解微分方程

解微分方程Tag内容描述：<p>1、求微分方程的解 q 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运 动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过 数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 q 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。 然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多 数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 q 本实验主要探讨如何用 Matlab 来计算微分方程（ 组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基 本数值解法Euler折线法。 问题背景和实验目的 q 考虑一维经典初值问题 u 基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有 Eu。</p><p>2、第一讲 一阶微分方程 一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的微分方程 三、齐次微分方程 四、一阶线性微分方程 五、伯努利微分方程 1 一、 微分方程的基本概念 2 3 4 5 6 例3. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 7 二、 可分离变量的微分方程 转化 已分离变量方程 8 9 10 例4. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11 三、 。</p><p>3、一、二阶线性微分方程解的结构,第四模块 微积分学的应用,第十三节 二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边。</p><p>4、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐。</p><p>5、一阶微分方程的,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第七章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,(2) 这是一个齐次方程 ，,令 y = u x ,化为分离变量方程:,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公。</p><p>6、电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题,基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 ,当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步。</p><p>7、第二节,一阶可分离变量型微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例题,又,两端积分,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,例 4,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,。</p><p>8、第七章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 可分离变量的微分方程,第三节 一阶线性微分方程,第五节 二阶常系数线性微分方程,线性微分方程,伯努利方程,第三节 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,注意,1）通解中的不定积分不再含有任意常数。,说 明,2）可直接用公式求通解，要牢记。,3）也可以按常系数变易法求通解。,注 意,二、伯努利方程。</p><p>9、第三节 一阶线性微分方程,一、基本内容 二、小结,一、基本内容,定义 方程,如,称为一阶线性微分方程。,当 Q(x) = 0 时上式称为齐次的；,当 Q(x) 0 时上式称为非齐次的。,齐次微分方程,非齐次微分方程,一阶线性微分方程的解法：,1. 一阶线性齐次微分方程,分离变量,两边积分,得,一阶线性齐次微分方程的通解为,2. 一阶线性非齐次微分方程,先求出对应齐次方程,再令 C = C(x)，即,代入原方程得,即,解法：常数变易法,的通解：,为原方程的解，,对应齐次方程通解,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,非齐次方程特解,一阶非齐次线性微分方程的通。</p><p>10、第四节 一阶线性微分方程,教学内容 1 一阶线性方程的定义 2 一阶线性方程的解法 教学重点 一阶线性方程的解法 本节考研要求 掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,。</p><p>11、1.一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,三、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解:这是一阶线性微分方程,例1,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上。</p><p>12、一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、五种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(。</p><p>13、一阶微分方程的解法,第二节,第八章,一、可分离变量微分方程,二、齐次微风方程,三、一阶线性微分方程,四、伯努利方程* （了解）,一、可分离变量微分方程,定义：形如,第八章,或,的方程称为可分离变量方程。,特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。,分离变量方程的解法:,再两边积分, 得,当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,的隐函数 y (x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解.,同样, 当 F (x) = f (x)0,时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),说明由确定,先分离变量：,例1. 求微分方程,的通解.,解: 。</p><p>14、一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,二阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、四种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微。</p><p>15、第四节 一阶线性微分方程,一、线性方程,二、贝努利方程,三、小结,一阶线性微分方程的标准形式:,方程称为齐次方程.,一、线性方程,非线性的.,齐次方程的通解为,一阶线性微分方程的解法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,设,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2,解,例3 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,贝努利方程的标准形式,方程为非线性微分方程。</p><p>16、一阶微分方程 总结,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、五种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(3)。</p><p>17、1 -,第二节 一阶微分方程,可分离变量方程 齐次方程 一阶线性方程 全微分方程,- 2 -,一阶微分方程的一般形式,也可表示为,一阶微分方程初始值问题,- 3 -,一 可变量分离方程,转化,解分离变量方程,可分离变量方程 一般形式,或,- 4 -,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当,= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,- 5 -,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常。</p><p>18、第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程,一、齐次方程,二、可化为齐次型的方程,三、伯努利方程,一、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,令,代入原方程,得,可分离变量的方程,1.定义,两边积分, 得,积分后再用 代替 u,便得原方程的通解.,分离变量，,例1 求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.,例 2 求解微分方程,微分方程的解为,解,解,代入原式,分离变量法解得,所求通解为,另解,利用变量代换求微分方程的解,解,分离变量法得。</p><p>19、第四节、一阶微分方程应用举例,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,。</p><p>20、一阶微分方程习题课,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,一阶线性线性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,。</p>