多元函数微分学

多元函数微分学Tag内容描述：<p>1、第十七章 多元函数微分学一、 证明题1. 证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=,其中f为可微函数,验证+=.7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明: sec x + secy=1.8.设f(x,y)可微,。</p><p>2、第十七章多元函数微分学,1偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,4、偏导数的几何意义,如图,几。</p><p>3、多元函数微分法及其应用 第八章习题课 一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类 一、关于多元函数极限的题类 【例1】 【解 】 故所求极限不存在. 极限与k有关, 【例2】求下列极限 连续性 代入法 坐标变换或放缩 根式换元或坐标变换，化为一 元函数的极限，用洛必达法则 【说明】自变量分先后次序变，称二次极限,这种极限是 两个极限过程；而二重极限是一个极限过程.两者不同. 例如两个二次极限 存在 而二重极限不存在。</p><p>4、推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 NOTE: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 第一节 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域 (1)。</p><p>5、多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展， 它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方 法）又有许多本质的不同，要善于进行比较， 既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注 意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理 解，融会贯通。 多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分 ，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。 重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分， 复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何 应用，多元函数极值。 难点 复。</p><p>6、Born To Win2016考研数学考试大纲分析及复习重点多元函数微分学9月18日这个在中国历史上成为转折点的一天，同样也为2016年参加考研的同学带来了重磅消息2016年考研大纲正式发布，下面跨考教育数学教研室赵睿老师就按章节来分析大纲的要求以及复习该章节的重点：一、大纲要求:多元函数微分学1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4.理解方向导数与。</p><p>7、3方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题。</p><p>8、习题7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)。</p><p>9、第十七章 多元函数微分学1 可微性1. 求下列函数的偏导数：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解 （1），；（2），；（3）， ；（4），；（5），；（6）， ；（7），；（8），；（9），；（10），.2. 设，求.解 由于，所以.3. 设考察函数在原点的偏导数.解 由于，而不存在.所以在原点关于的偏导数为,关于的偏导数不存在.4. 证明函数在点连续但偏导数不存在.证 因为所以函数在点连续.由于当时的极限不存在，因而在点关于的偏导数不存在.同理可证它在点关于的偏导数也不存在.5. 考察函数在点处的可微。</p><p>10、第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 （或）的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1用定义证明例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 。</p><p>11、微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第八章 多 元 函 数 微 分 学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数。</p><p>12、8.1.1 多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,第八章 多元函数微分学,8.1 多元函数的极限与连续,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,（1）邻域,8.1.2 平面点集的有关概念,（2）内点,例如，,即为开集,（3）开集,（4）边界点和边界,（5）连通性,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,（6）区域,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（7）有界点集与无界点集,8.1.3 多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极。</p><p>13、多元函数微分学,2012考研数学培训,一、多元函数微分学中的基本概念及其联系,考研数学多元函数微分学, 多元函数微分学,基本题型,二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分,三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复 合函数的偏导数与全微分,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与 全微分,五、复合函数求导法变量替换下方程的变形,六、多元函数微分学的几何应用,七、方向导数与梯度,八、多元函数的极值与最值问题,曲面与 方程,平面中：,曲线,空间中：,曲面, 空间中的一些特殊曲面 ,1、平面：,坐标平面,三元一次方程,xy平面：,yz平面：,xz平。</p><p>14、多元函数微分学 习题课,一、主要内容,平面点集 和区域,多元函数概念,多元函数 的极限,极 限 运 算,多元函数 连续的概念,多元连续函数 的性质,全微分 概念,偏导数 概念,方向导数,全微分 的应用,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,高阶偏导数,隐函数 求导法则,微分法在 几何上的应用,多元函数的极值,1、多元函数的极限,说明：,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,存在性,定义，夹逼定理,不存在,特殊路径、两种方式,求法,运算法则、定义验证、夹逼定理,消去致零因子、化成一元极限等,2、多元函数的连续性,3、偏导数概念,定义、。</p><p>15、第六章 多 元 函 数 微 分 学,(一) 本 章 内 容 小 结,(二) 常见问题分类及解法,(三) 思 考 题,(四) 课 堂 练 习,(一) 本章内容小结,一、主要内容,1、空间解析几何简介,2、矢量的概念，线性运算及坐标表示，两向量的数量积与 向量积。,3、平面的点法式与一般式方程，直线的标准式与一般式方 程，曲面与空间曲线，常见的二次曲面。,4、多元函数的概念，二元函数的极限与连续。,5、偏导数与全微分。,6、多元复合函数与隐函数的求导法。,7、多元函数的极值、最大值和最小值。,二、对学习的建议,本章的第二节和第三节是空间解析几何较深入的内。</p><p>16、第八章,一、多元函数的极值,二、多元函数的最大值与最小值,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六节 多元函数的极值,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,在点 (0,0) 无极值.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,一阶偏导数,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 。</p>