清北学堂 2014年寒假高二理科精英班导学1-联盟自主招生 数学（复数 向量 几何）

2014年寒假 高二理科精英班 导学 （第 一 次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课 之 前 ，了解授课方向及重难点。 同时 还 附上部分知识点 的详细解读。本 班型导学共由 2 次书面资料构成。此次发布的为第 一次导学，后面的第二 次导学 ， 将于 2013 年 12 月 25 日发布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 还 会发布 相应班型的详细授课大纲，敬请关注。 自主招生邮箱： 数学竞赛邮箱： 物理竞赛邮箱： 化学竞赛邮箱： 生物竞赛邮箱： 理科精英邮箱： 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014年寒假集中培训 课程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-2 2013-12-15发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 目录 一、各自招联盟题目知识模块考查比例 . 2 1“华约”联盟 . 2 2“北约”联盟 . 2 3 卓越联盟 . 2 4 三大联盟题目对比 . 3 二、自招知识补充，题目解析 . 4 1. 复数 . 4 2. 平面向量 . 5 3. 平面几何 . 6 4. 立体几何 . 9 5. 解析几何 . 12 6. 数论 . 15 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 一、各自招联盟题目知识模块考查比例 1“华约”联盟 由“华约”近几年的试题考点分布图可以看出，非超纲部分的考查重点主要集中在解析几何、概率统计、解三角形、函数和数列这几个知识模块；难度上要略大于高考，基本都达到高考压轴题的水平。应对策略：做一定数量的压轴题目，多总结、积累解题的思路。 超纲部分 接近 1/4，主要集中在初等数论、数列知识的延伸和平面几何等模块。本部分是自招 笔试 准备的重点和难点，首先需要先掌握基本的概念和定理，如数论中关于数的整除的 一些性质，数列中求通项的特征方程法，平面几何中的相交弦定理等等； 然后做一些真题和模拟题进行巩固和提高。 2“北约”联盟 “华约”题目中，非超纲部分的考查重点在三角函数和变换部分，还有函数和数列；与高考相比，对解析几何的考查要少一些。超纲部分占到一半左右， 考查重点 是在简单数论、平面几何和组合问题这几个模块。 体现在题目的难度上就是，“北约”的题目比“华约”要更难一些， 典型的送分题很少， 不少题目都是可以用纯粹考试技巧的方式作出正确答案；从知识点分布上说，并没有覆盖全部重点知识，考察的都是北约较为看重的几点，如代数恒等变形等问题。题目无需复杂计算，如果思维方法正确，只需几分钟 即可解决。 3 卓越联盟 卓越联盟题目 的 考查重点在解析几何、数列、函数和立体几何部分，命题风格全面趋近高考，超纲部分仅约 20%；卓越一贯讲究对高中知识的全面覆盖，偶尔结合一些高级观点，对竞赛的解题思想和技巧基本不要求。 2011 2013 华约自招数学考点分布图（红色字体为 超纲部分） 2011 2013 卓越联盟自招数学考点分布图（红色字体 为超纲部分） 2012、 2013 北约自招 数学考点分布图（红色 字体 为超纲部分） 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 4 三大联盟题目对比 从超 纲部分的比重来看，“北约”最多，“华约”次之，卓越最少，这从 题目的难度上也有所体现；从知识点的分布上看， 卓越联盟 和高考最为接近，“北约” 与高考差距最远，“华约”介于两者之间 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 二、自招知识补充，题目解析 1. 复数 【知识补充】 复数在自招中所占比例比高考试卷略高，难度也稍大，重点考查：复数的代数运算、方程问题、复数与轨迹、单位根等。 例 1： （ 2011华约改编）设复数 z 满足 1z 且 152z z，则 z . 解析： 由 15|2z z得 2 5| | 1 | |2zz ，已经转化为一个实数 的 方程 ， 解得 |z 12 （舍去），2. 例 2： （ 2006 复旦）设 12,ZZ为一对共轭复数，如果 12 6ZZ，且 122ZZ为实数，则12ZZ . 解析： 设 1Z a bi ， 2Z a bi ，由 12 26Z Z bi ，得到 62b ； 由 12 2 22 2Z a biZ a b abi 为实数得到22 12aa b a，整理得到 223ab ，由此即可求得 1Z的模。 例 3： （ 2007复旦）设 00( 0)ZZ 为复平面上一定点， 1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为1 0 1Z Z Z， Z 为复平面上另一个动点，满足 1 1ZZ .