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哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 第三章 复变函数的积分 学习要点 掌握复变函数积分的定义及基本性质 掌握柯西定理 3.1 复变函数积分的概念和性质 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 一、 曲线的概念回顾: 由有限条光滑曲线依次相 接的所组成的连续曲线称为 按(逐)段光滑曲线. （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲 线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位 于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线方向的说明: 一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的 方向. 按(逐)段光滑的闭曲线称为周(围)线. 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 分段光滑的曲线C的长度是所有组成C 的曲线的长度之和. 曲线 的长度: 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 二、 复变函数积分的定义 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 二、复积分存在的条件 定理 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 由定理及曲线积分的计算法得 三、复积分计算的参数方程法 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 四、 积分性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 证明：因为 两边取极限即可得 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 例1 计算下列积分 o x y 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 解法2 解 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 这两个积分都与路线C 无关 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 o x y 解 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 解 o x y r C 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 例2 根据估值不等式知 解 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 练习 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 解: 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 解 1) 积分路径的参数方程为 y=x 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 2) 积分路径的参数方程为 y=x 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 y=x 3) 积分路径由两段直线段构成 x轴轴上直线线段的参数方程为为 1到1+i直线段的参数方程为 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及 计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微 积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中 重点掌握复积分的一般方法. 思考题 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 思考题答案 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 一、写出平面曲线复数参数方程的步骤： 哈尔滨
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