CH10-3一阶微分方程在经济中的应用.ppt

1,第十章 微分方程与差分方程 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程 10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用 10.4 可降阶的二阶微分方程 10.5 二阶常系数线性微分方程 10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构 10.7 一阶常系数线性差分方程 10.8 二阶常系数线性差分方程 10.9 差分方程的简单经济应用,2,第二节 一阶微分方程,3,可分离变量的微分方程的解法,分离变量,两边积分，得,则,如果,注：,方程的通解,必须予以补上。,在分离变量时，解,可能它不包含在,4,解: 当 y0 时分离变量得,另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为,( B为任意常数 ).,例 求方程,的特解.,满足初始条件,解 分离变量, 得,两边积分，得,于是原方程的通解为,又将初始条件,故满足初始条件的特解为,代入通解中, 得,6,第二节 一阶微分方程,7,二、齐次微分方程,形如,的方程叫做齐次微分方程.,例如，,都是齐次微分方程.,8,令,解法:,代入原方程得,可分离变量 的方程,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,分离变量:,9,如果,有实根,那末,（i=1，2，k）也为方程的解。,10,例 求解方程,解 将方程改写为,令 得,（1）,若,分离变量，得,积分得（1）的通解,即,(c是任意常数),(2),此外，方程(1)还有解,11,代回原来的变量，得原方程的通解为,及解,。,12,第二节 一阶微分方程,13,如果方程,及,的一次有理整式，,则称其为 n 阶线性微分方程.,的左端为,14,一阶线性微分方程标准形式:,若,若,称为非齐次线性微分方程 .,称为齐次线性微分方程 ;,考察下列方程是否线性方程？,线性的;,非线性的.,15,齐次方程的通解为,分离变量,积分,猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式,16,通解,代入 原式,解出,常数变易法,17,例5 解方程,解1: 先解,即,积分得,即,用常数变易法把C换成 u(x)，即令,则,代入非齐次方程得 u=(x+1)1/2,解得,故原方程通解为,18,例5 解方程,解2: 公式法,由通解公式得,19,解：,例,20,第二节 一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程 2、齐次方程 3、一阶线性微分方程 4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性,21,自然哲学的数学原理 牛顿（1687）,在本书中，牛顿提出万有引力定律，然后用数学的形式常微分方程推出了开普勒定律，完成了日心地动说的力学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的研究.,22,分析：令 f(x)=0，解得 x= x0 是该微分方程的解.,定义：若 f(x0)=0，则 x= x0 是其平衡解. 其图象为一条水平直线.,例7：,例8：,它们的平衡解分别是,23,例7：,（1）它的平衡解是 L=A. （2）此初值问题的特解是？,解：由分离变量法得方程的通解为,特解为,稳定的平衡解 定义P383,24,例8：,它的平衡解是B=10.,不稳定的平衡解 定义P383,初始值的极微小的扰动而会造成系统巨大变化.,蝴蝶效应 The Butterfly Effect,25,例 Lorenz 方程 （1963）,蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。 气象学家洛伦兹（Lorenz）在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的方程组，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。因为当时的计算机运行速度比较慢，所以他在计算的时候离开了一会。而当他穿过大厅，到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，计算结果却偏离了十万八千里！ 后来洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。,26,一只蝴蝶在纽约中央公园的小黄花上扇动了一下翅膀，于是东京掀起风暴电闪雷鸣 也许人的一生就会被当年一点点不经意间细枝末节改变，从此走上不同岔口不能回头 微分方程中说这叫蝴蝶效应，你相信吗？,27,作业P384,1，2（偶数），3（奇数）， 4（偶数），6，7,28,第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用,一、需求量（供给量）与价格的关系 二、预测可再生资源的产量 三、成本分析 四、公司的净资产分析,29,例1,解,（1）由需求的价格弹性公式得,分离变量解微分方程得,30,解,（1）由需求的价格弹性公式得,分离变量解微分方程得,例1,（2）,（3）,例 已知需求价格弹性为 -1/Q2, 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q).,解 由需求价格弹性的定义, 有,这是变量可分离的方程,移项化简，得,两边积分,得,即,又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100,故需求函数为,32,例3 某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t木材的变化率与当时木材数成正比(比例常数为k0)。 假设10年时这林区的木材为20万立方米。若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐。,二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量,解 若时间t以年为单位，假设任一时刻t木材的数量为p(t)万立方米，由题意可知,微分方程（1）的通解为 将条件（2）带入得特解为,要使p=40，则t=20. 故至少20年后才能砍伐.,指数增长与指数衰减方程,33,N(t) 时刻 t 的人口数量,基本假设 : 人口净增长率 r（单位时间内人口 的净增长数与人口总数之比） 是常数。,马尔萨斯人口模型 英国人口学家Malthus(1766-1834）于1798年提出.,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,34,解: 当 y0 时分离变量得,另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为,( B为任意常数 ).,35,三、成本分析,例5 某商场的销售成本 y 和存储费用 S 均是时间 t 的函数，随时间t的增长，销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和，而存储费用的变化率为存储费用的（-1/3）倍 . 若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10，试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系。,解：由已知,解（5）得,故存储费用与时间t的函数关系是：,将S代入（4）式得,故销售成本与时间t的函数关系是：,36,一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用。 一方面 ，它的资产可以象银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资。 用W0表示该公司的初始资产，若用W表示 t 时某公司的净资产，则,四、公司的净资产分析,净资产的增长速率 = 利息盈取（增长）的速率工资支付速率,37,例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以 每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程； （2）假设初始净资产为W0，求解方程； （3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）根据： 净资产的增长速率 = 利息盈取（增长）的速率工资支付速率,这就是该公司的净资产W所满足的微分方程。,38,例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以 每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程； （2）假设初始净资产为W0，求解方程； （3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）,（2）分离变量,所以，该公司净资产表达式为：,39,例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以 每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程； （2）假设初始净资产为W0，求解方程； （3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）,（2） （3）若W0=4000，则W=4000为平衡解.,公司净资产将不断增长,公司净资产将不断减少,40,P3915 某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0). 现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼.,练 习,大作业 某商品的 供给函数 需求函数 其中p(t)表示时刻t时该商品的价格( P(0)=8 ). 试把市场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义.,41,P3915 某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0). 现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。,解 若时间t以月为单位，由题意可知 （1）,先解（1）式：,42,P3915 某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0).现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。,解 若时间t以月为单位，由题意可知 （1）,先解（1）式得 将条件（2）代入得,43,大作业 某商品的 供给函数 需求函数 其中P(t)表示时刻t时该商品的价格( P(0)=8 ). 试把市场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义.,代入 P(0)=8 得 C=12. 因此市场均衡价格表示成关于时间的函数为,说明市场对于这种商品的价格稳定，且可以随着时间的推移，此商品的价格逐渐趋向于20.,44,作业 P391 1, 3, 5,五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题,由假设，时刻t的储蓄全部