常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程 (,)(,)0MxydNxy有只含 x的积分因子的充要条件是（ ） 。有只含 的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若 12(),()nXtt 为 阶齐线性方程的 n个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若 ()t和 都是()xAt的基解矩阵，则 ()t和 具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、3()0ydxy、 sinco2tt、若14A试求方程组 xA的解12(),0t并求 expAt、32()80dyxy、求方程经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（）、 n阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解。试卷答案一填空题、()MNyx()MNyxy、 2dpQRyz 、 ()nyxy(1)(,)npxduxe、 12,0wtt、110nnnnddxaayxx、 ()tC 、零 稳定中心二计算题、解：因为1,MNyx，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln()dyye，两边同乘21y得320dxy所以解为 321xxcy2c即2()xyc另外 y=0 也是解、线性方程 0的特征方程 10故特征根 i1()sinfti是特征单根，原方程有特解 (cosn)xtABt代入原方程A=- 2B=0 2()cosft 2i不是特征根，原方程有特解cosinxAtBt代入原方程13B=0 所以原方程的解为 12cosincsxttt、解：()6904p解得 1,23此时 k=1 12n12v1320 ()()!it itieAEe由公式 expAt= ntii得33311exp()01t t ttAEete、解：方程可化为284dyx令dypx则有3284yp（*）（*）两边对 y 求导：32232(4)(8)4dpyyyp即32(4)0dpp由0得1c即2()将 y 代入（*）24cx即方程的 含参数形式的通解为：24()xpycp 为参数又由320py得123(4)py代入（*）得：327x也是方程的解 、解： 102524107251830()0460xxdxy xxd三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解：102001110200(),(),()(),(),()nnnnxtttxxtxtt 考虑1(),()100nwtt 从而 (),2)ixt 是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里. )(.yxf分别为 x.y 的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里 QP为 的连续函数.n， 可 化 为 线 性 方 程 。是 常 数 。 引 入 变 量 变 换 .03、 如果存在常数 使 得 不 等 式,0L_对于所有称 为 利 普 希 兹 常 数 。都 成 立 ，（ LRyx),(,21 函数 ),(yxf称为在 R 上关于 满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里 是 常 数 。,21a5、 设 是的 基 解 矩 阵 ，是 )()( tAt )(tftAx的某一解，则它的任一解 可 表 为_-。二、计算题 40%1、 求方程的 通 解 。26xyd2、 求方程e的通解。3、 求方程 tx25 的隐式解。 4、 求方程） 的 第 三 次 近 似 解 。、通 过 点 （ 0yd三、证明题 30%1.试验证 t=12t是方程组 x= t21x,x=21x，在任何不包含原点的区间 abt上的基解矩阵。2.设 为方程 x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E） ，证明: 1(t0)= (t- t0)其中 t0为某一值. 常微分方程期终试卷答卷一、填空题（每空 5 分）1)(yxfd2、nyxQPdxy)(z= ny13 ,(121L4、01 yaxxax nnnn5、 )()(tt二、计算题（每题 10 分）1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= 1y,算得 dxyz2代入原方程得到xzd6，这是线性方程，求得它的通解为 z= 826xc带回原来的变量 y，得到1= 826c或者cxy86，这就是原方程的解。此外方程还有解 y=0.2、解： xeedxyydxy)(dxeyxdyxexy积分：cxy21故通解为：0ey3、解：齐线性方程 56x的特征方程为 0562，,12，故通解为 ttect1)(不是特征根，所以方程有形如 Ax把 )(tx代回原方程 ttttAe22241于是原方程通解为ttt ectx2521)(4、解 0)(xxd0221)(0)( 502212x 4016)( 1850223 xxdx三、证明题（每题 15 分）1、证明：令 t的第一列为 1(t)= t2,这时 1(t)= 2t=t21(t)故 1(t)是一个解。同样如果以 2(t)表示 t第二列，我们有 2(t)= 0= t22(t)这样 2(t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为 det t=-t2故 是基解矩阵。2、证明：（1） t, (t- t0)是基解矩阵。