复变函数积分

复变函数积分Tag内容描述：<p>1、2 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 3 二、内容提要 有向曲线复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式 调和函数和 共轭调和函数 4 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 1.有向曲线 5 2.积分的定义 6 ( 7 3.积。</p><p>2、哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 第三章 复变函数的积分 学习要点 掌握复变函数积分的定义及基本性质 掌握柯西定理 3.1 复变函数积分的概念和性质 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 一、 曲线的概念回顾: 由有限条光滑曲线依次相 接的所组成的连续曲线称为 按(逐)段光滑曲线. （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲 线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位 于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线方向的说。</p><p>3、复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、 复变数和复变函数二、 复变函数的极限与连续极限 连续 第二章 解析函数一、 复变函数可导与解析的概念。二、 柯西黎曼方程掌握利用C-R方程判别复变函数的可导性与解析性。掌握复变函数的导数：三、 初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数单值函数(k=0、1、2、n-1) n多值函数2、指数函数：性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，（3）以为周期3、对数函数（k=0、1、2）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:。4、三角。</p><p>4、第三章 复变函数的积分3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著数学物理方法P29-31】复变函数积分的定义：设为复平面上以为起点，而以为终点的一段路径（即一根曲线），在上取一系列分点把分为段，在每一小段上任取一点作和数：, 其中 如果当且每一小段的长度（）趋于零时， 和式的极限存在，并且其值与及的选取方式无关，则称这一极限为沿路径由到的积分: ，称为积分路径（在上取值，即在上变化）。 若为围线（闭的曲线），则积分记为： . (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等。</p><p>5、12.2 积分基本定理 1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题 定理12-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连 说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础. 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条 闭曲线C, 都有 12.2.1 Cauchy积分定理 解 因为函数 例1 计算积分 在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有 解 根据Cauchy积分定理得 例2 计算积分 因为和都在上解析, 所以 12.2.2 解析函数的原函数 1 原函数的概念 2 Newton-Leibniz公式 一. 原函数的概念 原函数之间的关系: 定义1 设f (z)是定义在区域D上的。</p><p>6、第三章 复变函数的积分 1CH1_ 1 复变函数积分的概念 一 复变函数积分的定义 二 积分存在的条件及其计算法 三 积分的性质 2CH1_ 设是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线， 如果选定的两个可能的方向中的一个作为正方向(或 正向)，那么我们可以将理解为带有方向的曲线，称 为有向曲线，如果 是一条以与为端点的有向曲 线，如果从到为的正向，则称从 到 方向 为的有向曲线称为反向曲线，记为除特 别声明外，有向曲线的正向总是指起点到终点的方 向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。 一 复变函数积分的定义 3CH1_ 在区域定义设函数有定义，。</p><p>7、本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方。</p><p>8、第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数 在z - z0=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 A (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上, 3. 函数展开成双边幂级数 定理 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由。</p><p>9、第三章：复变函数的积第三章：复变函数的积 分分 本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这。</p><p>10、第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考 1 一、主要定理和定义 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理: 2 3 定理二 证利用导数的定义来证. 4 由于积分与路线无关, 5 6 由积分的估值性质, 7 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. 证毕 8 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 9 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: 证毕 10 3. 不定积分的定义: 定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式) 11 证 根据柯西-古萨基本定理, 。</p><p>11、本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方。</p><p>12、本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方。</p><p>13、复变函数积分计算公式 该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分. 1+i o L2 L1 可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。 柯西定理 （1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。 （2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零。 （3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。 （1）单通区域情况 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线，围线内的点都属于 。</p><p>14、复变函数与积分变换作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1) ； (3) ；(5) ，求，； (7) 。解：(1) ；(3) ；(5) ，(7) 因为，所以，即时，；时，；时，；时，；时，；时，习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数(2) ； (4) (6) 。解：(2) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，但柯西-黎曼方程仅在上成立，所以只在直线上可导，此时，但复平面上处处不解析(4) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以在复平面内解析，并且(6) 所以，在除外处处解析，且4、指出下列函数的奇点。</p><p>15、肀蚇袆肇节薀螂肆莅螅蚈肅蒇薈羇肄膇莁袃肃艿薆蝿膂莁荿蚅膂肁薄薁膁膃莇罿膀莆蚃袅腿蒈蒆螁膈膈蚁蚇膇芀蒄羆芆莂虿袂芆蒄蒂螈芅膄蚈蚄袁莆蒀蚀袀葿螆羈衿膈蕿袄衿芁螄螀袈莃薇蚆袇蒅莀羅羆膅薅袁羅芇莈螇羄蒀薄螃羃腿蒆虿羃节蚂羇羂莄蒅袃羁蒆蚀蝿羀膆蒃蚅聿芈虿薁肈莀蒁袀肇肀蚇袆肇节薀螂肆莅螅蚈肅蒇薈羇肄膇莁袃肃艿薆蝿膂莁荿蚅膂肁薄薁膁膃莇罿膀莆蚃袅腿蒈蒆螁膈膈蚁蚇膇芀蒄羆芆莂虿袂芆蒄蒂螈芅膄蚈蚄袁莆蒀蚀袀葿螆羈衿膈蕿袄衿芁螄螀袈莃薇蚆袇蒅莀羅羆膅薅袁羅芇莈螇羄蒀薄螃羃腿蒆虿羃节蚂羇羂莄蒅袃羁蒆蚀蝿羀膆蒃蚅聿芈虿。</p><p>16、实验一 计算复变函数极限、微分、积分、 留数、泰勒级数展开式,（一） 实验类型：验证性 （二） 实验类别：基础实验 （三） 实验学时数：2学时,1、MATLAB求复变函数极限,2、MATLAB求复变函数微分,3、MATLAB求复变函数积分,4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数,5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式,MATLAB实现内容,1、MATLAB求复变函数极限 用函数limit求复变函数极限 【Matlab源程序】 syms z f=; limit(f,z,z0) 返回极限结果,例1 求 在z=0的极限 解 syms z; f=z*exp(z)/(sin(z) limit(f,z,0) ans = 1,MATLAB基本命令,.,.,解 【Matlab源。</p><p>17、第3章 复变函数的积分,复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。,3.1: 复变函数的积分,3.2: 柯西-(古萨)积分定理,3.3: 复合闭路定理,3.4: 科西积分公式,3.5: 解析函数的高阶导数,3.6: 几个重要的定理,3.7: 解析函数与调和函数,本章补充新题型,本章小节,本章测试题,本章基本内容:,重点内容:,(1) 柯西积分定理(单、。</p><p>18、数学物理方法 李晓红西南科技大学理学院2020 1 21 复变函数积分的定义复变函数积分的性质柯西定理柯西积分公式 复变函数的积分 复变函数的积分 积分的定义 不定积分的定义 定理 复积分的Newton Leibnitz公式 任何两。</p><p>19、精品文档 3 1计算积分 其中C是 1 原点到的直线段 2 原点到2再到的折线 3 原点到i再沿水平到的折线 解 1 C的参数方程为 于是 2 参数方程为 参数方程为 3 参数方程为 参数方程为 3 2设C是是从到的一周 计算 1 2 3 解 1 2 3 3 3计算积分 其中C是由直线段及上半单位圆周组成的正向闭曲线 解 表示为 表示为 3 5沿下列指定曲线的正向计算积分的值 1 2 3 4 解。</p>