统计42平均与变异指标.ppt

2019/5/19,扬州大学管理学院,1,概念：反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。,特点： 平均指标将总体内各单位的差异抽象化了。 平 均指标是一个代表值，代表总体综合数量 特征的一 般水平。,一、平均指标的意义,第三节平均指标,2019/5/19,扬州大学管理学院,2,作用：,1、反映总体各单位变量分布的集中趋势 或集中程度； 2、比较同类现象在不同单位的发展水平， 用来说明生产水平、经济效益或工作质量的 差距； 3、分析现象之间的依存关系。 应用平均指标的基本要求是：只能对同质 总体计算平均指标。,2019/5/19,扬州大学管理学院,3,二、平均指标的种类及其计算 种类：,按反映的时间状况不同,按平均指标计 算方法不同,位置平均数,算术平均数 调和平均数 几何平均数,数值平均数,众数 中位数,静态平均指标（本节讲述）,动态平均指标（下章讲述）,2019/5/19,扬州大学管理学院,4,（一）算 术 平 均 数 （Arithmetic Mean）,算术平均数,1、算术平均数的基本公式,用此公式计算算术平均数，必须注意分子与分母 之间存在的内在经济联系。即分子是分母所具有的标 志值。注意强度相对指标和平均指标的区别： 某企业职工月平均工资1200元/人月(平均指标)； 某城市的月人均收入为570元/人月(强度相对数).,如：,2019/5/19,扬州大学管理学院,5,区别主要表现在以下两点： （）指标的含义不同。强度相对指标说明某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。 （）计算方法不同。强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系，而平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系。分子与分母是内在的一一对应的联系，即分子是分母（总体单位）所具有的标志，对比结果是对总体各单位标志值的平均。,2019/5/19,扬州大学管理学院,6,2、算术平均数 的计算形式,（1）简单算术平均数：,例如：已知5名工人的工资为：600元、780元、1050元、 1100元、900元。根据资料计算五名工人的平均工资：,解：设工人的工资为 “ ”, i= 1、2、3、4、5，则工人的 平均工资为：,（适用于未分组资料）,2019/5/19,扬州大学管理学院,7,切尾均值,72,99,90,97,93,81,82,75,3,去掉一个最高分,3号参赛选手的最终得分是86.33分。”,2019/5/19,扬州大学管理学院,8,（2）加权算术平均数: 适用于分组资料。,计算公式：,公式中：“X” 代表各组变量值 “f” 代表各组变量值出现的次数或频数 “”为合计符号,根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不仅受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量值出现次数多少的影响，因此需用下式计算其平均数：,2019/5/19,扬州大学管理学院,9,因为各组变量值出现次数的多少对平均 数的形成产生权衡轻重的作用，所以将“f”称 为权数。权数即可以表现为“次数”的形式， 也可以表现为“比重”的形式。,用“比重”权数计算算术平均数的公式为：,计算公式：, ,2019/5/19,扬州大学管理学院,10,A、根据单项式数列计算算术平均数,例：某企业工人按日产量分组资料如下：,要求：根据资料计算工人的平均日产量。,2019/5/19,扬州大学管理学院,11,A、根据单项式数列计算算术平均数,解:按第一个公式计算,按第二个公式计算:,扬州大学管理学院,12,B、根据组距数列计算算术平均数,要求：根据资料计算全部职工的平均工资。,例：某企业职工按工资分组资料如下：,2019/5/19,扬州大学管理学院,13,解：计算过程如下：,平均工资：,根据组距数列计算算术平均数,2019/5/19,扬州大学管理学院,14,两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组工人的平均日产量。,C、权数在平均数形成中起的作用,2019/5/19,扬州大学管理学院,15,计算得到：,一班工人平均日产量,二班工人平均日产量,2019/5/19,扬州大学管理学院,16,D、权数的选择,当分组的标志为相对数或平均数时，经常会 遇到选择哪一个条件为权数的问题。