偏导数和全微分

偏导数和全微分Tag内容描述：<p>1、第五节 复合函数的偏导数和全微分 证 一、链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 解 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 思考题 思考题解。</p><p>2、7.5 高阶偏导数与高阶全微分 一、高阶偏导数 二、高阶全微分 三、二元函数的泰勒公式 一、高阶偏导数 例1 解 先求一阶偏导数 因此 例2 解 例3 解 因此 由此可得 从而 二、高阶全微分 例4 解 记 因此 三、二元函数的泰勒公式 定理7.6 其中。</p><p>3、二、偏导数的定义及其计算方法,四、高阶偏导数,第三节、全微分和偏导数,三、可微的条件,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,有定义，,任意一点，,则称这两点的函数值之差,即,则该矩形面积,产生的误差为,上式右端包含两部分，,它是,另一部分是,当,一部分是,因此略去高阶无穷小，,则其差,小，,全微分。,定义,即,事实上,则,函数在该点连续。,二、偏导数,在研究一元函数时，从研究函数的变化率,引入了导数的概念，,它的变化率。,首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，,就是我们下。</p><p>4、5.3 偏导数与全微分 5.3.1偏导数,在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引 进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个 自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数” 称为偏导数。,定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定 义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限 存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变 量x的偏导数,例5.3.1 求函数 在点(1,2)处的偏导数。,解 求 时, 把y看作常数,对x求导得,求 时, 把x看作常数, 对y求导得,将x=1,y=2分别待入上面两式，得,解 设中间变量。</p><p>5、1.偏导数和全微分的概念,一.偏导数 设二元函数 在区域 有定义 是 的内点.若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为 类似若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为,若函数 在区域 任意 都存在关于 (关于 )的偏导数,则称函数 在区域 存在关于(关于 )的偏导数,也简称偏导数,表为 一般情况下 元函数 在点 关于 的偏导数 是极限 由此可见,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数,因此可按一元函数的求导法则和求导公式来求偏导数,二.全微分 对。</p><p>6、72,偏导数与全微分,一偏导数, 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）,1. 一元函数变化率与多元函数变化率, 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随 y变化的变化率随xy同时变化的变化率。,即点M(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线 方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元 函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化， 比一元函数时复杂得多。,o,x,y,z,M,P,D, 一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础,对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0 ,0)而平 行于xoz面(垂直于。</p><p>7、1,第三节 偏导数与全微分,一、偏导数,或,处对x的偏导数，记为,2,偏导函数：,或,2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,说明：,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,3,一阶偏导数的几何意义,偏导数的几何意义是: 表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线在空间点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线Tx的斜率，如图所示.,4,表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线在空间点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线Ty的斜率，如图所示.,5,解,例1,6,证,所以原结论成立,例2,7,解,例3,8,解,例4,9,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,解,例5,同理,10,多元函数中在某点偏。</p><p>8、8.2 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、高阶偏导数,三、全微分,偏增量,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量,称为关于x的偏增量记为,相应的,即,一、偏导数的定义及其计算法,1.偏导数的定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作,即,记为,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作,2。</p><p>9、医用高等数学,”,第二节 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、偏导数的几何意义,三、高阶偏导数,四、全微分,一、偏导数的概念,定义4-4 设函数,在点,的某一邻域,内有定义，当,固定在,而,在,处有增量,时，相应,地函数有增量,如果,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的偏导数(partial derirative)，记作,或,同样，当,固定在,，而,在,处有增量,时，如果,极限,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的,偏导数，记作,或,偏导数是函数,沿着两个特殊方向的变化率，,即一个平行于,，另一个平行于,轴的变化率,如果函数,在区域,内每一点,都有关于,的偏。</p><p>10、5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2)处的偏导数.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例2 设,证,例3 求,的偏导数 .,解,求证:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例4 已知理想气体的状态方程,求。</p><p>11、对一元函数：,导数,对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，,6-4 偏导数与全微分,1. 一阶偏导数(偏微商)的定义,或,或,偏导数，记为,或,求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.,例1,解,例2 设,解,例3,解法1,解法2,(先代后求),(先求后代),例4 设,解,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例5,解,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,。</p><p>12、5.3 偏导数与全微分 5.3.1偏导数,在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引 进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个 自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数” 称为偏导数。,定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定 义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限 存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变 量x的偏导数。</p><p>13、四、小结 思考题,一、偏导数,三、高阶偏导数,6.4 偏导数与全微分,二、全微分,一、偏导数,1.【偏导数的定义】,(1)【二元函数在一点处的偏导数】,(2)【二元函数在区域内的偏导数】,注意求偏导的方法！,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处,(3)【多元函数的偏导数】,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求再代,【解】,不存在,例7.9 例7.10 例7.11,2.【有关偏导数的几点说明】,(1),(2),求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,例如,一元函数中在某点可导 连续，,多元函。</p><p>14、2.7 偏导数与全微分,让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元 函数的一些简单知识：,一、二元函数的概念,1. 二元函数的定义,设有三个变量 x , y 和 z ,如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时.,变量 z 按照一定的规律 f ,总有确定的数值与它们对应，,则称 z 是 x , y 的二元函数，,记为,定义 1,*,自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .,其中 x, y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为,二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示.,2. 二元函数的定义域,围。</p><p>15、1,第三节 偏导数与全微分,一、偏导数,或,处对x的偏导数，记为,2,偏导函数：,或,2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,说明：,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,3,偏导数的几何意义,得的曲线,4,解,例1,5,证,所以原结论成立,例2,6,解,例3,7,解,例4,8,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,解,例5,同理,9,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,10,二、全微分,回顾：,能表示成,实际上,即,11,二元函数的可微性和全微分,定义,如果可以表示为,12,证,同理可得,可微 可偏导,定理1,1。</p><p>16、1,第三节 偏导数与全微分,一、偏导数,或,处对x的偏导数，记为,2,偏导函数：,或,2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,说明：,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,3,偏导数的几何意义,得的曲线,4,解,例1,5,证,所以原结论成立,例2,6,解,例3,7,解,例4,8,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,解,例5,同理,9,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,10,二、全微分,回顾：,能表示成,实际上,即,11,二元函数的可微性和全微分,定义,如果可以表示为,12,证,同理可得,可微 可偏导,定理1,1。</p><p>17、第三节 偏导数与全微分,一.二元函数的偏导数,1.改变量,全改变量,偏改变量,偏改变量,2.偏导数,设有函数,如果极限,存在,则称此极限值为,在点,处对,的偏导数.,注,(1)记号,(2),在,处对,的偏导数等于,在,处的导数.,一元函数,2.偏导数,设有函数,如果极限,存在,则称此极限为,在点,处对,的偏导数.,注,(1)记号,(2),在,处对,的偏导数等于,在,处的导数.,一元函数,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,3.偏导函数,如果函数,在区域,内每一点,处都有偏导数,则称其为,对自变量,或,。</p><p>18、对一元函数：,导数,对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，,6-4偏导数与全微分,1.一阶偏导数(偏微商)的定义,或,或,偏导数，记为,或,求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.,例1,解,例2设,解,例3,解法1,解法2,(先代后求),(先求后代),例4设,解,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。</p>