第2章 电路的分析方法

电工技术第二章电路的分析方法1/63第二章电路的分析方法（8学时）2.1电阻串并联连接的等效变换2.2电阻星形连接与三角形连接的等效变换2.3电源的两种模型及其等效变换2.7戴维宁定理与若顿定理2.4支路电流法2.5结点电压法2.6叠加定理2.8受控电源电路的分析（自学）2/63电路拓扑及拓扑图电路的拓扑即电路的连接关系拓扑图：分析电路结构的工具分析如图电路的连接关系拓扑分析的步骤：1、确定结点数；2、逐个画出结点；3、确定元件边数；4、逐个标出结点之间的元件边；5、分析连接关系。3/63电路拓扑图实例4/63电路拓扑分类（补充内容）从拓扑的角度，电路分为平面电路与非平面电路平面电路：拓扑图为平面图的电路；非平面电路：拓扑图为非平面图的电路。从连接关系的角度，电路分为可分离电路与不可分离电路可分离电路还可以分为：拓扑可分离电路与电源可分离电路不可分离电路有两种形式：

1、可对联电路：可通过串并联变换成为对联形式的电路

2、非可对联电路：无法通过串并联成为对联的电路。5/63电路的求解方法（补充内容）电路求解的基本方法有三种：1、等效变换法（物理方法）；2、关联关系法（数学方法）；3、叠加原理法（分解合成法）。电路所有分析方法的基础：1、参考方向（决定正负极性）；2、伏安特性（含欧姆定律）；3、基尔霍夫定律（KCL、KVL）。电路分析的基本原则除此之外别无它则。6/63电路等效（补充）电路等效有两种：参数等效与状态等效。参数等效是外部等效，不是内部等效。状态等效不是特性等效，不能求解伏安特性，只能用于计算电压电流。两端电路（元件、支路、网络）电压为零时等效为短路；两端电路（元件、支路、网络）电流为零时等效为开路。替代定理：两端电路（元件、支路、网络）可采用相同电压的电压源替代或采用相同电流的电流源替代。替代定理是状态等效。7/63问题与思考什么是等效变换？等效指的是什么？等效变换的结果是唯一的吗？等效变换应该取什么样的结果？等效变换还可以进行逆变换吗？8/63理想电源的串并联等效（补充）1、理想电压源串联：等效为一个电压为串联电压源电压代数和的理想电压源。2、理想电压源并联：不可并联，除非电压源电压相等。3、理想电流源并联：等效为一个电流为并联电流源电流代数和的理想电流源。4、理想电流源串联：不可串联，除非电流源电流相等。9/632.1电阻串并联连接的等效变换“电阻”有很多含义：1、电阻器（器件）；2、电阻元件（理想模型）；3、参数（阻值）。“电导”的含义：电阻元件的参数（电导值）电导与电阻的关系：G=1/R或R=1/G问题：有没有电导器？10/63电阻串并联连接的等效变换（1）电阻的串联：顺序相连+_R1Rn+_U

ki+_u1+_unuRk特点电流相等：串联元件的电流与串联电路的电流相等；电压相加：串联电路的总电压为各元件分电压之和。11/63电阻的串联的等效变换多个电阻串联：等效为一个各电阻之和的电阻；等效电阻上的功率：各电阻功率之和。等效电阻功率关系12/63电阻的串联的等效变换各电阻上的电压：与各电阻成正比；各电阻上的功率：与各电阻成正比。电压分配功率分配13/63电阻的串联的等效变换（特例）各电阻阻值相等，则：电压分配功率分配等效电阻功率关系14/63电阻串并联连接的等效变换（2）电阻的并联：两端分别相连特点电压相等：并联元件的电压与并联电路的电压相等；电流相加：并联电路的总电流为各元件分电流之和。inR1R2RkRni+ui1i2ik_15/63电阻的并联的等效变换多个电导并联：等效为一个各电导之和的电导；等效电导上的功率：各电导功率之和。等效电导功率关系16/63电阻的并联的等效变换各电导上的电流：与各电导成正比各电阻上的功率：与各电导成正比。电流分配功率分配17/63电阻的并联的等效变换电阻形式：等效电阻电流分配功率分配18/63电阻的并联的等效变换（特例）各电阻阻值相等，则：电流分配功率分配等效电导功率关系等效电阻？19/63例1R=5Ω，求等效总电阻及各电阻的电压U1、U2与电流I1、I2、I3+_R2RRRI1I2I312V+_U2+_U120/632.2电阻星形—三角形连接的等效变换网联形式电阻如何等效？五个电阻呈什么连接关系？如何计算总电阻？21/63电阻星形连接与三角形连接Y型网络