如下例：,要求：计算全部企业的平均计划完成程度。,2019/5/19,扬州大学管理学院,17,D、权数的选择,选择权数的原则:,1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。,2、依据相对数或平均数本身的计算方法来选择权数。,根据原则本题应选计划产值为权数，计算如下：,平均计划完成程度：,2019/5/19,扬州大学管理学院,18,（3）简单算术平均数与加权算术平均数的关系,权数起作用必须有两个条件：,一是：各组标志值必须有差异。如果各组标志值没有差异 标志值成为常数，也就不存在权数了。,二是：各组的次数或比重必须有差异。如果各组次数或比 重没有差异，意味着各组权数相等，权数成为常数，则不 能起到权衡轻重的作用，这时加权算术平均数就等于简单 算术平均数。,用公式表示二者的关系：,当：,2019/5/19,扬州大学管理学院,19,（4）算术平均数的数学性质： 1、算术平均数与变量值个数的乘积等于各个变量值的总和。 2、各个变量值与算术平均数的离差的总和为零。 3、各个变量值与算术平均数的离差的平方之和为最小。,2019/5/19,扬州大学管理学院,20,4、两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和；其乘积的平均数等于各变量平均数的乘积。 5、各个变量值加或减一个任意数A，则算术平均数也增加或减少该数A 6、各个变量值乘或除以一个任意数A，则算术平均数也乘或除以该数A,2019/5/19,扬州大学管理学院,21,利用平均数的性质作简化运算,2019/5/19,扬州大学管理学院,22,优点： 容易理解， 便于计算 灵敏度高 稳定性好 缺点： 易受极端值影响 在偏斜分布和U形分布中，不具代表性,5、算术平均数的特点,2019/5/19,扬州大学管理学院,23,调 和 平 均 数 的 计 算 方 法,（1）简单调和平均数,（2）加权调和平均数,（二）调和平均数（Harmonic Mean ）,调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，所以又称倒数平均数。,加权调和平均数作为加权算术平均数的变形使用，仍 然依据算术平均数的基本公式计算。,2019/5/19,扬州大学管理学院,24,调和平均数举例,2.50 元/kg,2.00元/kg,1.00元/kg,我各买1元的吃,2019/5/19,扬州大学管理学院,25,苹果价格及购买情况表,求平均价格,2019/5/19,扬州大学管理学院,26,体会含义并进行比较,某种水产品早中晚价格各不相同,分别为3元/kg 、2元/kg和1元/kg (1)消费者早中晚各买一公斤时； (2)消费者早中晚各买一元时； 请计算两种情况下，消费者购买这种水产品的平均价格（元/kg）,加权算术平均,加权调和平均,2019/5/19,扬州大学管理学院,27,调和平均数举例,苹果价格及购买情况表,购买数量,2019/5/19,扬州大学管理学院,28,某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下， 根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度：,平均计划完成程度,= 101.52%,例 题,m,说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52% 完成产值计划任务。,计划产值,2019/5/19,扬州大学管理学院,29,某车间各班组工人劳动生产率和实际产量资料如下：,例 题,要求：计算五个班组工人的平均劳动生产率。,x,m,解：平均劳动生产率为：,（总工时）,2019/5/19,扬州大学管理学院,30, 当m=xf时： 加权调和平均数公式就变成加权算术平均数公式,结论是:调和平均与算术平均的计算只是由于资料不同而出现的差异,其经济含义完全一致.,注意,2019/5/19,扬州大学管理学院,31,优点： 灵敏度高 在某种不能计算算术平均数的条件 下，可以用调和平均数代替 。 缺点： 不易理解 易受极端值影响 有“0”值时不能计算,调和平均数的特点,2019/5/19,扬州大学管理学院,32,几何平均数：是另一种计算平均标志值的平均数。 也可区分为简单几何平均数和加权几何平均数。 简单几何平均数就是n个变量值（Xi）连乘积的n 次方根。