《ch24收敛准则》PPT课件.pptx

数学分析 第四节 收敛准则 一、单调有界定理 重点与难点:实数系的基本定理 六、小 结 五、实数系的基本定理 二、闭区间套定理 三、Bolzano-Weierstrass定理 四、Cauchy收敛原理 数学分析 注记 一、单调有界定理 1、定理 数学分析 例1 证 数学分析 例2 证 数学分析 证 例3 数学分析 数学分析 例4 证 2、应用 （1）实数 数学分析 数学分析 数学分析 证明：例5 证 （2）实数e 数学分析 类似地, 数学分析 数学分析 例6 证 数学分析 数学分析 例7 证 数学分析 数学分析 例8 证 特别地， （3）实数 数学分析 练习 扩展 解 数学分析 例9 证 数学分析 二、闭区间套定理 1、定理 数学分析 证 (1) 存在性 (2) 唯一性 数学分析 证 (反证法) 数学分析 所以实数集R是不可列集. 数学分析 小结 u单调有界定理 单调增有上界；单调减有下界 u闭区间套定理 作 业 P68: 1(单), 2(双), 4-7. 思考题 利用闭区间套证明确界定理和单调有界定理 数学分析 三、Bolzano-Weierstrass定理 1、子列 数学分析 2、数列极限与子列的关系定理 证 必要性 充分性 数学分析 例10 证 数学分析 3、Bolzano-Weierstrass定理 证 数学分析 波尔查诺（Bernard Bolzano），捷克数学家、哲学家。1781年 10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。1819年因为宗教斗争失去教授及院长职位，并且受到政治监督，直到1825年 波尔查诺（Bernard Bolzano），捷克数学家、哲学 家。1781年 10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于 布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学 和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教 授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该 校哲学院院长。 F.克莱因 : “波尔查诺是算述化之父“ 数学分析 主要成绩 波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在纯粹分析的证明 (1817)中对函数性质进行了仔细分析,在A.-L.柯西之前首次给出了连续性和导数 的恰当的定义；对序列和级数的收敛性提出了正确的概念；首次运用与实数理论 有关的原理：如果性质不是对变量所有的值成立，而对小于某个的所有的值成立 ，则必存在一个量，它是使不成立的所有(非空)集的最大下界。在1834年撰写但 未完成的著作函数论中，他正确地理解了连续性和可微性之间的区别，在数 学史上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例子（用曲线表示的函 数，没有解析表达式）。 波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在无穷的悖论(1851)中,他 坚持了实无穷集合的存在性，强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在 一一对应），注意到无穷集合的真子集可以同整个集合等价。 对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视 ，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人 分享了。（这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺 乏与国外的交流）。 轶闻 波尔查诺还有一则逸闻。有一次在布拉格度假，突然间生病，浑身发冷，疼 痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧几里德的几何原本。当他阅读到第五卷 比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。 事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏几何原本的比例论。 数学分析 维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm）(1815- 1897) “维尔斯特拉斯是我们大家的老师” -埃尔米特 “一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完美的数学家。” -维尔斯特拉斯 维尔斯特拉斯是德国分析学家，对复变函数论、幂级数、椭圆函数、连 续性、二次型以及变分学贡献尤著。他生於德国威斯特伐利亚的小村落 奥斯滕费尔德，卒於柏林。他曾於波恩大学（Bonn University）学法律 和财政，但因酗酒和击剑度过四年而未获学位；后于1838年改学数学而 得古德曼的热心教导。在1842年1855年间，先后在几个小城镇的中学 任教14年之多。除了教数学之外，还教物理、德语、作文、地理以及体 育等课程，业馀坚持数学研究。在此期间，他未与数学界接触而独力发 展一套全新且严密的数学分析方法，使他得以描述一种连续而又到处不 可微的函数，从而完全地推翻了关於这些概念的直观方法。 数学分析 1854年，他发表了一本关於发展阿贝尔（Abel）函数论成果的专论 关於阿贝尔函数论公诸於世之後，根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他 名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学（Freie Universitt Berlin）助理教授，1865年晋升为教授。生前，他的研究结果大都是向学生讲 授传播的。1886年，他出版了函数论论文集。虽然他的著作不多，但却发 表了最有影响的论文。 维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学 和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神 对19世纪数学产生很大影响。他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用单调 有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格 定义，还在1861年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术 化做出重要贡献。他完成了由柯西（Cauchy）引进的用不等式描述的极限定义 （所谓-定义）。在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献。他建立 了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基本理论，得到代数函数论及阿 贝尔积分中的某些结果。在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构， 研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面。在缐 性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵。他还是一位杰出的教育家， 一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、 米塔列夫勒、朔特基、富克斯等。 数学分析 数学分析 数学分析 四、Cauchy收敛原理 1、基本列 数学分析 例11 证 数学分析 例12 证 数学分析 2、Cauchy收敛原理 证(必要性) （充分性） 数学分析 柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857） 出生生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的 官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因， 柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并 且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都 以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式. 柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成 绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考 入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公 路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的 天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数 学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论 直到天文学方面。 数学分析 19世纪初，微积分学是不严格的。他率先定义了级数的收敛、绝对收 敛、序列和函数的极限，并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收 敛性的柯西准则。他定义了上、下极限,并证明了其收敛性。他最先使用极 限符号。柯西还建立了连续函数的概念，并强调微商是一个极限。他用和的 极限给定积分下了第一个合适的定义，并研究了奇异积分。同时，他亲自计 算出许多经典的积分。柯西经常用“无穷小”这个词，但他不了解一致收敛 的重要性，因此，他的微积分学也有漏洞。毫无疑问，他是经典分的奠基人 之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。 柯西最出色的贡献是在复变函数论领域。现代复变函数理论发端于他的 工作。首先，他证明了复数的代数与极限运算的合理性，定义了复函数的连 续性。他给出了柯西-黎曼方程,定义了复函数沿复域中任意路径的积分，并 得到重要的积分定理，导出了著名的柯西积分公式。这个定理和公式是复函 数论的基础。 柯西对微分方程的重要贡献是他提出了两个基本问题：解的存在性和解 的惟一性。这两个问题的提出，开创了微分方程研究的新局面。他还创造了 解线性偏微分方程的特征值方法，并在研究数学物理方程的过程中，独立地 发现了傅里叶变换的逆公式。柯西是一位多产的数学家,一生共发表论文800 余篇，著书 7本。柯西全集共有27卷。其中最重要的是分析教程、 无穷小分析教程概论、微积分在几