(a)与f(b)的大小解：f(a)f(b).ab1，ba0，b10，0时，0