2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案.docx

3.1.2复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的两种几何意义（1）复数zabi（a，bR）复平面内的点Z（a，b）.（2）复数zabi（a，bR）平面向量.3.复数的模复数zabi（a，bR）对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z| .1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi（a，bR）可用点Z（a，b）表示.（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z00i0，表示的是实数. （4）复数与向量的对应：复数zabi（a，bR）的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个.2.对复数模的两点说明（1）数的角度理解：复数abi（a，bR）的模|abi|，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.（2）几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）原点是实轴和虚轴的交点.（）（2）实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（）（3）若|z1|z2|，则z1z2.（）答案：（1）（2）（3） 复数z2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：B 复数z13i的模等于（）A.2 B.4C. D.2答案：C 向量（2，3）对应的复数z.答案：23i探究点1复数与复平面内的点已知复数z（a21）（2a1）i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.（2）若z对应的点在第三象限，则有解得1a.故a的取值范围是. 本例中复数z不变，若点Z在抛物线y24x上，求a的值.解：若z对应的点（a21，2a1）在抛物线y24x上，则有（2a1）24（a21），即4a24a14a24，解得a.利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi（a，bR）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据.（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 1.已知z（m3）（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（3，1）B.（1，3）C.（1，） D.（，3）解析：选A.由题意知即3m1.故实数m的取值范围为（3，1）.2.在复平面内，复数34i，12i对应的点分别是A，B，则线段AB的中点C对应的复数为（）A.22i B.22iC.1i D.1i解析：选D.因为复数34i，12i对应的点分别为A（3，4），B（1，2）.所以线段AB的中点C的坐标为（1，1），则线段AB的中点C对应的复数为1i.3.求实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i的点（1）位于第二象限；（2）位于直线yx上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i的点就是点Z（a2a2，a23a2）.（1）由点Z位于第二象限，得解得2az2 B.z1|z2| D.|z1|z2|解析：选D.|z1|53i|，|z2|54i|.因为，所以|z1|z2|.2.已知复数z3ai（aR），且|z|4，求实数a的取值范围.解：法一：因为z3ai（aR），所以|z|，由已知得32a242，所以a27，所以a（，）.法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合，由图可知a.1.复数z12i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.由题意得复数z的实部为1，虚部为2，因此在复平面内对应的点为（1，2），位于第三象限.2.设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是（）A.a1或a1 B.1a1C.a1 D.a0解析：选B.因为|z1|，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.3.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是.解析：依题意，可知zai（aR），则|z|2a21.因为0a2，所以a21（1，5），即|z|（1，）.答案：（1，）4.在复平面内，若复数z（m2m2）（m23m2）i（mR）的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解：若复数z的对应点在虚轴上，则m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m1，所以z2. 知识结构深化拓展1.根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数zabi、复平面内的点Z（a，b）和平面向量之间的关系可用图表示.2.复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部. A基础达标1.已知复数zaa2i（a0），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选B.因为a0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故选C.5.已知复数z满足|z|23|z|20，则复数z对应点的轨迹是（）A.一个圆 B.两个圆C.两点 D.线段解析：选B.由|z|23|z|20，得（|z|1）（|z|2）0，所以|z|1或|z|2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数z12mi（mR），且|z|2，则实数m的取值范围是.解析：|z|2，解得m.答案：7.若复数z对应的点在直线y2x上，且|z|，则复数z.解析：依题意可设复数za2ai（aR），由|z|，得，解得a1，故z12i或z12i.答案：12i或12i8.若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a.解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1（3，5），P2（1，1），P3（2，a），由已知可得，从而可得a5.答案：59.已知34ixyi（x，yR），判断|15i|，|xyi|，|y2i|的大小关系.解：由34ixyi（x，yR），得x3，y4.而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|，因为5，所以|y2i|xyi|15i|.10.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i.（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.解：（1）设向量对应的复数为z1x1y1i（x1，y1R），则点B的坐标为（x1，y1），由题意可知，点A的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x12，y11，故z12i.（2）设点C对应的复数为z2x2y2i（x2，y2R），则点C的坐标为（x2，y2），由对称性可知：x22，y21，故z22i.B能力提升11.已知复数z满足|z| 2，则|z34i|的最小值是（）A.5 B.2C.7 D.3解析：选D.|z|2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z34i|表示圆上的点到（3，4）这一点的距离，故|z34i|的最小值为2523.12.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为点B，则向量对应的复数为.解析：因为复数12i对应的点为A（1，2），点A关于直线yx的对称点为点B（2，1），所以对应的复数为2i.答案：2i13.已知O为坐标原点，对应的复数为34i，对应的复数为2ai（aR）.若与共线，求a的值.解：因为对应的复数为34i，对应的复数为2ai，所以（3，4），（2