型网络R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Yi1

=i1Y

i2

=i2Yi3

=i3Y

u12

=u12Y

u23

=u23Yu31

=u31Y等效条件R12

=R12Y

R23

=R23YR31

=R31Y22/63等效关系推导

形：Y形：等效关系利用端口电阻相等进行推导断开一端，另外两端之间的对应电阻相等23/63电阻星形连接与三角形连接的等效关系由

Y:由Y:24/63电阻星形连接与三角形连接的等效关系由

Y:由Y:25/63电阻星形连接与三角形连接的等效关系由

Y:由Y:26/63等值电阻的星形与三角形连接的等效变换由

Y:由Y:27/63例等效总电阻的求解方法3RRR1R2R33R3RRR6R问题与思考：理想电源可以进行星三角等效转换吗？28/63例2:等效电路法求电压2Ω8V4A1Ω1Ω8V4V2Ω1Ω8V4V2A2Ω8VU2Ω1Ω1Ω1Ω8V1Ω2Ω2Ω8V1Ω1Ω8V2V2Ω1Ω1Ω1Ω2A29/63电阻网络等效变换总结电阻组成的两端复杂电路称为一端口电阻网络。通过Y--△变换、串并联变换，一端口电阻网络逐级等效变换为一个两端电阻；单个电阻很容易求得电压与电流；再根据欧姆定理、分压或分流公式求得下一层级电阻的电压与电流；如此，即可求得所有电阻的电压与电流。结论：只要已知电阻参数与网络结构，就可以求得所有电阻的电压与电流。30/632.3电源的两种模型及其等效变换两种模型：电压源模型与电流源模型u=uS

–Ri1

iUSUI

Ri1Iui0RUIi+_uSRi1+u_i=iS

–Gi2

uiGi2+u_iSUIISUIGi2Uui031/63伏安特性US

实际电源I(A)

U(V)

0

IS

开路电压短路电流普通电源电流源：内阻越大，负载调整率越小，输出电流越稳定。电压源：内阻越小，负载调整率越小，输出电压越稳定。32/63电源的两种模型之间的等效变换两种模型：电压源模型与电流源模型u=uS

–Ri1

iUSUI

Ri1Iui0i=iS

–Gi2

uISUIGi2Uui0u=Ri2iS–Ri2iRi1=Ri2uS=Ri2iS两者理论上完全可以等效，但好的电压源却是差的电流源，好的电流源却是差的电压源33/63例将电压源模型等效转换为电流源模型将电流源模型等效转换为电压源模型i5Ω+u_5Ai?Ω+u_？Aaai+_10V2Ω+u_abbbi+_？V？Ω+u_ab电阻的功率相同吗？34/63普通电源与理想电源的差异电源状态电压源电流源理想电压源理想电流源开路UERIsE×I000×短路U00×0IE/RIs×Is等效条件E=RIsIs=E/R无法等效35/63例：计算图示电路各元件的功率求解步骤：1、将右侧电流源等效为电压源；2、采用等效电路求电压源的电流；3、采用原电路求R1的电流与电压；4、计算各元件的功率；5、功率平衡验证。求解过程：1、R=5Ω、E=10V2、IR2ba=(10-5)/(10+5)=0.333A3、IR1ba=2-0.333=1.667A

