概率与数理统计课后习题解答VIP

概率论与数理统计 习题解答1第 一 章思 考 题1事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的 .因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？圆周率 是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计145926.3算到小数点后七位, 这个记录保持了 1000 多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873 年, 英国学者沈克士公布了一个 的数值, 它的数目在小数点后一共有 707 位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了 的 608 位小数, 得到了下表:67584625687260 9431出 现 次 数数 字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为 是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于 0.1，但 7 出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？两事件 A、B 相互独立与 A、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？条件概率是否是概率？为什么？习 题 一1 写 出 下 列 试 验 下 的 样 本 空 间 ：（ 1） 将 一 枚 硬 币 抛 掷 两 次答 ： 样 本 空 间 由 如 下 4 个 样 本 点 组 成 (,),(,),正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反（ 2） 将 两 枚 骰 子 抛 掷 一 次答 ： 样 本 空 间 由 如 下 36 个 样 本 点 组 成 (,)1,2345,6ij（ 3） 调 查 城 市 居 民 （ 以 户 为 单 位 ） 烟 、 酒 的 年 支 出答 ： 结 果 可 以 用 （ x， y） 表 示 ， x， y 分 别 是 烟 、 酒 年 支 出 的 元 数 .这 时 ， 样 本空 间 由 坐 标 平 面 第 一 象 限 内 一 切 点 构 成 . (,)0,xy2甲，乙，丙三人各射一次靶，记 “甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述ABC三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;(2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： ;CAB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;概率论与数理统计 习题解答2(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;CBA(6)“三人中至少有一人未中靶”： 或 ;(7)“三人中恰有两人中靶”： (8)“三人中至少两人中靶”： ;(9)“三人均未中靶”： ;(10)“三人中至多一人中靶”： ;CBACBA(11)“三人中至多两人中靶”： 或 ;3 .设 是 两 随 机 事 件 ， 化 简 事 件,AB(1) (2) )()()解 :(1) ,AB(2) .)AB()AB4某城市的电话号码由 5 个数字组成，每个数字可能是从 0-9 这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解： .510324P5 张 奖 券 中 含 有 张 有 奖 的 ， 个 人 购 买 ， 每 人 一 张 ， 求 其 中 至 少 有 一 人 中nmk奖 的 概 率 . 解法一：试验可模拟为 个红球， 个白球，编上号，从中任取 k 个构成一组，则n总数为 ，而全为白球的取法有 种，故所求概率为 . knCkmnC knmC1解法二：令 第 i 人中奖， B无一人中奖，则 ，注意到iA,.2,1i kAB21不独立也不互斥：由乘法公式k，21)()()()( 1213121 kkAPAPB.nmnmn !,1k knmnmCC同 除 故 所 求 概 率 为6从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双” （事件 A）的概率是多少？ 解：125840()CPA7 在 上 任 取 一 点 ， 求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过 的 概 率 . ,X15概率论与数理统计 习题解答3解 ： 此为几何概率问题： ,所求事件占有1，区间 ，从而所求概率为 .51，25P8 在 长 度 为 的 线 段 内 任 取 两 点 ， 将 其 分 成 三 段 ， 求 它 们 可 以 构 成 一 个 三 角 形a的 概 率 .解 ： 设 一 段 长 为 ，另一段长为 ，样本空间 ，xy:0,0xayxya所求事件满足： 02()ayxx从而所求概率 .14CDEOABS:9 从 区 间 内 任 取 两 个 数 ， 求 这 两 个 数 的 乘 积(0,)小 于 的 概 率 .14解 ： 设 所 取 两 数 为 样 本 空 间 占 有 区 域 , ,XY两 数 之 积 小 于 : ,故 所 求 概 率14,()()SDSP而 ,故 所 求 概 率 为141()(ln4)dx.