,（三） 几何平均数（Geometric Mean）,为了计算方便，通常利用对数进行计算：,Log =（LogX1+LogX2+LogX3 +LogXn）/ n =（LogXi）/ n,2019/5/19,扬州大学管理学院,33,例如：某企业生产一产品，要经过三个连续作业的车间，各车间的产品合格率如下表所示：试计算各车间产品的平均合格率。,XG =Xi = 95%95.8% 93% = 94.58%,n,3,2019/5/19,扬州大学管理学院,34,Log XG =（LogXi）/ n = 5.9276/3 = 1.9758,还可以按对数方法计算如下：,所以，车间产品合格率为94.58%,加权几何平均数：,XG =X1X2X3 Xn = Xi,f,f,f3,f1,f2,fn,fi,同样可以用对数计算： f1LogX1+f2LogX2+f3LogX3+ +fnLogXn fiLogXi,f1+f2+f3+ +fn fi,=,LogXG =,2019/5/19,扬州大学管理学院,35,几何平均数的特点,优点： 灵敏度高 受极端值的影响相对较小 对于等比或近似等比的数列几何平均 数比算术平均数更具代表性。 缺点： 不易理解 有“0”值时不能计算,2019/5/19,扬州大学管理学院,36,数值平均数之间的关系：XXGXH 以两个变量来证明： （ab） = a 2ab + b 0 a + b 2ab + 4ab 4ab （a+b） 4ab （a+b） 2 ab （a+b）/ 2 ab， 分别令 a=X1，b=X2 ， 即得 XXG， 代入 a=1/X1，b=1/X2，即可得 XGXH,2019/5/19,扬州大学管理学院,37,（四） 众 数 （Mode）,众数是现象总体中出现次数最多的标志值。,它反映了现象的一种集中趋势,众 数 的 确 定 方 法,（1）由未分组数列及单项数列确定众数,数列中出现次数最多的变量值就是众数。 例如：十个同学的英语成绩：55 63 65 70 78 78 78 82 87 91。则众数为78分。 也有可能没有众数或有多个众数的情况。,2019/5/19,扬州大学管理学院,38,某鞋厂某种鞋市场需求调查情况,众数MO 24 结论：根据定义确定单项式数列的众数,单项式数列确定众数,2019/5/19,扬州大学管理学院,39,（2）由组距数列确定众数,步骤： 找出众数所在的组，即次数出现最多的一组的分组区间。即众数组可以直接观察确定。 根据下列的公式计算众数,2019/5/19,扬州大学管理学院,40,计算公式,其中：MO为众数，U、L分别为众数组上、下限，fm、fm-1、fm+1分别为众数组次数、众数组前一组次数及众数组后一组次数；d为组距,2019/5/19,扬州大学管理学院,41,某班成绩分布表,组距数列确定众数,(分),(分),2019/5/19,扬州大学管理学院,42,众数是一种位置平均数，不受各项变量值的影响，用它作为平均水平的代表值有不足之处，但当数列中出现异常变量值时，它不受极端值的影响，比平均数的代表性好。一般只适用于分布的次数较多且具有明显的集中趋势的总体。 众数不一定存在 无众数 存在时也不一定是唯一的 只有一个众数的分布 单峰分布 有两个众数的分布 双峰分布,结论,2019/5/19,扬州大学管理学院,43,Mo,Mo,Mo,Mo,2019/5/19,扬州大学管理学院,44,将总体中各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值就是中位数。,中 位 数 的 计 算 方 法,（1）根据未分组资 料计算中位数,步骤：将资料按大小顺序排列,计算中位数的位次：,确定中位数,（五） 中 位 数（Median）,例：五（六）位同学的统计学成绩为 53 68 78 （82） 85 93，则中位数为 78，资料为奇数位时中位数即为中间位置的变量值；为偶数时中位数即为中间两个变量值的平均数 80。,2019/5/19,扬州大学管理学院,45,根据定义：中位数所在位置（1+125）/2=63 中位数为 2 套,例：某省所有工业企业生产流水线拥有情况：,（2）根 据 单 项 数列计算中位数,步骤：计算数列的中间位置点：,计算累计次数找出中位数所在的组,确定中位数,2019/5/19,扬州大学管理学院,46,（3）根据组距数列计算中位数,步骤： 计算数列的中间位置点:,计算累计次数，找出中位数所 在的分组,用公式计算中位数,2019/5/19,扬州大学管理学院,47,式中： L 表示中位数组的下限 U 表示中位数组的上限 fm 表示中位数所在组的次数 Sm-1 表示中位数所在组以前各组的向上累计次数 Sm+1 表示中位数所在组以后各组的向下累计次数 f 表示总次数 d 表示中位数所在组的组距。