常微分方程

常微分方程Tag内容描述：<p>1、考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器、圆规、直尺、半圆仪 文具，满分为：100分。题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共10分）1、微分方程的( )称之为微分方程的积分曲线(A)斜率； (B)解曲线；(C) 的微分； (D) (A)(B)(C)都不对2、方程有只与有关的积分因子的充要条件为下面哪一个( )(A) ； (B) ；(C) ； (D).3、对于一阶微分方程，=，作皮卡序列,决定一致收敛的条件是( )(A) 在R上连续； (B)在R上关于y满足李普希茨条件；(C)在R上关于x满足李普希茨条件；(D)在R上关于y连续4、方程的通解为（ ）.（A）； （B）；（C）；(D).5。</p><p>2、专业好文档中国海洋大学 2008-2009学年 第一学期 期末考试试卷学院常微分方程课程试题(A卷)优选专业年级 信息与计算科学 06级 学号 姓名 授课教师 高存臣 座号 -装-订-线-共 页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器、圆规、直尺、半圆仪 文具，满分为：100分。题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共10分）1、微分方程的( )称之为微分方程的积分曲线(A)斜率； (B)解曲线；(C) 的微分； (D) (A)(B)(C)都不对2、方程有只与有关的积分因子的充要条件为下面哪一个( )(A) ；。</p><p>3、专业好文档1第9题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A.B.C.D.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.02第10题设有四个常微分方程：(i) ,(ii) ,(iii) ,&#160。</p><p>4、第六章 常微分方程的数值解法6.0 引言6.1 算法构造的主要途径 6.2 Runge-Kutta Method算法6.3 线性多步法6.4 线性多步法的一般形式6.5 算法的稳定性、收敛性6.6 小结376.0 引 言1主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:微分方程的解就是求一个函数，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。2. 例如微分方程:初始条件.可得一阶常微分方程的初始问题。显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 。</p><p>5、计 算 方 法 授课老师：聂德明 nieinhzcjlu.edu.cn 仰仪北楼606 计量测试工程学院 Numerical Method 6 常微分方程数值解法 常微分方程 欧拉方法 龙格-库塔方法 6 常微分方程数值解法 微分方程 常微分方程 偏微分方程 线性常微分方程 非线性常微分方程 一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉(Euler)方法 数值方法的基本思想 在解的存在区间上取n + 1个节点 利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值： y0, y1, yn 连续 离散 一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉(Euler)方法 x0x1x2xixi+1xn 6.1 欧拉(Euler)方法 6.1 欧拉(Euler)方法 单步显。</p><p>6、常微分方程习题常微分方程习题 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为 代入得把即两边同时积分得： e ex x yc yx x cycyxdxdy y 2 2 , 1 1,0,ln,2 12 = =+= , 0) 1(. 2 2 =+dyxdx y 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当 即时，两边同时积分得；当 x y cyxy xc yc y xydydx x y + = = + =+=+= + 1ln1 1 , 11, 00 1ln 1 , 1 1ln0, 1 1 1 2 3 yxy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式可化为： xx y xxyx。</p><p>7、习题1.21=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=3=解：原方程为：=dy=dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=-dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-令=u 则=u+x 。</p><p>8、习题311 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.1）； 2）； 3）.解 1）因为及在整个平面上连续，所以在整个平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个平面上初值解存在且唯一.2）因为除轴外，在整个平面上连续，在在整个平面上有界，所以除轴外，在整个平面上初值解存在且唯一.3）设，则故在的任何有界闭区域上，及都连续，所以除轴外，在整个平面上初值解存在且唯一.2 求初值问题R：.的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.解 设，则，所以.显然，方程在R上满足解的存在唯一性定理，故过点的解的存。</p><p>9、常微分方程2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3 解：原式可化为：12解1516解：，这是齐次方程，令17. 解：原方程化为令方程组则有令当当另外19. 已知f(x).解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=)两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c。