则 Z 在复平面上的轨迹形状是 . A. 一条直线 B. 以01Z 为圆心，01Z 为半径的圆 C. 焦距为012Z 的双曲线 D. 以上均不对 解析： 设 0 0 0Z a bi， 1 1 1Z a bi ， Z a bi ，由 1 0 1Z Z Z和 1 1ZZ 可得到方程组： 2 2 2 2 21 0 1 0 1 11111( ) ( )10a a b b a ba a b ba b a b 消去 11,ab可以得到关于 ,ab的方程： 22 0022002 ( )bb aaab ab 所以可知 Z 在复平面上的轨迹为圆。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 2. 平面向量 例 1： （ 2011卓越）向量 ,ab均为非零向量， ( 2 )a b a， ( 2 )b a b，则 ,ab的夹角为 解析： 设 (1,0)a ， ( , )b xy ，由题意得到方程组： 21 2 0( 2) 0xx x y 从而得到 ,xy的值，求得 ,ab的夹角。 例 2： （ 2010 华约）设向量 ,ab满足 1ab， ab m ，则 ()a tb t R的最小值为 . 解析： a tb 与 ()ta b t R的最小值必然相等，求 ta b 的最小值即可； 设 (1,0)a ，则可以取 2( , 1 )b m m，则 2( , 1 )ta b t m m ，显然当 tm 时，ta b 取得最小值 21 m . 例 3： （ 2012华约）向量 ae ， 1e ，若 tR ， a te a e ，则（ ） A. ae B. ()a a e C. ()e a e D. ( ) ( )a e a e 解析： 设 (1,0)e ， ( , )a x y ，由 a te a e 得到 2 2 2 2( ) ( 1)x t y x y 2 2 2 1 0 ( )t tx x t R 由此得到方程的判别式 0 2( 2 ) 4 ( 2 1) 0xx 1x 所以 ( 1, )ay ，可得到 ()e a e. 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 3. 平面几何 【知识补充】 1）角平分线定理 如图 3-1，在 ABC 中， AD 为 A 的角平分线，则有 AB ACAD CD . 2）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 如图 3-2 所示， PA 为圆的切线， PC 为圆的割线，则有 2PA PB PC. 3）相交弦定理 圆内的两条弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如图 3-3所示，则有 PA PB PC PD . 图 3-2 图 -1 图 3-3 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 例 1： （ 2011卓越）如图 3-4， ABC 内接于 O ，过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l ， l 交AB于 E，交 O 于 G， F，交 O 在 A 点处的切线于 P，若 3PE ， 2ED ， 3EF ，则PA= . 解析： 由弦切角定理知 PAB C EDB PEA BED PE AEBE DE PE DE BE AE 由相交弦定理得到 GE EF BE AE 2PE DEGE EF 1PG PE GE 由切割线定理得到 2 6PA PG PF 例 2： （ 2012卓越）如图 3-5 所示， AB 为 O 的直径，弦 CD垂直 AB 于点 M ， E 是 CD 延长线上一点， 10AB ，8CD ， 34ED OM ， EF 为 O 的切线， F 是切点，BF 与 CD 相交于点 G. （ ）求线段 EG 的长； （ ）连接 DF，判断 DF 是否平行于 AB，并证明你的结论。 解析： （ ）如图 3-6 所示，连接 AF、 OF、 OE； 由弦切角定理得到 E F B F A B B G M E G F EFG 为等腰三角形 EG EF 410MDAB 34OMDE 73OE43EF EG （ ）若 DF 平行于 AB，则 90FDC FDE 则 FC 为圆的直径，长度为 10. 由 （ ）中可得 8CD ， 42FD ； 2 2 29 6 1 0 0C D F D F C ，与勾股定理矛盾，故假设不成立，即 DF 与 AB 不平行。 