(ln)10 设 、 为 两 个 事 件 ， ， ， 求 . AB()0.9PA()0.36B()PAB解： ;()(.36.54P11 设 、 为 两 个 事 件 ， ， ， 求 . ()0.7()0.3()解： .()()11.7036ABPABPAB概率论与数理统计 习题解答412 假 设 ， ， 若 、 互 不 相 容 ， 求 ； 若 、()0.4PA()0.7BAB()PBA相 互 独 立 ， 求 . B解：若 、 互 不 相 容 ， ；()(0.74.3PP若 、 相 互 独 立 ， 则 由 可 得 =0.5. A )()ABAB()P13飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中 1，2，3 号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设 命中仓库，则 没有命中仓库，又设 命中第 i 仓库i则 ，)3,21(i 03.)(,02.)(,01.( APAP根据题意 （其中 两两互不相容）32131故 =0.01+0.02+0.03=0.06()()所以 94.06.AP即飞机投一弹没有命中仓库的概率为 0.9414 某 市 有 50%住 户 订 日 报 ， 有 65%的 住 户 订 晚 报 ， 有 85%的 住 户 至 少订 这 两 种 报 纸 中 的 一 种 ， 求 同 时 订 这 两 种 报 纸 的 住 户 的 百 分 比 解： 设 用户订有日报， =用户订有晚报，则 用户至少订有日报和ABBA晚报一种， 用户既订日报又订晚报，已知B，所以85.0)(,65.0)(,.)( APP3.0.6BA即同时订这两种报纸的住户的百分比为 30%15一批零件共 100 个，次品率为 10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设 第一次取得次品， 第二次取得正品，则AB第二次才取得正品，又因为 ，则B 90)(,10)(ABP概率论与数理统计 习题解答509.1)()( ABPA16.设 随 机 变 量 、 、 两 两 独 立 ， 与 互 不 相 容 . 已 知CAB0)(2CPB且 ， 求 .5()8C()解 ： 依 题 意 且 ， 因 此 有 . 又 因0ABP)(P0)(P， 解 方 程25()()()38C08532C，11()()()42PPB舍 去， ()()()0.5APBAP17 设 是 小 概 率 事 件 ， 即 是 给 定 的 无 论 怎 么 小 的 正 数 .试 证 明 ： 当A试 验 不 断 地 独 立 重 复 进 行 下 去 ， 事 件 迟 早 总 会 发 生 （ 以 概 率 1 发 生 ） .解 ： 设 事 件 第 次 试 验 中 出 现 ， ，i A(1,2,)in (),()iiPA， 次 试 验 中 ， 至 少 出 现 一 次 的 概 率 为(1,2)in12 12)()n nPAPA 12()n（独立性）)(AP1(n ，证毕.12lim()nnPA18 三 个 人 独 立 地 破 译 一 密 码 ， 他 们 能 单 独 译 出 的 概 率 分 别 是 ， ， ，1534求 此 密 码 被 译出 的 概 率 . 解:设 A，B，C 分别表示第一、二、三人译出密码，D 表示密码被译出，则()1 PPABC.1()4231.19 求 下 列 系 统 （ 如 图 所 示 ） 的 可 靠 度 ，概率论与数理统计 习题解答6假 设 元 件 的 可 靠 度 为 ， 各 元 件 正 常 工 作 或 失 效 相 互 独 立iip解 ： (1)系 统 由 三 个 子 系 统 并 联 而 成 ， 每 个 子 系 统 可 靠 度 为 ， 从 而 所 求123p概 率 为 ；312)p（2）同 理 得 .(20 三 台 机 器 相 互 独 立 运 转 ， 设 第 一 ， 第 二 ， 第 三 台 机 器 不 发 生 故 障 的 概率 依 次 为 0.9， 0.8， 0.7， 则 这 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障 的 概 率 . 解：设 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障 ， 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障 ， 1A2A3A第 一 第 三 台 机器 发 生 故 障 ， 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障 ， 则D， 故123()0.,().,()0.PPA1 ABCB()()()10.98.70496 21 设 、 为 两 事 件 ， , , ， 求 . 7PA()().BPA()PAB解：由 得()0.4BPA，.,().12,()()0.48() BB. 082PBPA22.设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0.8, 活到 25 年以上的概率为 0.4. 问概率论与数理统计 习题解答7现年 20 岁的这种动物, 它能活到 25 岁以上的概率是多少?