定积分的几何应用

定积分的几何应用Tag内容描述：<p>1、1.7.1 定积分在几何中 的应用 1.7 定积分的简单应用： 其中F(x)=f(x) 1.微积分基本定理: 知识链接 Ox y ab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)0时由yf (x)、xa、 xb与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 x y O ab yf (x) -S =s 2.定积分 的几何意义: 思考？试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图1.曲边梯形 x y o 图2.如图 x y o 图4.如图图3.如图 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及 x轴所围成平面图形的面积S 类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S 类型2：由两条曲线y。</p><p>2、5.5 定积分在几何中的应用 一、 定积分的微元法 二、 平面图形的面积 三、 旋转体的体积 用定积分表示一个量，如几何量、 物理量或其 他的量，一般分四步考虑， 我们来回顾一下解决曲 边梯形面积的过程. 第一步分割： 将区间 a, b 任意分为 n 个子区 间 xi - 1, xi (i = 1, 2, , n)， 其中 x0 = a，xn = b . 一、 定积分的微元法 第三步求和： 曲边梯形面积 A 第四步取极限： n ， = maxxi 0， 第二步取近似：在子区间 xi-1, xi 上， 任取一点 xi ， 作小曲边梯形面积 Ai 的近似值， Ai f (xi)xi .(i=1,2,n) 如果把第二步中的 xi 用 x 替。</p><p>3、第八节 定积分的几何应用举例 v一、元素法 v二、平面图形的面 积 v三、体积 v四、平面曲线的弧 长 v五、总结 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 面积元素 一、元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1、直角坐标系情形 二、平面图形的面积 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 于是。</p><p>4、第五章 第六节 定积分的几何应用,（一） 平面图形的面积,直角坐标情形,2.极坐标方程的情形,（二） 旋转体的体积,回顾：基本积分公式,直角坐标情形,回顾,曲边梯形求面积的问题,面积表示为定积分的步骤如下:,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,注意：,仿此可得图1的面积：,A,y,x=f(y),图2的面积：,（图1）,（图2）,上曲线减下曲线对x积分。,y+dy,x+dx,（图3）的面积：,x,y=f(x),（图3）,（图4）的面积：,A,x=f(y),（图5）,x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤：,（1）画草图，定结构；,（2）解必要的交点，定积分。</p><p>5、1.7.1 定积分在几何中的应用课时达标训练1.若y=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为( )【解析】选C.当f(x)g(x)时，所求面积为当f(x)g(x)时，所求面积为综上，所求面积为2.如图，阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )A.1B.2C.D.【解析】选B.根据余弦函数的对称性可得，曲线从x=-到x=与x轴围成的面积与从x=到x=与x轴围成的面积相等，所以阴影区域的面积3.曲线y=cos x(0x)与x轴所围图形的面积为( )A.4B.2C. D.3【解析】选D.曲线与x。</p><p>6、第八节 定积分的几何应用举例,一、元素法,二、平面图形的面积,三、体积,四、平面曲线的弧长,回顾 曲边梯形求面积的问题,一、元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,(1) A 是与一个变量 x 的变化区间 a,b 有关的量；,(2) A 对于区间 a,b 具有可加性，,如果把区间 a,b分成许多部分区间 , 则 A 相应地 分成许多部分量 , 而 A 等于所有部分量之和；,(3) 部分量 的近似值可表示为 ;,就可以考虑用定积分来表达这个量 A .,一个量以定积分来表达,关键是第三步,即:确定 部分量的近似值,当所求。</p><p>7、1.7定积分的简单应用,-在几何中的应用,1、定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,一、复习引入,巩固练习,利用定积分的几何意义求各式的值：,解：（1）如图由几何意义,（2）如图由几何意义,一、复习引入,2、微积分基本定理：,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),则,求导运算和积分运算实际上是互为逆运算，熟练掌握基本函数的导数公式，是正确求解定积分的前提。结合定积分的几何意义，我们知道，平面图形的面积与定积分有很大的联。</p><p>8、6.7 定积分几何应用,一、元素（微元）法 二、简单区域的面积 三、某些立体的体积 四、平面曲线的弧长 五、旋转体的侧面积,1.回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素（微元）法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,二、简单区域的面积,X型区域的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 。</p><p>9、第六节 定积分的几何应用,引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？,一、微元法,微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:,(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间a, b有关的量;,(2) Q 对于区间 a , b 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 a , b 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分成许多部分量, 。</p><p>10、一、定积分的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 、在直角坐标系中求平面图形的面积 、在极坐标系下求平面图形的面积 三、用定积分求体积 、旋转体的体积 四、平面曲线的弧长,第一节 定积分的几何应用,微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法. 定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积). 采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值. 其中第二步是关键. 下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤,一、 定积分的。</p><p>11、第五章,定积分的应用,一.定积分的微元法,二.定积分在几何上的应用,三.定积分在经济分析上的应用,第一节,定积分的微元法,第五章,定积分的微元法,复习（如图，求曲边梯形的面积）,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示为,1、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所。</p><p>12、四、 旋转体的侧面积 (补充),三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,P274-1,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,P275-2,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,。</p><p>13、四、 旋转体的侧面积 (补充),三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,P274-1,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,P275-2,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,。</p><p>14、5-1-1,第六章 定积分的应用,1 微元法 2 定积分的几何应用 3 定积分的物理应用(不讲),5-1-2,6 .1 定积分的微元法,5-1-3,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,首先讨论这个问题.,结合曲边梯形面积的计算,?,一、问题的提出,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间,(即把a, b分成,两个特点:,(1) 所求量I 即与a, b有关;,(2) I 在a, b上具有可加性.,则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之和),5-1-4,按定义建立积分式有四步曲:,“分割、,有了N-L公式后,对应用问题来说关键就在于如何写出,方法,简化步骤,被积表达式.,。</p><p>15、一、平面图形的面积 二、定积分的元素法 三、旋转体的体积 四、小结、作业,5.4 定积分的几何应用,直角坐标系下平面图形面积的计算,一、平面图形的面积,例1,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,例2,解,所围成的图形如图所示:,则,先解联立方程组,则图形的面积为,解,先求两曲线的交点。,例3,注意： 此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取 横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取 横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？,二、定积分的元素法,在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分。</p>