路径无关

路径无关Tag内容描述：<p>1、一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明 (2) (3),在D内取定点,因曲。</p><p>2、一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明 (2) (3),在D内取定点,因曲。</p><p>3、一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明 (2) (3),在D内取定点,因曲。</p><p>4、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 一 平面上曲线积分与路径无关的概念 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三 平面上曲线积分与路径无关的应用 蚂癣茁咎慷肋骤嗣木狄姆桃先眷片座插硬娠堪疏萨取甄胁沏伞隙尘棺爸怨曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 一 平面上曲线积分与路径无关的概念 引例 解 在 1 2 和 3 的各自条件下 注 这是偶然的还是必然的 骨确有袜拯议申噪觅琢苹睛蛰尘褥旦。</p><p>5、第三节 格林公式及其应用（2）,一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结,一、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有,二、曲线积分与路径无关的条件,定理 2,证,充分性,在 G 内任取一条闭曲线 C 。,C 所围的闭区域为 D。,G 是单连通的，因此，,于是，在 D 内,应用格林公式，有,即，在 G 内曲线积分,与路径无关。,必要性,用反证法,假设在 G 内存在使,的点 M0，,即,不妨设,由于P，Q 具有一阶连续偏导数，。</p><p>6、1,例：求 其中 为整数 解： 的参数方程为： ，于是 有,2,解,例 5,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,3,(2) 积分路径的参数方程为,4,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,5,注意1,这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？,6,观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关 前一类函数是解析函数知道 f(z)=1也是解析函数，其积分也只依赖于积分路径的起点。</p><p>7、第三节 Green公式及其应用（2）,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,设G是开区域,L 是G内任一曲线,若,此时称 构成的平面场为保守场.,性质,二、曲线积分与路径无关的条件,定理1,注意:两条件缺一不可.,即:必须,如: 虽然 但沿任一闭区域L .,添加的辅助线或积分路径常取由平行于坐 标轴的直线组成的折线,解,解,三、二元函数的全微分的条件,定理2,问题：当P、Q满足什么条件时，Pdx+Qdy为 某一 函数的全微分？,此时 也称为势场，,u 称为 势函数或原函数.,A(x0,y0),B(x,y0),C(x,y),例3 验证: 在右半平面 (x0) 内是 某个函数的全微分, 并求出一个这。</p><p>8、曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧：,其线密度为求弧的质量。, (2)若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且= 特别,当时, 表示曲线弧的弧长。当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=； 把线弧的方程为化作参数方程， = 2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用。</p><p>9、14-5,曲线积分与路径无关的条件向量场的环量与旋度,一、曲线积分与路径无关的条件,R3的原点O处有一质量为m的质点对到P的单位质量质点的引力为,质点在引力作用下从点A移动到点B时，引力所做的功,例3,解,场论,物理学中把物理量在某个区域内的分布称为场，如：温度场、速度场、电磁场等。如果量的变化与时间无关，则称此场为稳定场。,若对平面区域或空间区域,内每一个点M，,都有一个数量（向。</p><p>10、曲线积分与路径 无关的条件,四、格林公式,定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 围成，,函数 与 在上具有一阶连续偏,导数，则有,格林公式,其中 是D 的取正向的边界曲线,例 计算,其中曲线,是由1)直线 2)抛物线,3)立方抛物线 都是由原点,到点,被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果不同.,例,被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同但是积分结果相同.,解,应用格林公式，得,(2) 当 时，作位于D内圆周,记 由 和 所围成,五、曲线积分与路径无关的条件,定理 若函数 , 以及,在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的：,与路。</p><p>11、一、静电力做功的特点： 与路径无关,二、电势能:,WF= EP1- EP2=-EP,电场力做正功，电势能减少；,电场力做负功，电势能增加。,三、电势：,单位：伏特，符号为V,与零势能点的选择有关。,沿电场线 (场强)方向电势越来越低,正电荷在高电势处电势能大，负电荷在低电势处电势能大,四、等势面,等势面与电场线垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面,在等势面上移动电荷，电场力做功为零,如何测量一楼房的高度？,结论：楼房的高度并不会因为选择的参考基面不同而不同！,重力,电场力,某点的高度,某点的电势,重力势能,电势能,重力做功,电场力。</p><p>12、2019年4月25日星期四,1,9.6 平面上曲线积分与路线无关的条件,第九章,一、平面曲线积分与路线无关的条件,二、原函数计算举例,三、小结与思考练习,2019年4月25日星期四,2,在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到, 在一个例子中, 以 A 为起点B 为,终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也,不同, 但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终,点有关, 与路线的选取无关. 本节将讨论曲线积分在,什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.,2019年4月25日星期四,3,一、平面曲线积分与路线无关的条件,B,A,如果在区域G内。</p><p>13、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,10.3格林公式及其应用,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、格林公式,单连通与复连通区域,区域的边界曲线的方向,当观察者沿区域D的边界曲。</p><p>14、3格林 Green 公式 一 格林公式 二 简单应用 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 二 格林公式 定理1 边界曲。</p><p>15、3格林 Green 公式 一 格林公式 二 简单应用 1 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 2 二 格林公式 定理1 3 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 4 证明 1 5 同理可证 6 证明 2 两式相加得 7 8 G F 证明 3 由 2 知 9 10 L。</p><p>16、,11.4平面曲线积分与路径无关的条件,返回,.,定理11.2设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(i)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有,(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分,(iii),(iv)在D内处处成立,与路径无关,只与L的起点及终点有关.,函数,则以下四个条件等价:,是D内是某一函数,的全微分,即,.,证明(i)(ii),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线。</p><p>17、3 格林(Green)公式 曲线积分与路径无关的条件,一、区域连通性的分类,二、格林公式,三、简单应用,四、曲线积分与路径无关的定义,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线。</p>