实际问题与一元二次方程(第1课时).ppt

教学目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实质， 培养灵活处理问题的能力. 重点：列方程解应用题. 难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。 一、复习 列方程解应用题的一般步骤？ 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数 ，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等 关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式 （简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的 实际意义后，写出答案（及单位名称）。 典型练习题 1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字 对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数 2、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降价的 百分比 3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人 数 4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名 同学参加 5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度 为6千米/小时，求：往返一次的平均速度 v6、一个多边形有14条对角线，问这个多边形 是几边形？ v有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人 患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几 个人？ 课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 分析： 第三次 第二次 第一次a aX10% a+aX10%= a（1+10%）X10% a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a（1+10%）2 a（1+10%） 课前热身2：某经济开发区今年一月份工业产 值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月 、三月平均每月的增长率是多少？ 解：设平均每月增长的百分率为 x， 根据题意得方程为 50(1+x)2=72 可化为： 解得： 答：二月、三月平均每月的增长率是20% 例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的 社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百 分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a ） 设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 2001年 a 2002年 a（1+x) 2003年 a(1+x) 2 增长21% a a+21%a a(1+x) 2 =a+21%a 分析： a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1 解:设设每年增长长率为为x，2001年的总产值为a，则 a(1+x) 2 =a+21%a 答:平均每年增长的百分率为10% 练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍 ，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分 率（精确到0.1%） 解，设原价为 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 不合题意，舍去 答：每次升价的百分率为9.5%. 练习练习 3.小红的妈妈前年存了5000元一年期 的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣 除利息税（利息税为利息的20%），共取得 5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1% ） 练习练习 4.市第四中学初三年级初一开学时就参 加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶 段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之 后逐年增加，到三年级结束共有183人次在 市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年 增长率. 一元二次方程及应用题 1、直角三角形问题：（勾股定理） 2、体积不变性问题： 3、数字问题： 4、互赠礼物问题： 5、增长率问题： 面积问题 有关面积问题： 常见的图形有下列几种： 例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽. 整理后，得x2-11x+30=0 解这个方程，得x1=5,x2=6 (与题设不符，舍去) 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。 由x1=5得 由x2=6，得 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 （cm） . 根据题意，得 例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？ 32m 20m 则横向的路面面积为 ， 32m 20m x米 分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、 如图，设道路的宽为x米， 32x 米2 纵向的路面面积为 。 20x 米2 注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 所列的方程是不是 ？ 图中的道路面积不是米2 ， 而是从其中减去重叠部分，即应是米2 所以正确的方程是： 化简得， 其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去. 取x=2时，道路总面积为： =100 (米2) 耕地面积= = 540（米2） 答：所求道路的宽为2米。 解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积 大小不会改变”的道理，把纵、横两条路 移动一下，使列方程容易些（目的是求 出路面的宽，至于实际施工，仍可按原 图的位置修路） 横向路面为 ， 32m 20m xm xm 如图，设路宽为x米， 32x 米2 纵向路面面积为 。20x 米2 耕地矩形的长（横向）为 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 。 相等关系是：耕地长耕地宽=540米2 (20-x) 米 （32-x) 米 即 化简得： 再往下的计算、格式书写与解法1相同。 练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。 2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。 3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少 ？ 40米 22米 4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m，问道路的宽为多少？ 例3、求截去的正方形的边长 v用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折成 一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 180cm，为了有效地利用材料，求截去的 小正方形的边长是多少cm？ 求截去的正方形的边长 v分析 v设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式 20-2x 28-2x cm 20cm 求截去的正方形边长 v解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得 (28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19 经检验：x219不合题意，舍去 所以截去的正方形边长为cm. 例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m 的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm. 根据题意得: 解方程得: 池底的边长不能为负数,取x=4 答:池底的边长是4m. 练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水 池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修 改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3， 求原来方案的水池的长与宽各是多少米？ 700-x x 3 700-x+2x x+2x x 原方案 新方案 v课堂练习:列方程解下列应用题 v1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽 分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1厘米） v2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下 的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米，路 宽为多少？ 32 20 v3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少? 4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、 宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三 条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求 小道的宽。（精确到0.1米） 5、 在长方形钢片上冲去一个长 方形，制成一个四周宽相等的长 方形框。已知长方形钢片的长为 30cm，宽为20cm,要使制成的长 方形框的面积为400cm2，求这个 长方形框的框边宽。 X X 30cm 20cm 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 3020(302x)(202x)=400 整理得 x2 25+100=0 得 x1=20, x2=5 当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm 列一元二次方程解应题 6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =1902 X X 3800 解得X119， X2 20(不合题意) 答:要放19层. 2 列一元二次方程解应题 补充练习练习 ： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡 场的长和宽各多少米？ 通过这节课的学习: 我学会了 使我感触最深的是 我发现生活中 我还感到疑惑的是 质点运动问题 有关“动点”的运动问题 ” 1)关键 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的 运动路程”，也是求线段的长度; 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键. 3）常找的数量关系 面积，勾股定理等； 例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后 PBQ的面积等于8cm2？ 解：设x秒后 PBQ的面积等于8cm2 根据题意，得 整理，得 解这个方程，得 所以2秒或4秒后 PBQ的 面积等于8cm2 例2：等腰直角 ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2? 例3：ABC中,AB=3, BAC=45,CD AB, 垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合 ),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直. i)设 ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S 与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分 ABC的面积? 例4：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到 C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某 一方向匀速直线航行,将一批物品送达客 轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B- C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E点( ) A.在线段AB上; B.在线段BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上; ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多 少海里?(结果保留根号) 解：设货轮从出发到两船相遇共航行了 x海里，过D作DF CB，交BD于F， 则DE=x，AB+BE=2x，