图 3-4 图 3-6 图 3-5 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 例 3： 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， DM 平分 ADB 交 AB 于 M ， DN 平分 ADC 交 AC于 N ，则 BM CN 与 MN 的大小关系是 A BM CN MN B BM CN MN C BM CN MN D不能确定 解析一： 由角平分线定理得到 AM AD AD ANBM BD CD CNMN BC 设 AD 与 MN 交于点 E ，则 E 点平分 MN 且2MN ME EN DE BM CN 与 2DE 的大小关系可以转化为 AB AC 与 2AD 的大小关系（平行线截割定理）而利用平行四边形容易证明在 ABC 中，中线 AD 小于2AB AC 解析二： 在 AD 上截取 DO DB DC，则有 BM OM ， CN ON 则 B M C N M O N O M N (三角形两边之和大于第三边 ) 由解析一知道 /MN BC ，若 O 点在 MN ,则 O 为 MN 中点，且 MND 为直角三角形，则有 M O O N O D B D D C 而实际上 BD MO ，故假设不成立， O 点不可能在 MN 上，故得到 BM CN MN。 例 4： 如图 3-9，在锐角 ABC 中， AB 边上的高 CE 和AC 边上的高 BD 交于点 H，以 DE 为直径作圆与 AC 的另一个交点为 G，已知 25BC ， 20BD ， 7BE ，则AG 的边长为 . 解析： 2520BCBD 4tan 3ACB 257BCBE 24ta n 7ABC 4tan324tan7ACBABC 4tan 3A 18AE 连接 GE，因为 DE 为直径，所以 AED 为直角三角形，由此可求得 AG 的值。 图 3-7 图 3-8 图 3-9 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 4. 立体几何 例 1： （ 2012华约）已知三棱锥 S ABC 的底面 ABC 为正三角形，点 A 在侧面 SBC 上的射影H 是 SBC 的垂心，二面角 H AB C为 30，且 2SA ，则此三棱锥的体积为 . 解析： 如图 4-1 所示，延长 SH 与 BC 交于点 D，连接 AD；作 SO AD，延长 CO 交 AB 于点 F；延长 BH 交 SC 于点 E，连接 AH 和 AE； 因为 AH SBC AH SC，且 H 为 SBC 的垂心，所以 BE SC ，所以 SC 面 ABE ，所以 SC AB . 因为 AH BC ， SD BC ，所以 BC 面 SAD ，所以 BC SO ， BC AD . 又 SO AD ，所以 SO 面 ABC ，即点 O 为 S 在底面的射影。 因为 SC AB ， SO AB ，所以 AB 面 SCF ，所以 AB CF . 由 BC AD ， AB CF ，知道点 O 为 ABC 的中心，所以 2SA SB SC . 设 ABC 的边长为 a ，则 234ABCSa ，在 Rt SOC 中可求得 243aSO； 得到 2213 43 4 3S A B C aVa 因为二面角 H AB C为 30，且 SC 面 ABE ，所以 23c o s 3 0 8A B E A B CS S a . 得到 21 1 323 3 8S A B C A B EV S C S a . 由 2221 3 1 3423 4 3 3 8S A B C aV a a 求得 3a ，代入可得到 34S ABCV . 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 例 2： （ 2012卓越）如图 4-1，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形， /AD BC ， AB BC ，侧面 PAB 底面 ABCD ， 1PA AD AB ， 2BC . （ ）证明平面 PBC 平面 PDC ； （ ）若 120PAB ，求二面角 B PD C的正切值。 解析： 如图 4-2，以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，过 A点垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系；则(1,0,0)B ， (1,2,0)C ， (0,1,0)D . （ ）点 P 在 xOz 平面上，且 1AP ，设 PAB ，则点(cos ,0,sin )P ； 设面 PBC 的一个法向量 1 (1, , )n x y ，由 1 0n BC和1 0n PB得到 1 1 cos(1, 0, )sinn 同理，得到平面 PCD 的一个法向量为 2 1 cos( 1,1, )sinn 因为 12 1 c o s 1 c o s1 ( 1 ) 0 1 0s i n s i nnn 所以 12nn ，所以 面 PBC 面 PCD . （ ）设 二面角 B PD C ；因为 120PAB ，1AP ，所以点 13( ,0, )22P ； 可求得平面 BPD 的一个法向量 3 (1,1, 3)n ， 面 PCD 的一个法向量4 3( 1,1, )3n ； 所以 343( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , )1053c o s353( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , )3nn ，所以105cos 35 ， 46tan 3 . 