（2）由于 为方程 x=Ax 的解矩阵，所以 t1(t0)也是 x=Ax 的解矩阵，而当 t= t0时， (t0) 1(t0)=E, (t- t0)= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 1(t )= (t- t )3、设 )(为方程 Ax（为 n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 )(E，证明t)001t其中 为某一值。3、证明： 为方程 x的基解矩阵 )(01t为一非奇异常数矩阵，所以 )(t01也是方程 Ax的基解矩阵，且 )(0t也是方程 Ax 的基解矩阵，且都满足初始条件 )(t01E， Et0所以 )()t常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30 分）1)(xQyPdx称为一阶线性方程，它有积分因子 dxPe)( ，其通解为 _ 。2函数 ),(f称为在矩形域 R上关于 y满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若 x为毕卡逼近序列 )(xn的极限，则有 )(xn_ 。4方程2yd定义在矩形域 2,2:y上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组 tte2,的伏朗斯基行列式为 _ 。6若 )1)(nix为齐线性方程的一个基本解组， )(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若 )(t是 xtA)( 的基解矩阵，则向量函数 )(t= _是 )( tfxtA的满足初始条件 0的解；向量函数 = _ 是 tftx的满足初始条件 (0t的解。8若矩阵 具有 n个线性无关的特征向量 nv,21 ，它们对应的特征值分别为,21，那么矩阵 )(t= _ 是常系数线性方程组 Ax的一个基解矩阵。9满足 _ 的点 ,*yx，称为驻定方程组。二 计算题 （60 分）10求方程 0)1(2432dyd的通解。11求方程xey的通解。12求初值问题 0)1(2yd1,:yR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程 tx3sin9的通解。14试求方程组 )( fA的解 ).(t1,421,)0( e三证明题 （10 分）16如果 )(t是 Ax满足初始条件 )(0t的解，那么(eptt常微分方程期终考试试卷答案一填空题 （30 分）1 )()()(cdxeQeyPdxP2 ,f在 R上连续，存在 0L，使 2121),(),(yLyxff ，对于任意 )(213 !nhML4 4x5ttttttee26)()(1xcxini7dsft(0dsftt )()()01018 ntveve,219 0)()(yxYX二计算题 （60 分）10解：NM226,8yxy21积分因子 2121)(yeyd两边同乘以 )(后方程变为恰当方程： 0)(433dyxx324xMu两边积分得：2u123213)(yxNyy得： 214因此方程的通解为： cyx)3(11解：令pydx则 0xep得：那么 dp)1(cepp2因此方程的通解为： cepyx)1(212解：4),(max),(fMRyby1,100 ， 41),min(Mbah解的存在区间为x即 435x令 0)(0y31121dx4219863)()( 4722 xxdx又Lyf误差估计为： 241)!()(2 nhMx13解： ii3,09212i3是方程的特征值， 设 iteBAttx3)()得： iBtAx2“ 96(则 ti得： 31,2i因此方程的通解为：tttcttx 3sin61co123sino)(21 14解：0)5(34)det( AE5,120)(11vAE 得 1取1v22 得 2 取 2则基解矩阵ttet5)( ttt eet 1200()51 51034)()(510 ttttt edsf因此方程的通解为： tdsft0)()()(15210345tttttte三证明题 （10 分）16证明：由定理 8 可知dsfttt )()()(0101又因为 expe,exp) 0AtA(sf所以 )(0ttt又因为矩阵 )0所以 exp)(tt常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分） 。1、 当_时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求dxy=f(x,y)满足 0)(yx的解等价于求积分方程 _的连续解。4、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程),(yxfd的解 y= ),(0yx作为 0,x的函数在它的存在范围内是_。5、若 (.)321tt为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组 xtA)(/的_称之为 xtA)(/的一个基本解组。7、若 )(t是常系数线性方程组 Ax/的基解矩阵，则 expAt =_。8、满足_的点（ *,y） ，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共 6 小题，每题 10 分） 。1、求解方程： dxy= 3122、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程： texxtcos32/ 5、试求方程组 Ax/的一个基解矩阵，并计算 3421,为其 中 A三、证明题（共一题，满分 10 分） 。试证：如果 xt/） 是（满足初始条件 )(0t