无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量Tag内容描述：<p>1、微积分 微 积 分 微积分 第二章 极限与连续 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性 微积分 2.4 无穷大量与无穷小量 一. 无穷小量 定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小 ）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y|0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|0,某个时刻，在此时刻以后， |y|E,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。 记为：limy= 同理可定义： 正无穷大 limy=+负无穷大 limy=- 微积分 无穷大量 对于xx0： E0,0，使得当0E,恒成立 . 对于x： E0,M0，使得当。</p><p>2、数学分析第3.5节 数学分析 数学与信息科学学院 罗仕乐 数学分析第3.5节 3.5 无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则 。首先来介绍无穷小。 一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量 。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具 有理论价值，值得我们单独给出定义 数学分析第3.5节 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 数学分析第3.5节 注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,。</p><p>3、二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 是 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 是时的无穷小; 函数 时的无穷小; 为 时的无穷小 . 注：此结论对数列也成立 是数列 时的无穷小; 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 ) 则称函数为 定义1. 若 (或 )时的无穷小 . 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 2、无穷小的性。</p><p>4、3.5 无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将。</p><p>5、一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5 无穷小量与无穷大量,设f在某U(x0)内有定义,若 则称f为当xx0时的无穷小量。,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,类似可定义xx0+, xx0-,x+, x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,例1,注意,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,三、无穷小量的性质,性质1 有。</p><p>6、4无穷小与无穷大的阶的比较,一、无穷小,定义7.1,例,例,观察下列无穷小收敛到零的速度：,不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？,定义7.2 (无穷小量阶的比较),定义7.3 (无穷小量阶的量化比较),例1,解,例2,解,例3 确定下列无穷小的阶,2阶,1阶,二、无穷大,定义7.4,记作,特别：,注意：无穷大量和无界量的区别.,不是无穷大,无界!,证,例 4,定义7.5 (无穷小量阶的比较),定义7.6 (无穷大量阶的量化比较),例4,2阶无穷大,2阶无穷大,（1）,（2）,判断下列无穷大的阶,三、 表示与性质,定义7.7：,（2）,（1）,定义7.8：,（2）,（1）,（3）,四、等。</p><p>7、西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室,第1章 极限与连续,第一节 函数 第二节 极限 第三节 无穷小量与无穷大量 第四节 极限的四则运算法则 第五节 两个极限存在准则与两个重要极限 第六节 函数的连续性 第七节 闭区间上连续函数的性质,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回。</p><p>8、第四节 无穷小量与无穷大量,内容提要 无穷小量与无穷大量. 教学要求 1. 理解无穷小量与无穷大量的概念; 2. 了解无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与函数 极限的关系.,一、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数。</p><p>9、1,2-3 无穷小量与无穷大量,2,恒有,定理：,复习,3,定理：,(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题,f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.,(即考察左右极限是否存在且相等).,4,一、无穷小量与无穷大量,极限为零的变量称为无穷小,1.无穷小量定义：,记作,例如：,(或,所以函数,所以,第三节 无穷小量与无穷大量,5,注意,(1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;,(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.,(3)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.,如：,是当,时的,时呢？,就不是无穷小.,无穷小.,6,二、无穷小与函数。</p><p>10、Def ：,无穷小量的比较,4. 无穷小量与无穷大量的阶,无穷大量的比较,小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,4、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。</p><p>11、第七节 无穷小量与无穷大量,一.无穷小量,1.定义,如果在某变化过程中,变量,的,极限为零,则称,为无穷小量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷小量与一个非常小的数.,(4),是无穷小量.,(5)精确性定义.,2.性质,必要性,因,所以,故,为无穷小量,记为,则,充分性,由,得,定理2.17,证,此性质是把极限和无穷小量,联系起来的一个性质,如有涉及,极限与无穷小量的题型，,想到这个性质.,郑重声明,应首先,有限个无穷小量的和、差、积,注,(1)本性质只对有限个无穷小量成立.,补充,无穷小量与极限不。</p><p>12、第二节 极限的运算,函数极限的四则运算法则,几种不定式的求法,一、两个重要极限,一、两个重要极限,解,解,解,小结:求极限方法,(3)两个重要的极限公式,第三节 无穷小量与无穷大量,三、无穷小量与无穷大量,无穷小量的性质,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,类似可证: 有限个无穷小之差仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 . 常量与无穷小的乘积是无穷小 .,定理3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义.,若,则。</p><p>13、第七节 无穷小量与无穷大量,一.无穷小量,1.定义,如果在某变化过程中,变量,的,极限为零,则称,为无穷小量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷小量与一个非常小的数.,(4),是无穷小量.,(5)精确性定义.,2.性质,定理2.17,证,必要性,而,所以,故,为无穷小量,记为,则,充分性,由,得,由,此性质是把极限和无穷小量,联系起来的一个性质,如有涉及,极限与无穷小量的证明题，,先想到这个性质.,郑重声明,应首,定理2.18,有限个无穷小量的和、差、积为,注,(1)本性质只对有限个无穷小量成立.,(2)本。</p><p>14、1.无穷小量的定义,2.5 无穷小量和无穷大量,注意, 无穷小量是以0为极限的变量。, “0”是可以作为无穷小量的唯一常数。, 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋向。, 无穷小是变量, 不能与很小的数混淆。</p><p>15、第三节 无穷小量、无穷大量,一.无穷小量及其运算性质,二. 无穷大量,一、无穷小量及其运算性质,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.,定理,2. 函数的极限与无穷小量的关系,同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是无穷小量.,同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,3.无穷小量的运算法则,常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为无穷小量.,在某极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.,证,证明,我们没有涉及两个无穷小量商的极。</p><p>16、3-5 无穷小量与无穷大量的比较,一. 无穷小量的比较,二. 等价无穷小量的应用,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,定义,一、无穷小量的比较,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例如 , 当,时,证:,例1 证明: 当,常用等价无穷小 :,例2 求,解:,二、等价无穷小量的应用。</p><p>17、高等数学第二章,极限与连续,第四节 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量,二、无穷小量,三、无穷小量与无穷大量的关系,四、无穷小量的阶,一、无穷大量,定义2.8,如果对于任意给定的正数E，变量y在其变,化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，,不等式,恒成立，,记作,2.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆，,注意：,1.无穷大量是极限为的变量；,它是描述函数的某种状态；,则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大,例如，,二、无穷小量,定义2.9,以0为极限的变量，称为无穷小量。,即，对于任意给定的正数，在变量y的变化过程中，,总有那么。</p><p>18、无穷是一个永恒的谜 Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,（一） 无穷小 （二） 无穷大 （三） 二者关系 （四）无穷小的阶,一、无穷小,定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.,例如：,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的。</p>