电磁场电磁波教案.ppt

第七章 时变电磁场 主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数 ，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。 1. 位移电流 2. 麦克斯韦方程 3. 时变电磁场的边界条件 4. 标量位与矢量位 5. 位函数方程的求解 6. 能量密度与能流密度矢量 7. 惟一性定理 8. 正弦电磁场 9. 麦克斯韦方程的复数形式 10. 位函数的复数形式 11. 能量密度与能流密度矢量 的复数形式 *1 1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念，但是这种 人为定义的电流对于分析与描述时变电磁场特性是非常有益的。 对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原 理，即 前述的电荷守恒原理表明 *2 对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推 出电流连续性原理。但是电荷守恒及电流连续是客观存在的物理现象， 为此必须扩充前述的电流概念。众所周知，随时间变化的时变电流可以 通过真空电容器或理想介质电容器。这种电容器中的电流不是由电子运 动形成的传导电流，也不是运流电流，而是将要介绍的位移电流。 静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。考虑到上 述电荷守恒定律，得 相应的微分形式为 *3 那么，求得 显然，上式中 具有电流密度量纲，英围物理学家麦克斯韦称它为 位移电流密度，以 Jd 表示，即 由此可见，引入位移电流概念以后，时变电流仍然是连续的。由于 此时包括了传导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连 续性原理。 由位移电流定义可见，位移电流密度是电位移的时间变化率，或者 说是电场的时间变化率。在静电场中，由于 ，自然不存在位移电 流。在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。在电 导率较低的媒质中，位移电流密度有可能大于传导电流密度。但是，在 良导体中传导电流占主导地位，而位移电流可以忽略不计。 *4 在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律中必须增加一项位移电流，即 即 上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以 及位移电流共同产生的。已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见 ，时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明，时变磁场可以产生 时变电场，因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，认为时变电场与时 变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。这一预见，后来在 1888年被德国学者赫兹的实验所证实。 *5 2. 麦克斯韦方程 静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立 ，那么，考虑到电磁感应定律及全电流定律，麦克斯韦归纳为四个方 程式，其积分形式和微分形式分别如下： 积分形式微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律 *6 由微分形式的麦克斯韦方程式可见，时变电场是有旋有散的，时变 磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的， 因此，时变电磁场是有旋有散场。但是在电荷及电流均不存在的无源区 中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合， 从而在空间形成电磁波。此外，时变电场的方向与时变磁场的方向处处 相互垂直。 积分形式微分形式 *7 为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷 守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则 那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电 场与磁场不再相关，彼此独立。 式中 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 *8 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容 只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像 牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此 处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。 爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克 斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的 一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我 们指出的要丰富得多。 假使我们已知此处 的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在 时间上稍为迟一些所发生的事件”。 *9 麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用，正如美国著名的物理学家弗曼在 他所著的“ 弗曼物理学讲义 ”中写道“ 从人类历史的漫长远景来看 即使过一万年之后回头来看毫无疑问，在十九世纪中发生 的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一 重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战 （1861- 1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。 *10 处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇 宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位 导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。无线信息高速公路更使 人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需的文本、 声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的感觉，形成 无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到 19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。 *11 3. 时变电磁场的边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。 第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即 因为对于时变场，只要磁通密度的时间变化率是有限的，采用前 述相同的方法，由电磁感应定律的积分形式， 或写成矢量形式 即可获得上面结果。 式中 en 为由媒质指向媒质的边界法向单位矢量。 对于各向同性的线性媒质，上式又可写为 *12 第二, 在任何边界上，磁通密度的法向分量是连续的。 由磁通连续性原理，即可证明 或写成矢量形式 第三，电位移的法向分量边界条件与媒质特性有关。 在一般情况下，由高斯定律求得 或写成矢量形式 式中 s 为边界表面上自由电荷的面密度。 对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 *13 对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷， 因此 此式表明，两种理想介质形成的边界上，电位移的法向分量是连续的。 第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电位移的时间变化率是有限的，采用前述同样方法可得 或写成矢量形式 此式表明，在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的。但是在 理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连 续的。 对于各向同性的线性介质，上式又可写为 *14 设边界由理想介质与理想导电体形成，已知在理想导电体内部不 可能存在电场，否则将会导致无限大的电流，因此，理想导电体内部 也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导电体内部会产生 时变电场。在理想导电体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这 种时变的传导电流在理想导电体内部会产生时变磁场。由此可见，在 理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可 能分布在理想导电体的表面。 已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分 量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法 向分量，只可能存在法向电场及切向磁场。也就是说，时变电场必须 垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切，如下图示 。 *15 E H , = en et 因 ，由前式得 或 由于理想导电体表面存在表面电流 Js ，设表面电流密度的方向与 积分回路构成右旋关系，因 ，求得 或 H1t H2t JS *16 综上所述，由理想介质与理想导电体形成的边界条件如下： 其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电 流分布。波导内部为真空。 a z y x b 例 已知内截面为 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为 *17 解 由前式求得位移电流为 在 y = 0 的内壁上 在 y = b 的内壁上 *18 在 x = 0 的侧壁上， 在 x = a 的侧壁上， 在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因 ，所以 。 根据这些结果绘出的矩形波导 内壁电流分布如左图示。 z y x 内壁电流 *19 4. 标量位与矢量位 设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方 程中全电流定律 两边取旋度，再将电磁感应定律 代入，整理后得 若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得 利用矢量恒等式 ，同时考到 及 ，那么上述两式变为 *20 由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂，直接求解上述方 程需要较多的数学知识。