Uba=5*1.667=8.335V4、P出2A=2*8.335=16.67WP入5V=0.333*5=1.665WP入R1=10*0.3332=1.11WP入R2=1.667*8.335=13.89W5、ΣP出=16.67W

ΣP入=16.665W+_u+_2A5VR2=10ΩR1=5Ωab+_E+_5VR2=10ΩRab36/632.7戴维宁定理与诺顿定理二端网络的概念：二端网络：具有两个出线端的部分电路。无源二端网络：二端网络中没有电源。有源二端网络：二端网络中含有电源。无源二端网络

有源二端网络

baE+–R1R2ISR3R4baE+–R1R2ISR337/63戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个普通电压源（理想电压源与电阻串联）来等效置换；理想电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口网络的输入电阻（或同构空源网络的等效电阻Req）。AabiuiabReqUoc+-u内阻:动态电阻或电源置零后网络的等效电阻。理想电压源的电压：等于端口开路电压。38/63任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个普通电流源（理想电流源与电导并联）来等效置换；理想电流源的电流等于该一端口网络的短路电流isc，而电导(电阻)等于把该一端口网络的全部独立电源置零后的输入电导(或同构空源网络的等效电阻Req)。诺顿定理AababGeq(Req)Isc内阻:动态电阻或电源置零后网络的等效电阻。理想电流源的电流：等于端口短路电流。39/63abRab无源二端网络+_ER0ab

电压源（戴维宁定理）

电流源（诺顿定理）ab有源二端网络abISR0无源二端网络可化简为一个电阻40/63任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个普通电源来等效置换；普通电源的内阻等于把该一端口网络的全部独立电源置零后的总等效电阻。戴维宁定理与诺顿定理合起来：戴—诺定理41/63等效变换过程中每一步都需要画出电路图已知：E1=E2=4V，IS=2A，所有电阻值均为1，求电流I。提示：当电路特别复杂难以看清电路联接关系时先画电路的拓扑图，再画经过整理的电路图，使得串并联关系清晰。求电阻R上的电流，则在等效过程中尽量保留电阻R。变换：4V*1→4A*1→4+2=6A*1→6A*0.5→3V*0.5→3V*0.5+1=1.5→2A*1.5→2A*0.6→1.2V*0.6→1.2-4=-2.8V*0.6+1=1.6→I=-2.8/1.6=-1.75A42/63等效电路求解方法小结通常用于已知激励与电路结构、求解物理量的情形。采用等效电路的方法简化电路结构；求解简化的电路；将求解简化电路得到的结果作为已知条件求解稍作还原的电路；再将上述结果作为已知条件求解进一步还原的电路；直至求出原电路上所有需要求解的量。43/63非平面图：有交叉但不连接的接点。平面图：没有交叉但不连接的接点。2.4、2.5平面图与非平面图（补充）44/63将平面图覆盖在球面上，球体变为凸多面体。平面电路与凸多面体表面有着对应关系：几何多面体：顶点、棱、面。对应关系：顶点——？棱——？面——？结论：平面图与几何凸多面体具有完全相同的拓扑结构。平面图支路数、结点数、网孔数的关系结点数+网孔数=支路数+1球面图支路数、结点数、网孔数的关系结点数+网孔数=支路数+2