例 3： 如图 4-4，已知二面角 l的平面角为 45 , 在半平面 内有一个半圆 O , 其直径 AB 在 l 上 , M 是这个半圆 O 上任一点 (除 A 、 B 外 ), 直线 AM 、 BM 与另一个半平面 所成的 角分别为 1 、 2 . 试证明 2212cos cos 为定值 . 图 4-2 图 4-3 图 4-4 图 4-1 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 解析： 如图 4-5， 过 M 作 MH ， H 为垂足，在 内，作 MK AB ， K 为垂足， 连接 ,KH AH BH ，则 12,M A H M B H . ,MH AB, MH AB . ,M K M H M M K平面 MH ，MH 平面 MHK ， AB 平面 MHK . HK 平面 MHK ， AB HK . MKH 是二面角 l的平面角 . MKH 45 . 22MH MK . 在 Rt AMB 中， 2 2 2,A M A K A B B M B K A B M K A K B K . 在 Rt MHA 和 Rt MHB 中，12s in , s inM H M HA M M B. 2212sin sin 22MH MHAM MB 2222M K M KA K A B B K A B22A K B K A K B KA K A B B K A B2BK AKAB 122ABAB 2212c o s c o s 2 ( 2212 3sin sin ) 2 图 4-5 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 5. 解析几何 例 1：（ 2013华约） 设 0k ，在直线 y kx 与 y kx 上分别取点 ,AAAx y 与 ,BBB x y ，使 0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐标原点记 AB 中点 M 的轨迹为 C 求 C 的方程； 若抛物线 2 2x py （ 0p ）与 C 在两点相切，证明：两个切点分别在两条定直线上，并求在这两切点处的切线方程 解析： （ 1） M 为 AB 中点 ，设其坐标为 (, )xy ，则 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 因为 2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx 可得 1ABxx 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 为 222 1yx k 可知曲线 C 为双曲线。 （ 2）联立方程组 222212yxkx py 得到 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由双曲线与抛物线相切得到二次方程的判别式 2 2440p k 所以 1kp 由方程 22 2 1 0p y py 得到两切点坐标为 1( 2, )p。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 由此可知当 p 的值发生变化时，两切点的横坐标不变，故可得 两个切点分别在两条定直线 2x 和 2x 上。 抛物线 2 2x py 在两切点的导数值分别为 2p和 2p，可求得两切线方程为 21( 2 )yxpp ， 21( 2 )yxpp 例 2：（ 2013卓越） 设椭圆 222 124xy aa 的离心率为 33，斜率为 k 的直线 l 过点 0,1E ，且与椭圆相交于 C 、 D 两点 （ 1） 求椭圆方程； （ 2）若直线 l 与 x 轴相交于点 G ，且 GC DE ，求 k 的值； （ 3）设 A 为椭圆的下顶点， ACk 、 ADk 分别为直线 AC 、 AD 的斜率，证明对任意的 k ，恒有 2AC ADkk 解析： （ 1）由已知得离心率 22 33abe a， 2b ，从而 6a 所以椭圆的方程为 22164xy （ 2）直线 l 的方程为 1y kx，设 11Cx y， ， 22Dx y， ， 由方程组 221641xyy kx ，消去 y 得 222 3 6 9 0k x kx 于是12 2623kxx k ，由直线 l 与 x 轴交于点 G ，知 0k ， 1 0Gk， 又 GC DE ，可得 1 1 2 21 1x y x yk ， ，故121xxk 所以26123kkk ，解得 63k （ 3）因为 02A ， ，得 112AC yk x ， 222AD yk x ，又 12 2923xx k ， 于是 AC ADkk 121222yyxx 121233kx kxxx 2 1 2 1 21239k x x k x xxx 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 222218 923923kkkk 2 例 3： （ 2011卓越） 已知椭圆的两个焦点为 12( 1,0), (1,0)FF ,且椭圆与直线 3yx 相切 . （ 1） 求椭圆的方程 ； （ 2） 过 1F 作两条互相垂直的直线 12,ll,与椭圆分别交于 ,PQ及 ,MN,求四边形 PMQN 面积的最大值与最小值 . 