固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

第四章总结第四章规定1、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清晰声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、理解三维晶格的振动；4、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系数确实定，清晰LST关系及离子晶体的光学性质；5、理解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。一维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量拟定晶格振动谱的实验办法离子晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态方程非简谐效应热膨胀热传导一、晶格振动的状态及能量1、一维单晶格的振动一维单原子链格波：晶格振动是晶体中诸原子〔离子〕集体地在作振动，由于晶体内原子间有互相作用，存在互相联系，各个原子的振动间都存在着固定的位有关系，从而形成多个模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以迈进波的形式在晶体中传输，这种波称为格波。相邻原子之间的互相作用阐明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的第n个原子的运动方程色散关系：把ω与q之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。其中波数为，是圆频率，是波长〔1〕“格波〞解的物理意义一种格波解表达全部原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq。〔2〕q的取值范畴【－(π/a)<q≤(π／a)】这个范畴以外的值，不能提供其它不同的波。q的取值及范畴常称为布里渊区。前面所考虑的运动方程事实上只合用于无穷长的链，而两端原子的运动方程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。玻恩-卡曼提出的环状链模型玻恩-卡曼边界条件〔周期性条件〕对色散关系的两点讨论A〕由于ω是q的偶函数故有右图即为两者之间的函数曲线B〕一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系的区别。当q很小时，一维单原子链的色散关系与持续弹性介质波的色散关系一致：对于一维单原子链，如果相邻原子的相对位移为，相对伸长为，互相作用力能够写为这阐明为连链的伸长模量。假设把一维原子链当作是持续的弹性链时，线密度为m/a，弹性波的波速为一维双原子链两种原子的运动方程及其格波解运动方程格波解ω＋对应的格波称为光学波或光学支，ω－对应的格波称为声学波或声学支。两种格波的振幅比：，ω＋与ω－都是q的周期函数其中对色散关系的讨论〔1〕一维单原子链与一维双原子链的格波解的差别一维单原子链只有一支格波〔一种波矢对应一种格波〕—声学波；而一维双原子链那么有两支格波〔一种波矢对应两个格波〕—声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范畴：在ω-max与ω+min之间有一频率间隙，阐明这种频率的格波不能被激发。〔2〕声学波的物理本质声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。〔3〕光学波的物理本质是复式格子特有的，光学格波是两种原子保持质心不动的状况下作刚性的相对振动〔4〕q的取值即晶格振动的波矢数＝晶体原胞数晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数3、三维晶格的振动格波：在三维晶格中，对于一定的波矢q，有3个声学波，〔3n－3〕个光学波。“q空间〞及q在其中的分布密度〔1〕q空间:“q空间〞亦称为波矢空间。〔2〕q在波矢空间的密度分布密度为：〔3〕波矢数和格波数晶格振动的波矢数＝晶体原胞数晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数4〕晶格振动谱〔1〕对于原胞只含有一种原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。不同之处在于一维单原子链的一种原子只有一种自由度，对应于一种声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传输方向垂直的横声学波存在。〔2〕对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外尚有光学支，在q＝0处有非零的振动频率ω。4、简谐近似和简正坐标〔1〕简谐近似和非谐作用：体系的势能函数只保存至μi的二次方程，称为简谐近似。要考虑到高阶作用的那么称为非谐作用。〔2〕简正坐标与振动模：由简正坐标所代表的，体系中全部原子一起参加的共同振动，常称为一种振动模或简正模。〔3〕晶格振动能和声子晶格振动的能量量子称为为声子。5、拟定晶格振动谱的实验办法光子散射：〔1〕光子散射测定晶格的振动谱〔2〕长声学波声子造成的光子散射为光子的布里渊散射〔3〕喇曼散射是光子与长光学波声子的互相碰撞。中子散射：(1)中子只与原子核作用(2)中子散射的非弹性散射(3)正常过程与倒逆过程(4)三轴中子谱仪6、离子晶体的长光光学波近似长光学波的宏观运动方程长光学波的横波频率ωTO与纵波频率ωLO横波方程,纵波方程:LST关系离子晶体的光学性质长光学波和与它频率同样的电磁波互相作用时，能够发生共振吸取。7、局域振动局域振动：局限在杂质〔或缺点〕附近的晶格振动称为局域振动.高频模和共振模:对于一维单原子链,当杂质原子质量与原子链中的原子质量之间的关系为M’<M时，在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模;当杂质原子比所替代的原子质量重时，即M’>M，将会出现共振模.隙模:晶体中杂质或缺点可能引入某些新的振动模式频率落在频隙之间，称为隙模。二、晶格振动的热容量1、晶格热容的量子理论热容问题概述:〔1〕晶格热容和电子热容固体的平均内能涉及晶格振动能量和电子运动能量，这两种运动能量对固体的热容都有奉献，分别称为晶格热容和电子热容。〔2〕杜隆－珀替定律热容是一种与温度和材料性质无关的常数，含有N个原子的固体，其热容为CV＝3NkB。其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。高温时，此定律与实验成果符合得较好；低温时，与实验成果不怎么符合。〔3〕热容CV的普通体现式晶格振动频率为分立值的情形振动频率为持续值的情形爱因斯坦模型:〔1〕模型的特点认为晶格中各原子在振动时互相独立的，全部原子都以同样的频率振动。〔2〕晶格的热容〔3〕爱因斯坦模型与实验符合的程度1〕温度较高时：那么因此与杜隆－珀替定律一致。2〕低温时：爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的奉献德拜模型:〔1〕模型特点把晶格看作是各向同性的持续介质，格波为弹性波，并且假定横波和纵波的波速相等。〔2〕能量和热容的体现式〔3〕德拜温度v(4)讨论当温度T>>ΘD时，热容趋于典型极限。在极低温度下，热容和T3成正比，称为德拜T3定律。温度越低,德拜近似越好.2、晶格振动模式密度(1)模式密度的定义普通体现式为：(2)求模式密度的几个例子A、一维单原子链的模式密度函数B、德拜近似下的模式密度C、频率与波矢的平方成正比的状况在频率与波矢的平方成正比时，三维、二维、一维状况下，模式密度函数分别与频率ω的1／2，0，－1／2次方成比例。(3)范.霍夫奇点把▽qω〔q〕＝0的点称为范.霍夫奇点，也叫临界点。三、非简谐效应1、晶格的状态方程晶格的自由能晶格的状态方程普通体现式：格林爱森方程：2、热膨胀在不施加压力的状况下，体积随温度的变化为热膨胀.非谐效应是热膨胀的因素。热膨胀系数：3、晶格的热传导〔1〕热传导当固体中温度分布不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，这种现象称为热传导。〔2〕傅立叶定律固体中假设存在温度梯度，将有热能从高温处流向低温处，热流密度矢量正比于温度梯度比例系数κ称为热传导系数或热导率。这称为傅立叶定律。〔3〕晶格导热与电子导热通过格波的传输导热称为晶格导热，而通过电子运动导热的那么称为电子导热。声子－声子的互相作用〔1〕非谐作用使晶格振动达成热平衡非谐作用是晶格振动达成热平衡的最