为了简化求解过程，引入标量位与矢量位作为 求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之有效的。 已知时变磁场是无散场，因此它可以表示为矢量场 A 的旋度，即可 令 式中 A 称为矢量位。将上式代入式 中，得 *21 上式又可改写为 由此可见，矢量场 为无旋场。因此它可以用一个标量场 的梯度来表示，即可令 式中 称为标量位。由此得 注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静态场完全 相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位。 *22 位函数与源的关系 为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程 ，求得 利用矢量恒等式 ，上两式又可写为 *23 根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后， 这个矢量场才被惟一地确定。已知规定了矢量场 A 的旋度 ， 必须再规定其散度。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计 算，由上式可知，若令 则前两式可以简化为 洛伦兹条件 由上可见，按照洛伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互关联的方 程变为两个独立方程。 矢量位 A 仅与电流 J 有关，标量位 仅与电 荷 有关。 *24 达朗贝尔方程 由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位 A 。已知电荷分布，由 即可求出标量位 。求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。这样，麦 克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了 简化。 因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中 需要求解六个坐标分量， 而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单 ，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量 位方程可以分解为三个结构如同标量位方程一样的标量方程。因此， 实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数 A 及 的引入显著 地简化了麦克斯韦方程的求解。 *25 函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果 ，采用类比的方法，推出其解。 5. 位函数方程的求解 可以证明，标量位函数微分方程的解可以写成以下形式 *26 矢量位函数微分方程的解可以写成以下形式 式中 ,V为电荷或电流 J 的分布区域。 现在让我们详细讨论两个解的物理意义。首先两式均表明，空间某 点在时刻 t 产生的标量位或矢量位必须根据时刻 的场源分布 函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强不是由同一时刻 t 的源的 分布决定的，而是取决于 时刻的源分布。这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段时差就是 。已知 ( r - r)为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度。 *27 由式 可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中 ，最新测得的数据为 这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以 c 表示。 值得注意的是，既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性，那 么即使在同一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生 的空间场强仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间 电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。 *28 6. 能量密度与能流密度矢量 静电场的能量密度公式，恒定磁场的能量密度公式以及恒定电流场 的损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。因为某一时刻的场给 定时，其能量也即决定。那么，对于时变电磁场，在各向同性的线性媒 质中，这些公式为 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 因此，时变电磁场的能量密度为 *29 由于时变场的场强随空间及时间而变，因此，时变场的能量密度也 是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。 为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，其 方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能 量，或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密度矢量又称为 功率流动密度矢量。 能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中 称为乌莫夫矢量。 能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以 S 表示。根据上面定义 ，可见能流密度矢量的单位为W/m2。 下面导出能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系。 *30 设外源J=0的区域 V 中，介质是线性且各向同性的理想介质，则 此区域中电磁场满足的麦克斯韦方程为 利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理 后求得 将上式两边对区域 V 求积，得 *31 考虑到 ，那么 根据能量密度的定义，上式又可表示为 上式称为时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的正弦 电磁场均必须服从该能量定理。 能量定理表达式中各项具有明显的物理意义：左端为体积V中单位 时间内减少的储能，右端第二项为体积 V 中单位时间内损耗的能量。因 此，根据能量守恒原理，右端第一项代表单位时间内穿过闭合面 S 的能 量，可见时变电磁场存在能量流动。显然，矢量（ ）代表垂直穿过 单位面积的功率，因此，它就是前述的能流密度矢量 S ，即 *32 这样，已知某点的 E 及 H，由上式即可求出该点的能流密度矢量。此式 还表明，S 与 E 及 H 垂直。又知 ，因此，S，E 及 H 三者在空间是 相互垂直的，且由 E至 H 与 S 构成右旋关系，如图示。 S E H 根据矢积运算法则，求得能流密度矢量 的瞬时值的大小为 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积 。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电 场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。 *33 7. 惟一性定理 时变电磁场的惟一性定理：在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t = 0 时刻的电场强度 E 及磁场强度 H 的初始值给定时，又在 t 0 的时间 内，只要边界 S 上的电场强度切向分量 Et 或磁场强度的切向分量 Ht 给定后，那么在 t 0 的任一时刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯 韦方程惟一地确定。利用麦克斯韦方程导出的能量定理，采用反证法 可以证明这个定理。 *34 8. 正弦电磁场 前述各种特性分析对于任何时间变化规律的时变电磁场都是适用 的。现在我们讨论一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关 ，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即 式中 Em(r) 仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。 为角频率。 e(r) 为正弦函数的初始相位，它可能是空间的函数。具有这种变化规 律的时变电磁场称为正弦电磁场，或者称为时谐电磁场。 正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。由傅里叶变换的数学方法 得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很 多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的 。 *35 正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。因 为场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有 相同的频率。 当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率的正弦量之间的运算 可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位 ，而略去 时间相位 t 。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为 原来的瞬时矢量和复矢量的关系为 *36 实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即瞬时值平方的周期平 均值），以 表示正弦量的有效值，则 式中 所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量之间的关系为 无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且， 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。 *37 例 将下列场矢量的瞬时值与复数值相互表示。 （1） （2） 解（1）：因为 所以 （2） 9. 麦克斯韦方程的复数形式 已知正弦电磁场的场强与源的频率相同，因此可用复矢量形式 表示麦克斯韦方程。 考虑到正弦时间函数的时间导数为 因此，对于正弦电磁场，麦克斯韦第一方程可表示为 或写为 因为上式对于任何时刻均成立，故时间因子可以消去。那么 即 *39 同理可得 以及 上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式