多元函数极值

多元函数极值Tag内容描述：<p>1、外文原文EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES1. Stationary PointsDefinition 1.1 Let and . The point a is said to be:(1) a local maximum iffor all points sufficiently close to ;(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to ;(3) a global (or absolute) maximum iffor all points ;(4) a global (or absolute) minimum iffor all points ;(5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum.Definition 1.2 Let and . The point a is sai。</p><p>2、外文文献EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES1. Stationary PointsDefinition 1.1 Let and . The point a is said to be:(1) a local maximum iffor all points sufficiently close to ;(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to ;(3) a global (or absolute) maximum iffor all points ;(4) a global (or absolute) minimum iffor all points ;(5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum.Definition 1.2 Let and . The point a is sai。</p><p>3、目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的Taylor公式与极值问题 4.1多元函数的Taylor公式 4.2无约束极值、最大值与最小值 4.3有约束极值，Lagrange乘数法 第四节 第五章 1 目录 上页 下页 返回 结束 4.1 多元函数的Taylor公式 本节中，我们把一元函数的Taylor公式、极值与 最大最小值的问题推广到多元函数的情形。另外，4， 5节中的向量都写成列向量。 首先，复习一元函数的Taylor公式： Taylor公式，是用(x-x0)的n次多项式对f(x)进行（ 近似）逼近。 其中 2 目录 上页 下页 返回 结束 定义4.1 对于n元函数 设是定义在区域 内连续, 则称 f 是。</p><p>4、第八节 多元函数的极值 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 极值点必须是函数定义域的内点. (1) 例如1 (2) (3) 2、多元函数取得。</p><p>5、第八节 多元函数的极值及其求法 v一、问题的提出 v二、多元函数的极值和最值 v三、条件极值拉格朗日乘数法 v四、小结 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、定义 (1) (2) (3) 例1 例 例 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照。</p><p>6、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、 多元函数最大值最小值,三、 条件极值 拉格朗日乘数法,四、 小结,一、多元函数的极值,1、二元函数极值的定义,注意：极值是一个局部概念，极小值可能大于极大值。,(1),例1,例2,2、多元函数取得极值的条件,证,从而,故定理结论成立。,几何解释：曲面 在可导的极值点处对应的切平面平行于,平面。,定义：使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.,驻点,可导的极值点,注意：,例3 求函数,的极值点。,解 求驻点，解方程组,得,所以驻点为(1,0).,所以(1,0)是极小值.,又因为,问题：是否有简。</p><p>7、1,8.7二重积分,一、二重积分的概念与性质 二、二重积分的计算 三、积分区域无界的广义二重积分*,2,曲顶柱体,引例1：曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,平顶柱体的高是固定的，平顶柱体的高是变化的,3,复习曲边梯形的面积计算,1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限,4,“分割,近似,求和,取极限”思想,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,播放,5,求曲顶柱体体积的具体步骤,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,。</p><p>8、论文题目 多元函数极值的算法比较与应用,答辩人：张昭燕 专业：数学与应用数学 指导老师：刘海涛 日期：2013年5月18日,一、研究意义,任何现象都体现着质与量的辩证统一.要研究现象的本质，必须进行严格的定性分析与定量分析.定量分析离开数学就无法进行.数学的应用贯穿到人类文明的发展进程中.从古代的结绳记数、丈量土地，到如今的存款利率、国民收入等诸多方面.今日，数学的发展水平及其在社会经济中的应用程度，已经是一个国家综合实力的重要指标.数学应用的一个重要方面便是极值问题. 极值作为函数性态的重要特征，也得到了充分而系统。</p><p>9、7.2 多元函数的极值,数学系 贺 丹,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,习,题,5.7,（,P58,）,作,5(2)；6(1)；7(1)(4)；10；12；14；15；18。,业。</p><p>10、多元函数取得极值的条件,无约束问题,取得极值的条件,必要条件,若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且 P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则,驻点,充分条件,若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一,阶及二阶偏导数，又,令,则,时具有极值，且当A0,时有极小值。,0时没有极值,不能确定,n元函数取得极值的条件？,梯度,具有偏导数，,Hesse矩阵,必要条件,若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则,一阶条件,二阶条件,二阶充分条件,证明:,所以,约束问题,取得极值的条件,对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出La。</p><p>11、Chapter 2(9),多元函数的极值及应用,教学要求：,1. 理解多元函数极值和条件极值的概念;,3. 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值;,2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件;,4. 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题.,1.二元函数极值的定义,极大值与极小值统称为极值.,若引进点函数, 则,(1),(2),(3),2.极值存在的必要条件和充分条件,定理1（极值存在的必要条件）,Proof.,注意:,(4)驻点,极值点（可偏导函数）,定理2（极值存在的充分条件）,Solution.,(1) 闭区域上的连续。</p><p>12、第八章 多元函数极值,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,(1),(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,解,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法,设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值,将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值。</p><p>13、8.8 多元函数的极值,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的提出,播放,8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的必要条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.,8.8。</p><p>14、第6章：多元函数微分学,内容提要,6.4 二元函数的极值 6.4.1 无条件极值 6.4.2 条件极值,6.4.1 无条件极值,极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.,定义6.7 设二元函数z =f (x, y)在(x0,y0)点的某个 邻域 内有定义,如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极小值,点 称为极小值点;如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极大值,点 称为极大值点.,1. 极值的概念,6.4.1 无条件极值,1. 极值的概念,例如:函数z=x2+y2在点(0,0) 取到了极小值, (0,0) 点为该函数的极小值点.,分析：该方程所表示的图形？,首先用平面z。</p><p>15、多元函数的极值,一、多元函数极值的概念,二、最值问题,三、条件极值,第九章,第八节,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,说明,(1)函数的极值点必须是函数定义域的内点.,(2)极值的概念可以推广到一般的多元函数.,例1,例2,例3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不。</p><p>16、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,多元函数极值,一、多元函数的极值和最值,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,1、二元函数极值的定义,(1),营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 5435662。</p><p>17、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,有极小值；,有极大值；,无极值。,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显。</p><p>18、2 多元函数的极值 1 2 无条件极值 条件最值 3 闭区域最值 2-1 多元函数极值 1 2 3 定义 必要条件 充分条件 4 驻点 2-1-1 定义 一 元一 元 函 数极值极值 一 元一 元 函 数。</p>