柯西不等式

柯西不等式Tag内容描述：<p>1、新课导入新课导入 探究 类比不等式a2+b22ab的推导过程 ，通过乘法及配方，研究关于它的不等 关系. 分析 把该式首先展开，再用配方法，问 题就可以解决。 解： 展开乘积得 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 而(ad-bc)20, 因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2 提示 上式(1)是本节课所要研究 的柯西不等式. 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 1.认识二维柯西不等式的代数和向量形 式.理解二维柯西不等式的几何意义. 3.掌握柯西不等式的应用. 2.通过探究，思。</p><p>2、柯西不等式,柯西简介,柯西（1789-1857）是法国著名的数学家、力学家。1805年，柯西以第二名的成绩考入巴黎综合工程学校学习。两年后转到道路桥梁工程学校学习，毕业后，20岁的柯西成为法国港口城市瑟堡设防阵地建设项目的工程师，同时开始了他科学研究的生涯，1816年成为巴黎综合工程学校教授同年被任命为法国科学院院士，不久又被任命为法兰西学院和巴黎大学理学院教授。柯西一生著述丰富，仅次欧拉，不仅。</p><p>3、1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值知识点简单形式的柯西不等式思考1(a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何？答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考2当且仅当ab且cd时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案当且仅当adbc时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考3若向量(a，b)，向量(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间。</p><p>4、第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A.1B.2C.D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby.【答案】C2.若实数a，b，c均大于0，且abc3，则的最小值为()A.3B.1C.D.【解析】abc1a1b1c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.当且仅当abc1时等号成立，的最小值为.【答案】D3.已知xy1，且x0，y0，那么2x23y2的最小值是() 【导学号：38000033】A. B.C.D.【解析】2x23y2(2x23y2。</p><p>5、类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解：且， 函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值根据柯西不等式 ，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变。</p><p>6、1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式(重点、易混点)2理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程(重点难点)3能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明(难点)基础初探教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27P28，完成下列问题1定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，。</p><p>7、若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立.,定理1（二维形式的柯西不等式）:,你能证明吗？,二维形式的柯西不等式的变式:,向量形式：,定理2: （柯西不等式的向量形式）,例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|1 (2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2) (a3 +b3)2 (3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:,根据两点间距离公式以及三角形的边长关系有:,观察,思考:一般地, 如图所示,结论是什么?,小结:,作业,补充。</p><p>8、柯 西 不 等 式,二维形式的柯西不等式,柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。,设 为任意实数.,联 想,研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系,二维形式的柯西不等式,二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,。</p><p>9、引：,例2.,变式引申:,例4.ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。,ABC面积=,而(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62),x2+y2+z2,（二维形式的柯西不等式） 若 都是实数，则 当且仅当 时等号成立,（二维形式的柯西不等式） 若 都是实数，则 当且仅当 时等号成立,柯西不等式的向量形式 设 是两个向量,则 当且仅当 是零向量，或存在k实数使 时，等号成立,二维形式的三角不等式 设 那么,三维形式的三角不等式 设 那么,设a1,a2 ,a3 , ,an ,b1 ,b2 ,b3 , ,bn 是实数,则 当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,。</p><p>10、高中数学模块教学选修系列4 -不等式选讲专题课例 柯西不等式,主讲人：山东师范大学附属中学 史 宏 伟,数学是智能的一种形式，利用这种形式，我们可以把现象世界中的种种对象，置之于数量概念的控制之下。 -Howison,大数学家柯西（Cauchy),法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。,柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。 此外，柯西对力学和天文学也。</p><p>11、简单形式的柯西不等式,1柯西不等式,柯西（Cauchy,1789-1857)法国著名的数学家.,你能证明这个定理吗？,观察不等式结构，有什么特点？,|ad|=|bc|时取等号,设x1,y1,x2,y2都是实数,则有:,(柯西不等式-平面三角不等式。</p><p>12、第二章几个重要的不等式,1柯西不等式,1,2,1,2,1,2,1,2,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三。</p><p>13、竞赛园地 数学竞赛初级讲座 柯 西 不 等 式 陕西省永寿县中学 安振平 柯西不等式是一个十分重要的不等式定 理 从近年来国内外各级竞赛中不难看出 许 多涉及不等式的赛题 若能运用柯西不等式进 行求解 便可获得较为简。</p><p>14、柯西不等式 学案 学习目标 1 能运用二维柯西不等式解决简单不等式问题 2 进一步熟悉二维柯西不等式的应用 问题导学 1 二维柯西不等式的形式 如果 则 当且仅当 时 等号成立 2 二维柯西不等式的向量形式 设是两个向量。</p><p>15、柯西不等式 2 探究 三维形式的柯西不等式 探究 由一维形式与二维形式的柯西不等式你能猜想一般形式的柯西不等式吗 一般形式的柯西不等式 探究 一般形式的三角不等式应是怎样的 如何应用一般形式的柯西不等式去证明它。</p><p>16、柯西不等式 1 问题探究 定理1 二维形式的柯西不等式 探究 你能得出柯西不等式的一些变式吗 定理2 柯西不等式的向量形式 定理3 二维形式的三角不等式 小结 1 柯西不等式有几种形式 它们分别是什么 2 当一个式子与柯西。</p><p>17、柯西不等式单元测试题（1）班级 姓名 一、选择题：1已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4 B2 C8 D92设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2 B. Cmn D(mn)2。</p><p>18、5 4 1 柯西不等式 自我小测 1函数y 2的最大值是 2设a 1 0 2 b x y z 若x2 y2 z2 16 则ab的最大值为 3设a b c R 且a b c 1 则 的最大值是 4已知a a a 1 x x x 1 则a1x1 a2x2 anxn的最大值是 5 n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是 6若2x 3y 1 求4x2 9y2的最小值 并求最小值点 7设a1 a。</p><p>19、高中数学模块教学选修系列4 不等式选讲 专题课例 柯西不等式 主讲人 山东师范大学附属中学史宏伟 数学是智能的一种形式 利用这种形式 我们可以把现象世界中的种种对象 置之于数量概念的控制之下 Howison 大数学家柯西 Cauchy 法国数学家 力学家 1789年8月21日生于巴黎 1857年5月23日卒于索镇 曾为巴黎综合工科学校教授 当选为法国科学院院士 曾任国王查理十世的家庭教师 柯西在大。</p>