第4节多元复合函数

第4节多元复合函数Tag内容描述：<p>1、第4节 多元复合函数的求导法则 1 设而z xy v x y 求和 解 2 设而z x2siny 求和 解 3 设z uv sint 而u et v cost求全导数 解 vet u sint cost etcost etsint cost et cost sint cost 4 设w f x y z xyz f具有二阶连续。</p><p>2、1,第九章,多元函数微分法,及其应用,第一节多元函数的基本概念,第二节偏导数,第三节全微分,第四节多元复合函数的求导法则,第五节隐函数的求导公式,第六节多元函数微分学的几何应用,第七节方向导数与梯度,第八节多元函数的极值及其求法,2,第四节,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,多元复合函数的求导法则,第九章,3,第四节多元复合函数的求导法则,一元复合函数,求导法。</p><p>3、,第四节多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,.,一、多元复合函数的求导法则链式法则,情形中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,.,则,推广:,的导数,.,例1.设,求全导数,解:,.,情形中间变量是多元函数的。</p><p>4、第四节 多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,一、多元复合函数的求导法则 链式法则,情形 中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,则,推广:,的导数,例1. 设,求全导数,解:,情形 中间变量是多元函数的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则复合函数,的偏导数,设,则,的偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:,例2. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常采用下面记号：,在多元复合函数求。</p><p>5、高等数学（下）主讲高等数学（下）主讲 王丽娜王丽娜 20152015年年4 4月月8 8日星期三日星期三1 1 证明：证明： ()( )uttt ()( )vttt 一、链锁法则一、链锁法则 ，获得增量获得增量设设tt 第四节第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 定理定理设设u= (t)及及v= (t)在。</p><p>6、三、小结 思考题,一、链式法则,二、全微分形式不变性,第四节 多元复合函数的求导法则,一元函数复合函数求导法则：,基本思想：将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。,由于一元复合函数“函数” 、“中间变量” 、“自变量”之间关系为“单线联系”，故上述一个公式可以解决所有一元复合函数求导问题。,多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变 量， “函数” 、“中间变量” 、“自变量”之间关系“错 综复杂。</p><p>7、,第四节多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,.,一、多元复合函数的求导法则链式法则,情形中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,.,则,推广:,的导数,.,例1.设,求全导数,解:,.,情形中间变量是多元函数的。</p><p>8、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分 形式不变性,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元:,链式法则,证,t0 时, 取“”号,故可微，即,有连续偏导数，,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,在对应点 的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算:,具有对x和y的偏导数，,且函数,则复合函数,2.上定理还可推广到 中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,复合结构如图示,链式法则的规律：,“连线相乘，分线。</p><p>9、第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 二 全微分形式不变性二 全微分形式不变性 一 链式法则一 链式法则 三 小结 思考题三 小结 思考题 四 作业四 作业 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元。</p><p>10、一、多元复合函数求导法则,二、小结 思考题,第四节 多元复合函数的,求导法则,一、多元复合函数的求导法则,在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.,现在我们把它推广到多元复合函数的情形.,下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.,1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形,证明,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数。</p><p>11、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第二十二讲,2,第四节,一、多元复合函数求导法则,三、隐函数求导公式,多元复合函数与隐函数求导法则,第七章,二、多元复合函数的全微分,3,一元复合函数,求导法则,微分法则,4,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,中间变量是一元函数的情形,若定理中,说明:,偏导数连续减弱为,偏导数存。</p><p>12、第四节多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,1,一、多元复合函数的求导法则链式法则,情形中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,2,则,推广:,的导数,3,例1.设,求全导数,解:,4,情形中间变量是多元函数的情形。</p><p>13、1,证略,第五节多元复合函数与隐函数微分法,一、多元复合函数的偏导数,1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,2,以上公式中的导数称为全导数.,3,解,例1,4,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,链式法则如图示,5,链式法则如图示,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,6,7,解,例2,8,解,例3,9,解,例4,或用求导法则，,10,证,例5,所。</p><p>14、三 小结思考题 一 链式法则 二 全微分形式不变性 9 4多元复合函数的求导法则 一 链式法则 证 1 中间变量均为一元函数 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如 以上公式中的导数称为全导数 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况 2 中间变量均为多元函数 链式图如右所示 两者的区别 区别类似 函数复合后求偏导 外层函数求偏导 即 其中 3 中间变量既有一元又有多元函数的。</p>