解：设 某种动物由出生算起活到 20 年以上， ， 某种动物由出生A ()0.8PAB算起活到 25 年以上， ，则所求的概率为()0.4PB()()0.4()() .58BAPA23 某 地 区 历 史 上 从 某 年 后 30 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 80%， 40 年 内发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 85%， 求 已 过 去 了 30 年 的 地 区 在 未 来 10 年 内 发 生 特大 洪 水 的 概 率 .解 ： 设 某 地 区 后 30 年 内 发 生 特 大 洪 灾 ， ， 某 地 区 后 40 年 内A ().8PAB发 生 特 大 洪 灾 ， ，则所求的概率为().85PB.()()0.15()1()112ABBPAP24设甲、乙两袋，甲袋中有 2 只白球，4 只红球；乙袋中有 3 只白球，2 只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设 A：取到白球，B：从甲球袋取白球 243) (/)(/)(5/9 6PPAB/2 /()25 一 批 产 品 共 有 10 个 正 品 和 2 个 次 品 ， 任 取 两 次 ， 每 次 取 一 个 ， 抽 出 后 不 再放 回 ， 求 第 二 次 抽 出 的 是 次 品 的 概 率 . 解 ： 设 表示第 次抽出次品, ,由全概率公式iBi(1)i= .2221111()()BPP021626.一批晶体管元件，其中一等品占 95%，二等品占 4%，三等品占 1%，它们能工作 500的概率分别为 90%，80%，70%，求任取一个元件能工作 500 以上的概率.h h解：设 取到元件为 等品( =1,2,3) ， 取到元件能工作 500 小时以上iBiiA概率论与数理统计 习题解答8则 %1)(,4)(%,95)( 321 BPBP70800AA所以 )()()()( 332211 BAP0.89449527某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占 40%，35%和 25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0.65，0.70和 0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以 Bi 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=抽到优等品，则有：123()0.5,()0.25,PB()=.4,6A37).8AP所求概率为 由全概率公式得：().123123()()()APBB0.654.7035.80.715111()(|)6() .24.AP28用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为 0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为 0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为 0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设 A=检查结果为阳性，B=癌症患者.据题意有 ()0.95,()0.9,APB所求概率为()0.5,PB().BPA由 Bayes 公式得1()0.95A()()()PBPB0.5.90.47.%. .1293 个射手向一敌机射击，射中的概率分别是 0.4，0.6 和 0.7.如果一人射中，敌机概率论与数理统计 习题解答9被击落的概率为 0.2；二人射中，被击落的概率为 0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设 A=敌机被击落，B i=i 个射手击中，i=1,2,3. 则 B1,B2,B3 互不相容.由题意知： ，由于 3 个射手射击是互相独立的，所1 32()0.,()0.6,()AAPPB以 1().4.3.04.7206047636PB 3().18因为事件 A 能且只能与互不相容事件 B1,B2,B3 之一同时发生.于是（1）由全概率公式得 31()()|0.34.60.180.49iiiPBP（2）由 Bayes 公式得 .3331()|.18(|)049)iiiA30某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解： 需经调试 不需调试 出厂AAB则 ， ， ，%30)(P70)(%80)|(P1)|(AP（1）由全概率公式： B.9473（2）由贝叶斯公式： .70)()()( ABPA31 进 行 一 系 列 独 立 试 验 ， 假 设 每 次 试 验 的 成 功 率 都 是 ， 求 在 试 验 成 功 2p次 之 前 已 经 失 败 了 3 次 的 概 率 . 解 ： 所求的概率为 . 234(1)p概率论与数理统计 习题解答1032 10 个 球 中 有 一 个 红 球 ， 有 放 回 地 抽 取 ， 每 次 取 一 球 ， 求 直 到 第 次 才 取n次 红k()n球 的 概 率解 ： 所求的概率为 190knkknC33 灯 泡 使 用 寿 命 在 1000h 以 上 的 概 率 为 0.2， 求 3 个 灯 泡 在 使 用 1000h 后 ，最 多 只 有一 个 坏 了 的 概 率 .解 ： 由 二 项 概 率 公 式 所 求