,下限公式,上限公式,2019/5/19,扬州大学管理学院,48,例：某班成绩分布表,注意：单位为（分）,2019/5/19,扬州大学管理学院,49,位置平均数与算术平均数的关系,(对称分布),正（右）偏态分布,负(左）偏态分布,2019/5/19,扬州大学管理学院,50,三种平均数的差别大小与偏斜程度的大小 呈正比例。这是由于各自受极端值的影响 不同。算术平均数受其影响最大；中位数 只受其位置影响，不受其数值大小影响； 众数都不受其影响。所以算术平均数或大 于众数，或小于众数，中位数总位于两者 之间。如上图。需要指出的是，有时中位 数实际的数字并不在其他两者之间。,2019/5/19,扬州大学管理学院,51,在偏斜适度（轻微）时，可用英国统计学家卡尔皮尔逊（Karl Pearson）提出的以下经验公式：算术平均数到众数的距离约等于算术平均数到中位数距离的三倍。,2019/5/19,扬州大学管理学院,52,应用平均指标计算和分析社会经济现象应注意以下原则： 必须注意现象总体的同质性。消除不同质的“虚假平均数”。 要用组平均数来说明总平均数 有些情况下，只计算总平均数不足以反映问题，要对总体内部进行分组，通过组平均数来补充。如下例： 要用分配数列来补充说明总平均数,2019/5/19,扬州大学管理学院,53,通过上例可以看出：从总平均数看甲村的总单产530公斤/亩，乙村440公斤/亩，结论是甲村的粮食亩产比乙村高。但从组平均数看，不论是山地还是平地亩产量，都是乙村好于甲村。,2019/5/19,扬州大学管理学院,54,第四节 标志变异指标,一、标志变异指标的意义 1、概念：变异指标又称标志变动度，综合反映总 体各个单位标志值差异的程度。 2、作用：标志变异指标在统计分析研究中的作用 主要有如下几方面： （1）变异指标反映总体各单位标志值分布的离 中趋势。总体各单位的标志值围绕平均指标上下 波动。所以平均指标反映总体各单位标志值的集 中趋势。而变异指标则表明总体各单位标志值的 分散程度，对于变动中心来说，也就是反映标志 值的离中趋势。,2019/5/19,扬州大学管理学院,55,（2）变异指标可以说明平均指标的代表程度。 平均指标作为总体各单位标志值一般水平的代 表，其代表性的高低，随着标志值的差异程度 不同而有很大区别。 （3）变异指标说明现象变动的均衡性或稳定性。现象活动过程的稳定性和均衡性，可以从 每一时期的工作和整个时期中的平均工作量的 关系上反映，如果每一时期的工作量与平均工 作量大体相等，则现象活动过程、是均衡的、 稳定的。,2019/5/19,扬州大学管理学院,56,二、变异指标的种类及计算方法,（一）全距Range ：最大变量值与最小变量值 之差，它说明标志值的变动范围.用R表示,优点：计算简便、易懂、意义明确 缺点：受极端值影响较大；不能全面反映各单 位标志值的变异情况,全距,平均差,标准差,变异系数,第一组 5 5 6 4 5 平均值=5 比较集中 第二组 2 3 9 7 4 平均值=5 比较分散 第一组 R= 64 = 2，第二组 R= 92 = 7,2019/5/19,扬州大学管理学院,57,（适用于未分组资料） （适用于分组资料）,3、计算方法,2、特点：,根据总体单位所有标志值来计算差异程度,以算术平均数为计算的标准,对离差取绝对值,简单平均差公式：,加权平均差公式：,（二）平 均 差Average Deviation,1、涵义：,是总体各单位标志值对算术平均数的 离差绝对值的算术平均数。,优点： 1分析意义完整； 2反映各标志值差异。 缺点：不便于数学处理,2019/5/19,扬州大学管理学院,58,甲乙两个班组工人日产量资料如下：,甲班工人日产量（件）： 25 28 30 35 42 乙班工人日产量（件）： 18 24 32 38 48 要求：比较两个班组工人平均日产量的代表性。,解：1、计算平均日产量,= 32（件）,32（件）,甲班：,= 5.2 (件),乙班：,A.D.= 8.8 (件),例 题,2、平 均 差,甲班工人日产量的平均差小于乙班， 甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。