</p><p>10、第9章常微分方程,9.1.1微分方程的基本概念9.1.2分离变量法9.1.3内容小结,9.1常微分方程的基本概念与分离变量法,9.1.1微分方程的基本概念,9.1.2分离变量法,9.1.3内容小结,1微分方程的基本概念2分离变量法,9.2一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程,9.2.1一阶线性微分方程9.2.2可降阶的高阶微分方程9.2.3内容小结,9.2.1一阶性微分方程,9.2.2可降阶。</p><p>11、第一章绪论,1.1微分方程模型云南师范大学数学学院黄炯,例1求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,解:设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件:曲线过(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为:,例2物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中,在时刻,时,测得它的温度为,10分钟后测量得温度为试决定此物,体的温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度。</p><p>12、2.2 线线性方程与常数变变易法 Date常微分方程 一阶线性微分方程 Date常微分方程 一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法 Date常微分方程 代入(1)得 积分得 注 求(1)的通解可直接用公式(3) Date常微分方程 例1 求方程 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 首先,求齐次方程的通解 从 分离变量得 两边积分得 Date常微分方程 故对应齐次方程通解为 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 即 积分得 故通解为 Date常微分方程 例2 求方程通解. 解:但将它改写为 即 故其通解为 Date常微分方程 例3 求值问题 的解. 解:先求原方程的通解 Date常微。</p><p>13、实验实验4 4 常微分方 程数值解 凯 里 学 院 理 学 院 主讲主讲: :潘东云潘东云 Experiments in Mathematics 1 为什么要学习微分方程数值解 微分方程是研究函数变化规律的重要工具，有着广泛 的应用。如: 物体的运动, 电路的电压, 人口增长的预测 许多微分方程没有解析解，数值解法是求解的重要手 段，如 2 实验4的基本内容 3. 实际问题用微分方程建模，并求解 2. 龙格-库塔方法的MATLAB实现 *4. 数值算法的收敛性、稳定性与刚性方程 1. 两个最常用的数值算法: 欧拉（Euler）方法 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 3 实例1 海上缉私 海防某部。</p><p>14、第4章 常微分方程【学习目标】常微分方程部分介绍的是在电子信息类领域常见的一种数学模型-微分方程的基本概念和解析解法，实际上微分方程的概念和解法还有很多，而且现有理论还远不能满足需要，需进一步发展和完善. 但通过本章学习掌握一定的微分方程建模知识和求解方法，可以巩固前面所学习的微积分知识，也可为后续课程的学习打下一定基础.【基本要求】要求通过学习，了解微分方程及其解的基本概念，掌握可分离变量微分方程的分离变量解法，熟练掌握一阶线性微分方程的常数变易解法和二阶常系数齐次线性微分方程的特征根解法，了解二阶。</p><p>15、第九章 常微分方程数值解法许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。因此研究一阶微分方程的初值问题(9-1)的数值解法具有典型性。常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。对非线性方程来说，解析方。</p><p>16、,2.4奇解,/Singularlysolution/,.,2.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,.,利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点。,解：容易看到y=0是解，并且满足给定的初始条件,例1,得通解,由,.,.,x,y,.,定义2.3如果方程存在某一解。</p><p>17、,第五章线性微分方程组云南师范大学数学学院黄炯,.,例如，已知在空间运动的质点,的速度,与时间及点的坐标的关系为,且质点在时刻t经过点,求该质点的运动轨迹。,.,因为,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组,满足初始条件,的解,（1.12）,.,中,令,就可以把它化成等价的一阶微分方程组,注意，这是一个含n个未知函数,的一阶微分方程组。,。另外，在n阶微分方程,.,含有n个未知函数,的一阶微分方。</p><p>18、2020/4/26,.,1,一、微分方程,第六章微分方程,第一节微分方程的基本概念,二、微分方程的解,2020/4/26,.,2,300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律。</p><p>19、常微分方程模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。2、一阶微分方程的通解为 （C为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 ，与直线y=2x+3相切的解是 ，满足条件的解为 。3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。4、对方程作变换 ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 。5、方程过点共有 无数 个解。6、方程的通解为 ，满足初始条件的特解为 。7、方程 无 奇解。8、微分方程可化为一阶线性微分方程组 。9、方程的奇解是 y=0 。10、是 3。</p><p>20、第十章,常微分方程数值解法,（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴 蝶效应。,图10.1.1蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方 向的温度变化y和z联系了起来。参数,称为普。</p>