独立结点数+独立网孔数=支路数球面图网孔比对应平面图网孔多一个，多出的一个网孔为参考网孔。平面电路网络与几何凸多面体（补充）45/63电路列方程求解法的一般解题步骤前面介绍的是等效电路求解方法，后面要介绍电路列方程求解法，一般步骤为：1、分析：电路的组成与结构；2、标记号或标参考方向；3、列KCL、KVL、伏安特性方程；4、解方程：结果保留三位有效数字；5、列功率方程：P=±UI；6、计算功率：结果保留三位有效数字。46/632.4支路电流法对于有n个结点、b条支路的电路，即：有b个支路电流未知量。支路电流法以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法，支路法宜于在支路数不多的情况下使用。R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234电路有4个结点、6条支路的电路，即：有6个支路电流未知量。47/63支路为理想电流源或等效为理想电流源时无法使用伏安特性实现电压与电流的转换。处理方法：（1）将电流源的电压作为增加的未知量（用电压源替代电流源）；（2）用同样的方法列出电路方程；（3）增补方程：含有电流源的支路电流即为电流源的电流；（4）增加的未知量数与增补的电流源支路方程数相同。独立方程的列写（1）选择某一结点为参考结点；（2）列写所有独立结点的KCL方程Σi=0；（3）列写所有基本回路的KVL方程Σu=0；（4）将KVL方程中电压采用支路电流表示u=u(i)

（根据支路伏安特性方程）。问题与思考：是否可以根据支路VAC将KCL方程中的电流用支路电压代替求解电路。48/63例132有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:结合元件特性消去支路电压得：回路1回路2回路3R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS123412349/63例结点a：–I1–I2+I3=0(1)1个独立结点KCL方程：列写支路电流方程(电路中含有理想电流源）解(2)2个网孔KVL方程：11I2+7I3=

U7I1–11I2=70-U（3）增补方程：a1270V6A7

b+–I1I3I27

11

+U-I2=6A50/63支路电流法总结一、何为支路电流法？答：支路电流法是以支路电流为未知量求解的方法；二、支路电流法需要建立哪些方程？答：独立结点KCL、基本回路KVL方程；三、KVL方程中的电压如何用电流表示？答：采用元件或支路的VAC方程；四、支路为理想电流源或等效为理想电流源时如何处理？答：支路电流为理想电流源的电流，增设理想电流源的电压为未知量。问题与思考：理想电压源同样无法使用伏安特性实现电压与电流的转换，需要做特殊处理吗？51/632.5结点电压法结点电压法以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法，适用于结点较少的电路。iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_对于有n个结点的电路，即：有n-1个结点电压未知量。电路有4个结点，即：有3个结点电压未知量。52/63支路为理想电压源或等效为理想电压源时无法使用伏安特性实现电压与电流的转换。处理方法：（1）将电压源的电流作为增加的未知量（用电流源替代电压源）；（2）用同样的方法列出电路方程；（3）增补方程：电压源的电压即为结点电压差（电位差）；（4）增加的未知量数与增补的结点电压方程数相同。结点电压方程列写（1）选择某一结点为参考结点；（2）列出独立结点的KCL方程Σi=0

；（3）将KCL方程中的电流采用支路电压表示 （根据支路伏安特性方程i=i(u)

）；（4）支路电压用结点电位表示。53/63iS1uSiS2G1i1i2i3i4i5G2G5G3G4+_132有4个结点，列3个KCL方程：i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路电流用结点电压表示：-i3+i5=－iS2例整理后得到：54/63有4个结点，列3个KCL方程：结点电压法的标准形式：iS1G5uSiS2G1G2G5G3G4132将所有的普通电压源等效为普通电流源再直接写出结点电压法的标准形式续55/63例列写结点电压方程(电路中含有理想电压源）I2

I1

I4

I3

_

R1+

US

IS1R2IS2R3

2

1

U1

R5

U23

有2个独立结点KCL方程：Is1+i4=i1+i3i3=IS2+i2+i4把支路电流用结点电压表示：Is1+i4=G1U1+G3USG3US=IS2+G2U2+i4增补方程：U1-U2=US56/63结点电压法总结一、何为结点电压法？答：结点电压法是以结点电位为未知量求解的方法；二、结点电压法需要建立哪些方程？答：独立结点KCL；三、KCL方程中的电流如何用电压表示？答：采用元件或支路的VAC方程；四、支路为理想电压源或等效为理想电压源时如何处理？答：支路电压（两端电位差）为理想电压源的电压，增设理想