,2019/5/19,扬州大学管理学院,59,（三）标 准 差Standard Deviation,1、涵义：,2、计算方法：方差(Variance)的正根,简单标准差公式,加权标准差公式,（适用于未分组资料）,（适用于分组资料）,是总体中各单位标志值对算术平均 数离差平方的算术平均数的平方根,计算标准差的简化式,或,2019/5/19,扬州大学管理学院,60,例 单项式资料(单位:元),(元),2019/5/19,扬州大学管理学院,61,例题：,根据资料计算工人的平均日产量和标准差：,工人平均日产量:,= 74.4 (件),工人日产量标准差:,= 11 (件),日产量 (x) 工人数(f) 55 10 65 24 75 36 85 22 95 8 合计 100,550,1560,2700,1870,760,-19,-9,1,11,21,3610,1944,36,2662,3528,11780,30250,101400,202500,158950,72200,565300,7440,按简化式计算：,= 11（件）,2019/5/19,扬州大学管理学院,62,例: 组距式资料(单位:元),2019/5/19,扬州大学管理学院,63,3、是非（交替）标志的标准差： 将总体单位划分为具有某种性质的单位和不具有某种性质的两部分，它们合并构成一个总体。能通过“是、非；有、无”的区分将总体单位划分为两部分的标志标志，称为是非（交替）标志。它在总体单位间交替出现，非此即彼。主要反映总体单位之间的性质属性上的差别。 统计上是通过（1，0）变量值的处理将其数量化。即用“1”代表具有某种性质的标志值， “0”代表不具有某种性质的标志值。,2019/5/19,扬州大学管理学院,64,将总体中或数列中具有某种标志表现或某种性质的单位数N1占全部单位数N的比重（称为成数）用p表示，将不具有某种标志表现或某种性质的单位数N0占全部单位数N的比重用q表示： N1 + N0=N p + q = 1,2019/5/19,扬州大学管理学院,65,是非标志的平均数,是非标志平均数计算表,2019/5/19,扬州大学管理学院,66,是非标志的平均数就等于总体中或数列中具有某种性质的成数。因此，成数是一种特殊的平均数。,2019/5/19,扬州大学管理学院,67,是非标志的标准差,是非标志标准差计算表,2019/5/19,扬州大学管理学院,68,所以是非标志标准差为：,2019/5/19,扬州大学管理学院,69,是非标志的方差、标准差有极值：当 时取得最大值，方差最大值为0.25（或 25%），标准差最大值为0.5（或50%）， 就是说，此时是非标志的变异程度最大。,2019/5/19,扬州大学管理学院,70,比较下列的资料：甲地的职工平均工资 和标准差 2000元， 420元。 乙地的职工平均工资和标准差为 1200元， 276元。 比较两地平均工资的代表性及其均衡性。 不能由于乙地的标准差小于甲地，就得出乙 地平均工资代表性大于甲地的结论。这时要 用到离散系数来计算分析。,2019/5/19,扬州大学管理学院,71,(四) 变 异(离散)系 数 Coefficient of Variance,标准差系数 V,=,1、涵义：用相对数形式反映各个变量值与其平均数 的离差程度，其数值表现为系数或百分数。主要用于 不同平均水平及不同性质的现象对比平均数代表性及其均衡性时，不能直接用全距、平均差、标准差来进行对比。 2、计算方法：消除不同平均水平的影响。求全距、平均差、标准差与算术平均数的比值。离散系数包括：全距系数、平均差系数 、标准差系数。使用最多的是标准差系数。,2019/5/19,扬州大学管理学院,72,例题：,已知甲乙两个班组工人日产量资料如下：,要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？,2019/5/19,扬州大学管理学院,73,解题过程如下：,30,70,108,80,52,340,88,168,98,90,32,476,150,490,972,800,676,3088,704,2016,1372,1350,512,5954,2019/5/19,扬州大学管理学院,74,甲班：,= 8.5(件),乙班:,= 11.9(件),甲班: = 2.22(件),乙班: = 2.69(件),1、计算工人平均日产量：,2、计算日产量的标准差：,3、计算变异系数：,甲班:,乙班:,乙班变异系数小于甲班 乙班工人的平均日产量代表性高。,2019/5/19,扬州大学管理学院,75,例：两种不同水稻品种，分别在5个田块上试种，其产量如下： 甲品种 乙品种 田块面积 总产量 田块面积 总产量