解析： （ 1） 设椭圆方程为 22 1( 0)xy abab ,因为它与直线 3yx 只有一个公共点 , 所以方程组 22221,3.xyabyx 只有一解 ,整理得 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 3 3 0a b x a x a a b . 所以 2 2 2 2 2 2 2( 2 3 ) 4 ( ( 3 ) 0 ,a a b a a b 得 223ab . ； 又因为焦点为12( 1,0), (1,0)FF ,所以 221,ab联立上式解得 222, 1ab； 所以椭圆方程为 2 2 12x y. （ 2） 若 PQ 斜率不存在 (或为 0)时 ,则 12 2 2 1| | | | 2 222P M Q NP Q M NS 四 边 形. 若 PQ 斜率存在时 ,设为 ( 0)kk ,则 MN 为 1k .； 所以直线 PQ 方程为 y kx k.设 PQ 与椭 圆 交 点 坐 标 为 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ； 联立方程 2 2 1,2.x yy kx k 化 简 得2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k . 则 221 2 1 24 2 2,2 1 2 1kkx x x x 所以 2 4 2 2 2212 22( 1 ) 16 4( 2 1 ) ( 2 1 ) 1| | 1 | | 2 22 1 2 1k k k k kP Q k x x kk 同理可得 221| | 2 2 2kMN k 所以 22 2 4 22 2 4 2 4 21| | | | ( 1 ) 2 1 1 24 4 4 4 ( )2 ( 2 ) ( 2 1 ) 2 5 2 2 2 5 2P M Q N kP Q M N k k kS k k k k k k 四 边 形 242 221 1 14 ( ) 4 ( )12 4 1 0 4 24 4 1 0kkkk k 因为 2222144 4 1 0 2 4 1 0 1 8kkkk （当且仅当 2 1k 时取等号） 所以 ,2 211( 0 , ,1 184 4 1 0k k 也所以2 21 1 1 64 ( ) , 2 1294 4 1 0k k 所以综上所述 ， PMQNS四 边 形 的面积的最小值为 169 ,最大值为 2. 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 6. 数论 【知识补充】 1） 整除的概念 设 ,ab是给定的整数， 0b ，若存在整数 c ，使得 a bc ，则称 b 整除 a ，记作 |ba，并称b 为 a 的一个约数，称 a 是 b 的一个倍数；如果不存在上述 c ，则称 b 不能整除 a 。 整除有以下性质： 若 |bc且 |ca，则 |ba（传递性质）； 若 |ba且 |bc，则 |( )b a c ； 若 |ba，则 0a 或 ab ，因此若 |ba且 |ab，则 ba ； ,ab互质，若 |ac且 |bc，则 |abc ； p 是质数，若 12| np aa a ，则 p 能整除 12,na a a 中的某一个；特别的，若 p 是质数且 | npa，则 |pa； （带余除法）设 ,ab为整数， 0b ，则存在整数 q 和 r ，使得 a bq r，其中 0 rb ，并且 q 和 r 由上述条件唯一确定；整数 q 称为 a 被 b 除得的商，整数 r 称为 a 被 b 除得的余数； r 共有 b 种可能取值： 0,1, , 1b 。若 0r ，即为 a 被 b 整除的情况。 n 个连续整数中，有且只有一个是 n 的倍数； 任何 n 个连续整数之积，一定是 !n 的倍数，特别的，三个连续正整数之积，能被 6 整除； 2） 奇数、偶数有如下性质： 奇数 奇数 =偶数，偶数 偶数 =偶数，奇数 偶数 =奇数，偶数 偶数 =偶数，奇数 奇数=奇数，奇数 偶数 =偶数； 奇数的平方都可以表示成 81m 的形式，偶数的平方可以表示成 8m 或 84m 的形式； 任何一个正整数 n ，都可以写成 2mnl 的形式，其中 m 为非负整数， l 为奇数； 若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积