函数展开成幂级数

函数展开成幂级数Tag内容描述：<p>1、9-5 函数展开成幂级数 1 定理 若幂级数的收敛半径则其和函 在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即 收敛域 1.1.幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质: : 复习 2 求部分和式的极限 二、幂级数和函数的求法 求和 逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 （在收敛区间内） 3 第五节 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法 直接展开法 间接展开法 4 则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数如果能找。</p><p>2、第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若。</p><p>3、函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 证明 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 逐项求导任意次,得 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 问题 。</p><p>4、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为,则在,复习:,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,拉格朗日余项 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,麦克劳林级数 .,定理1,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式余项满足:,。</p><p>5、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒。</p><p>6、两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,7.5 函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为马克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,定义 若函数,的某邻域内。</p><p>7、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内。</p><p>8、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解。</p><p>9、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意。</p><p>10、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内。</p><p>11、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、欧拉公式,四、小结,第五节 函数的泰勒级数,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接。</p><p>12、山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,无穷级数,第四节 函数展开成幂级数,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第四节 函数展开成幂级数,前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示,一. 泰勒级数,其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.,余项,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为,由此引入泰勒级数:,1. 定义,若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则,f(x)在 的泰勒级数,泰勒系数,麦克劳林级。</p><p>13、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解。</p><p>14、一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐。</p><p>15、第六节 函数展开成幂级数,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 是什么?,上节例题,即得形如 函数的展开式.,需要考虑,问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数?,一 问题的提出,二 泰勒级数,1.Toylor公式：,复习前面的两个公式,2.Maclaurin公式,函数展开幂级数的必要条件.,定理1 若 在 处能展开成幂级数 则 在 内具有任意阶导数,且,令 ,即得,逐项求导任意次,得,即为泰勒系数,问题,定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数.,在x=0点任意可导,且,例如,麦克。</p><p>16、一、Taylor 级数,熟知,现讨论任意 f(x) 展开成如下形式的幂级数问题：,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 各个系数是什么?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项。</p><p>17、2,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,3,n阶泰勒公式,若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 ,则在该,其中,( 在 x 与 之间),称为拉格朗日余项 .,此式称为 的 阶泰勒公式 ,邻域内有 :,4,如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 ,则称下,为 的泰勒级数 .,列级数,当 时, 泰勒级数变为 .,称为麦克劳林级数 .,5,待解决的问题 :,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为,麦克劳林级数,6,定理 1,各阶导数,设函数 在点 的。</p><p>18、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由。</p>