高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质.ppt

1,第六章 定积分,6.1定积分的概念与性质 6.2微积分基本定理 6.3定积分计算方法 6.4定积分的应用 6.5广义积分初步,2,6.1定积分的概念与性质,一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性质、几何意义。,3,引例：曲边梯形的面积,曲边梯形的概念:由连续曲线 y=f(x) 与直线x=a,x=b以及x轴围成的平面图形叫曲边梯形。 如何计算曲边梯形的面积？(不规则图形的面积),初等数学中对规则图形(直线边)面积的计算：(来源于矩形面积的定义) 矩形 S=ab 三角形 S= ab/2 梯形 S=(a+b)h/2,4,无限细分、无限求和,处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！,5,曲边梯形的面积计算分割,设函数在区间a,b上连续, y=f(x)0 分割：,任意插入n-1个分点：,个小区间,其长度,如上图，过各分点作 x 轴的垂线，,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形其面积为,把,分成,6,曲边梯形的面积计算近似、求和,取近似：,在每个小区间上任,取一点,以,为高，,以,为底，,作 n 个小矩形，其面积分,别为, 则,求和：,7,思考：,为什么可以用小矩形的面积近似计算小曲边梯形面积，而不直接用一个矩形的面积近似计算整个曲边梯形面积？ 近似计算的前提：是x i要充分的小！,8,曲边梯形的面积计算极限,取极限：,可见：,时,曲边梯形的面积,即,9,引例：变速直线运动的位移,设某物体作变速直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔T1,T2上的连续函数,且 v(t)0, 求物体在这段时间内所经过的位移s？,10,变速直线运动位移的计算,分割:时间段T1,T2上任取分点ti(i=1,2,n-1);,把T1,T2分成n小段ti-1, ti (i=1,2,n),每小段时间长度ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段si,取近似: siv(i)ti (i=1,2,n),求和:,取极限: 所求位移为,(其中,),11,解决此类求和问题的数学模式,四个基本步骤： (1)分割; (2)取近似; (3)求和; (4)取极限,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,还有其它许多实际问题(如“变力做功”等)的解决都将归结于这种特殊类型的和式极限。人们把这类极限称为定积分,进行专门研究。,12,定积分的定义,定义：设f(x)在a,b上有定义,在a,b内任意插入n-1个点: a=x0x1x2xn-1xn=b，它们把区间a,b分成了n个小区间: xi-1,xi (i=1,2,n),其长度依次为xi = xi-xi-1(i=1,2,n);在各小区间上任取一点i (xi-1 i xi),作乘积 f(i)xi ；并作和式,如果不论对区间a,b如何分法,也不论在小区间xi-1,xi上分点i的取法,只要当0,和式Sn总有极限S存在,即,则称极限S为 f(x)在a,b上的定积分。,13,定积分的记号,我们将函数f(x)在a,b上的定积分记为：,被积函数,积分变量,积分限(下限）,-积分符号,其中,-被积函数,-被积表达式,-积分变量,-积分区间,-积分下限,-积分上限,注: f(x)在a,b上定积分存在,亦称f(x)在a,b上可积。,14,关于定积分定义的说明,定积分是一种特殊的和式(黎曼和)的极限,其结果是一个数值。(比较：不定积分结果一组函数) 该和式极限存在(即函数f(x)可积),是指不论对区间a,b如何分割,也不论在每个小区间上分点i怎样取法,该极限都要唯一地存在。 定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积分变量的记号无关，即,无界函数不可积;若f(x)在a,b上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在a,b上必可积。 规定：,15,例题与讲解,例：利用定义计算定积分,解：在0,1上y=x2连续,故可积(任意分割都收敛) 。,16,定积分的几何意义,定积分几何意义曲边梯形面积(笼统说法),具体有： 若在区间a,b上 f(x)0, 则,若在区间a,b上 f(x)0, 则,一般地， f(x)在区间a,b上可积, 则定积分等于由曲线y=f(x),与直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形面积的代数和(x轴下方图形面积用负数表示)。如：,17,定积分的性质,性质：,分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？,18,定积分的性质(13),性质1(和、差的运算性质),性质2(数乘的运算性质),性质3(区间可加性)若a,b,c为任意常数,则,前提条件： f(x)、g(x)可积,19,定积分的性质(4),性质4(比较性质)在区间a,b上,若f(x)g(x),则,例：比较定积分,与,的大小.,解：因为在,上，,所以,故由定积分比较性质有,20,定积分的性质(56),性质5设f(x)在a,b上连续, f(x)0,且f(x)不恒为零,则有,性质6(估值定理)若对任意xa,b, 恒有A f(x)B,则有,解：,21,定积分的性质(7),性质7(简单积分中值定理) f(x)在a,b上连续,则至少存在一点 a,b ,使得,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,必有a,b,使,即,概念：f(x)在区间a,b上的平均值,22,积分中值公式的几何解释,在区间a,b上至少存在一点,使得以