线性代数第五章

线性代数第五章Tag内容描述：<p>1、第五章相似矩阵,第一节 向量的内积,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 应用举例,五 正交矩阵与正交变换,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算,用矩阵或向量形式表示,有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,、长度的概念,当且仅当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与。</p><p>2、第三节 惯性定理， 正定二次型,一， 惯性定理 二， 正定二次型的概念 三， 正定二次型的判别 四， 小结,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,用正交替换法，标准形为,用配方法，标准形为,定理2 任意一个实数域上的二次型，经过一适当 的非退化线性替换可以化为规范形。且规范形是 唯一的。,推论（教材第205页定。</p><p>3、用相似变换将实对称阵的对角化,4 实对称阵的相似矩阵,下页,关闭,并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称 矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵 的几个特征，说明它一定能相似对角化。,证,定理6,上页,下页,返回,定理5 实对称阵的特征值是实数。,定理7 设A为 n 阶对称阵，是 A 的特征方程的 r 重根，则方阵 AE 的秩 R ( AE ) = nr, 从而对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量。,定理8 设 A 为 n 阶实对称阵，则必有正交阵 P，使 P1AP = , 其中是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵。,证 设 A 的互不相等的特征值为 1, 2。</p><p>4、配方法,主要内容,初等变换法,第六节 用配方法化二次型成标准形,和初等变换法.,用正交变换化二次型成标准形, 具有保持几,何形状不变的优点.,如果不限于用正交变换, 那么,还可以有多种方法(对应有多个可逆的线性变换),把二次型化成标准形.,这里介绍拉格朗日配方法,下面举例来说明这两种方法.,例 23 用配方法化二次型,成标准形, 并求所用的变换矩阵.,解 由于二次型中没有变量的平方项, 故针,性变换以产生变量的平方项:,对某个交叉乘积项, 如 2x1x2 作如下的可逆的线,一、配方法,则原二次型变为,由于新变量的二次型中含有平方项, 如 y12 或 y2。</p><p>5、一 元二次型与对称矩阵,二 二次型与对称矩阵的标准形,三 二次型与对称矩阵的有定性,第六章二次型,一、元二次型的概念,1、二次型及其矩阵,的二次齐次多项式,定义5.1 含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，称,为二次型的规范形,、二次型 的矩阵表示,、二次型 的和式表示,则二次型 ,其中矩阵为对称矩阵.,令,任一二次型,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵。</p><p>6、引例,主要内容,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的求法,特征值与特征向量的性质,第 二 节 特征值与特征向量,方程组等问题，也都要用到特征值的理论.,工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定,性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征,向量的问题.,数学中诸如方阵的对角化及解微分,一、引例,作下面的乘法得,引例 设,只是原像的倍数.,我们可以从映射的角度看待上述运算，即,由二阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量,集合 R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则,a R2 Aa R2 .,在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2,。</p><p>7、相似矩阵的概念,主要内容,相似矩阵的性质,矩阵对角化的步骤,第 三 节 相似矩阵,则称矩阵 A 相似于矩阵 B.,一、相似矩阵的概念,定义 1 设 A , B 为 n 阶矩阵, 如果存在 n 阶可,逆矩阵P, 使得,P-1AP = B ,二 相似矩阵的性质,相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有 以下性质：,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) a）自反性 即一个矩阵与它自身相似;,b) 对称性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,C) 传递性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,(2) 与单位矩阵相似的只能是单位矩阵；与O矩阵相似的只能是O矩阵。</p><p>8、第五章,特征值、特征向量、矩阵的相似,第五章第一节,矩阵的特征值与特征向量,工程技术中的振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值、特征向量的概念，不仅在理论上起着十分重要的作用，而且可以直接应用于许多实际问题。,定义 设A为复数域C上的n阶矩阵, 如果存在数0C和非零的n维向量X0, 使得 AX0=0X0, 就称0是矩阵A的特征值（eigenvalue）, X0是A的属于(或对应于)特征值0的特征向量（eigenvecter）. 注意: 特征值问题是对方阵而言的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.,AX0=0X0 (1) 特征向量一定是非零向量. 。</p><p>9、第五章 矩阵的特征值 【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念, 熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法 （2）了解相似矩阵的概念与性质、矩阵可对角化的充要条件, 掌握用相似变换化 矩阵为对角矩阵的方法. （3）了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质. （4 了解实对称矩阵可对角化的充要条件 ,掌握应用相似变换化实对称矩阵为对角 矩阵的方法,即实对称矩阵的对角化方法.,山西大学商务学院,线性代数,5.1矩阵的特征值与特征向量 内容要点: 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 5.1.。</p><p>10、第五章 矩阵的特征值 【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念, 熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法 （2）了解相似矩阵的概念与性质、矩阵可对角化的充要条件, 掌握用相似变换化 矩阵为对角矩阵的方法. （3）了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质. （4 了解实对称矩阵可对角化的充要条件 ,掌握应用相似变换化实对称矩阵为对角 矩阵的方法,即实对称矩阵的对角化方法.,山西大学商务学院,线性代数,5.1矩阵的特征值与特征向量 内容要点: 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 5.1.。</p><p>11、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 Ch5 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5 1 向量的内积与正交向量组向量的内积与正交向量组 5 3 相似矩阵相似矩。</p><p>12、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 6 正定二次型正定二次型 二 正定二次型的判定二 正定二次型的判定 三 负定二次型的概念三 负定二次型的概念 四 小结四 小结 思考题思考题 一 正定二次型的概念一。</p><p>13、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 3 相似矩阵相似矩阵 一 方阵的相似一 方阵的相似 二 二 方阵可对角化的条件方阵可对角化的条件 三 三 小结小结 第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 1。</p><p>14、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 一 方阵的特征值与特征向量的概念一 方阵的特征值与特征向量的概念 二 二 方阵的特征值与特征向量的性质方阵的特。</p><p>15、华南农业大学理学院应用数学系 线性代数 多媒体教学演示 第一章矩阵与线性方程 第三章向量的内积与正交矩真 第五章二次型 第七章Matlab软件的应用 第二章向量与线性方程组 第六章线性空间与线性变换 第四章矩阵的特。</p><p>16、第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) 解： 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为： 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为： (2) 解： 所以，特征值为：(单根)，(二重根) 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为： 所以，的基础解系为： 因此。</p><p>17、小行星轨道计算 数值矩阵运算 特征值问题及应用 符号矩阵运算,第5章 线性代数,例1.小行星轨道问题,观察一颗绕太阳运行的小行星,测得坐标数据,a1xj2 + 2a2xjyj + a3 yj2 +2a4 xj + 2a5 yj + 1 = 0,轨道方程,( j = 1, 2, 3, 4, 5 ),a1 = ? a2 = ? a3 = ? a4 = ? a5 = ?,%-解方程组确定行星轨道。</p><p>18、1,第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化,袄阻颠枕倒今旋宾篙掏秆拼山湃骋剃每摸岳序赂铜间遗圈依安南详额笛挖线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1 特征值与特征向量 相似矩阵,1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征。</p>