量子力学历年

量子力学历年Tag内容描述：<p>1、1999年量子力学考研试题一. 质量为的粒子，在阱宽为的非对称一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的取值几率；（2） 求时的波函数；（3） 求时能量的取值几率。解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1） 首先，将归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时相同。二. （见习题选讲5.10）设体系的哈密顿算符为利用适当的变换求。</p><p>2、1998量子力学考研试题一. （见习题选讲3.1）质为的粒子处于一维位势中，导出其能量本征值时满足的方程。解：将求解区间按位势的不同分为三个，分别记为、和。在三个区域中，波函数分别为其中，； 由处的连接条件知即要求于是，再由处的连接条件得到由上式可得此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。由于，余切值是负数，所以，角度在第二、四象限。若令则超越方程可以改写成。</p><p>3、2003年量子力学试题解答一、（30分）回答下列问题1、何谓微观粒子的波粒两象性？解：微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的第一条属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的第三条属性（具有干涉与衍射现象）。严格地说，电子就是电子，粒子与波只是微观粒子的两种不同的属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，它既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。2、波函数是用来描述什么的？。</p><p>4、2001年量子力学考研试题一. （见2003第2题）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为其中，量子数的取值范围是利用归一化条件求出归一化常数为主量子数的可能取值只有两个，即，于是角动量量子数的可能取值只有一个，即，故有角动量磁量子数的可能取值有两个，即，于是二. 作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。解：视为参变量，则有利用费曼-海尔曼定理可。</p><p>5、2000年量子力学考研试题一. 质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量与动能的取值几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为显然，两者相互对易，有共同完整本征函数且满足将向展开，即展开系数只有当时，。利用归一化条件可知，归一化常数为于是有动量的取值几率为平均值为动能的的取值几率与动量相同，而平均值为二. 质量为的粒子处于如下一维势阱中若已知该粒子在此势阱中存在一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中，由处，可知。由处，可知，。</p><p>6、1997年量子力学考研试题一. 氢原子在时刻处于状态式中，为氢原子的第个本征态。（1） 计算；（2） 计算时能量的取值几率与平均值；（3） 写出任意时刻的波函数。解：（1）利用归一化条件可知于是，归一化后的展开系数为； ； （2）氢原子的能量本征值为依题意知，能量的可能取值与相应的取值几率为而能量的平均值为（3） 任意时刻的波函数为二 证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；（2） 在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性之积为最小。证明：（1） 设算符与角动量。</p><p>7、1995年量子力学考研试题一. 线谐振子在时处于态上，其中为线谐振子第个本征值对应当本征函数。（1） 求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；（2） 写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。解：线谐振子能量的本征值为利用归一化条件可知归一化常数为（1）在态上，能量的可能取值及相应的取值几率为， ， ， 能量平均值为（2）由于哈密顿算符不显含时间，故有因为哈密顿量是守恒量，所以，能量的取值几率和平均值皆与时一样。二. （类似1999年第四题）对一维定态问题，若哈密顿量为。</p><p>8、1993年量子力学考研试题一 .设是粒子数算符的本征函数，相应之本征值为，算符和满足对易关系。证明：（其中）和也是的本征函数其相应的本征值分别为和。解：用粒子数算符作用到上，即上式表明是的本征态，相应的本征值为。同样，用粒子数算符作用到上，即上式表明也是的本征态，相应的本征值为。二. （类似2000年第二题）质量为的粒子在一维势阱中运动，若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中，在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越。</p><p>9、1991年量子力学考研试题一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；（2） 在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性为最小。证明：（1） 设算符与角动量算符及皆对易，即则同理可知，若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。（2）在与的共同本征态下，与的平均值为由升降算符的修正可知于是有同理可证，算符在下的平均值也未零。在态上，同理可得故有或者写为显然，当时，上式取最小。</p><p>10、1992年量子力学考研试题一. （类似1999年第一题）质量为的粒子，在一维无限深势阱中中运动，若时，粒子处于状态上，其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1） 首先，将归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时相同。二. 一个电子被禁闭在线谐振子基。</p><p>11、1996年量子力学考研试题一. （见习题选讲6.1）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为其中，量子数的取值范围是利用归一化条件求出归一化常数为主量子数的可能取值只有两个，即，于是角动量量子数的可能取值只有一个，即，故有角动量磁量子数的可能取值有两个，即，于是二. （见习题选讲7.4）已知算符满足证明，并在表象中求出的矩阵表示。解：由题中所给条件可知设算符满足的本征方程为。</p>