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玉林师范学院本科生毕业论文弹簧质量对振动系统的影响The Influence of Spring Quality on Vibration System院 系 物理科学与工程技术学院 专 业 物理学 学 生 班 级 2009 级 2 班 姓 名 戴石贵 学 号 200905401240 指导教师单位 物理科学与工程技术学院 指导教师姓名 关小蓉 指导教师职称 副教授 弹簧质量对振动系统的影响物理学 2009 级 2 班 戴石贵指导教师 关小蓉摘要弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有很多原因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为 、弹性系数0m为 的弹簧和连接于弹簧一端质量为 的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧k m质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。关键词：弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能The Influence of Spring Quality on Vibration SystemPhysics2009-2 Dai Shi-guiSupervisor Guan Xiao-rongAbstractSpring oscillator is a typical model of physics, the spring oscillator means to ignore the quality of the light spring an object composed of system. Experiment spring oscillator frequency of vibration and theoretical results there is a greater difference, there are many reasons, but mainly due to the quality of the spring have a certain impact on the vibration. In the discussion of the spring oscillator vibration case, people tend to ignore the quality of the spring itself, the actual child of spring vibration by the spring-mass for m0, elastic coefficient k for the spring and quality connection on one end of the spring to m vibrating object composition, to address the actual spring oscillator spring-mass vibration system, energy research system, the establishment of the formula of kinetic and potential energy of the spring-mass system, a quantitative analysis of the quality of the spring between the period of the vibration system from different angles, the the actual vibration of vibration problems, the study has some reference value and significance.Spring quality, this spring vibration sub-vibration sub is not ideal, the quality of its vibration cycle with springs has close ties, when we put this effect is only attributed to the quality factor, the oscillator cycle can be written as spring-effective quality-related expression, in fact, deal with such issues are many, like Runge - Kutta method, Rayleigh method, transfer matrix method for solving the wave equation method, heuristics for solving differential equations of conservation of mechanical energy approximation , iterative method, etc. In this paper, the use of mechanical energy conservation law and the iterative method of approximate solution to the actual spring oscillator cycle, and the results make a detailed discussion.Key words：Spring oscillator，Spring-mass，Cycle，Kinetic energy，Potential energy 目录1 前言 .12 振动系统的动能和势能 .22.1 弹簧振动系统的动能分析概况 .22.2 弹簧振动系统势能分析概况 .42.3 弹簧振动系统的机械能 .52.3.1 弹簧振子放置水平位置（ ）弹簧振动系统的机械能 .502.3.2 弹簧振子放置竖直位置（ ）弹簧振动系统的机械能 .62/2.3.3 弹簧振子放置倾斜程度为 位置（ ）弹簧振动系统的机械/能 .63 弹簧质量对振动周期的影响 .73.1 机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响 .73.2 迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响 .93.3 弹簧质量对振动周期影响的分析 .11致谢 .13参考文献 .14玉林师范学院本科生毕业论文11 前言弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型-简谐振子,它由质量为 的振子和弹m簧弹性系数为 的无质量的理想的弹簧所组成,则其弹簧振动系统的周期为：k kmT2简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型,实际上弹簧的自身质量 相0比振子的质量 来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响,就必定会造成m理论上计算值与实际测量值之间的不吻合,并且这种差异并非属于随机简单的计算误差,而是具有明显的系统误差性质,必要时还是应予以修正的。在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异,其中原因可能有很多,但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似,可以将弹簧质量 的三0m分之一有效质量加到振子的质量 上去,从而将弹簧质量为 、振子质量为 的实际m0m弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为 的理想质量的弹簧振动系统,弹簧系3/0统的振动周期为： kT20为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响22 振动系统的动能和势能通常用弹簧振子来研究简谐振动问题，用到轻弹簧 13，这里考虑到弹簧质量，系统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。下面就从振动系统的能量开始，按弹簧的动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。2.1 弹簧振动系统的动能分析概况弹簧振子按照如下图 2.1 放置在一个光滑的倾斜程度为 斜面上，弹性系数为 ，k弹簧的原长为 ，达到平衡位置时弹簧伸长量 ，物体的质量为 ，弹簧的质量为 。L0xm0mk0mmL0x dl 图 2.1 弹簧振子Figure2.1 spring oscillator因为弹簧振子中的弹簧质量为 ，弹性系数为 ，振子质量为 ，若弹簧的振动0mkm方程为 ： tAxcos（2.1）玉林师范学院本科生毕业论文3那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那么对（2.1）式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度 为：vtAxdtvsin.（2.2）因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹簧动能之和，即：21kkE根据动能的表达式：21MvEk其中 为振子的动能为：k1EtAmvEk 2212sin1（2.3）而 则为弹簧的振动动能，如上图图 2. 1 所示，设弹簧总共绕匝数为 匝,任意 的k2E Ndl振幅为：00 xLAllxNA（2.4）由于 与振子的振动频率相同且相一致的，所以弹簧的振动方程为：dl0cosxLtAlX（2.5）所以弹簧的任意时刻的速度 为：vtxLAldtXvsin0（2.6）因此弹簧的振动动能为： 2002kdxLAlxdlmE戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响4（2.7）又 而 为振子的振动速度。dlxLvmt 2302sintAvsin所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为：62122002000 vmdlxLvmvExLk （2.8）如图图 2.1，已知弹簧放在光滑的倾斜程度为 （ ）斜面上，所以综上所述，/考虑了弹簧质量的振动系统的总动能 为：KE2022161vmkk （2.9）2.2 弹簧振动系统势能分析概况弹簧振子按照如图图 2.2，放置在一光滑的斜面上，图 2.2 中弹簧水平放置时原长为 ，当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧伸长量为 。坐标原点、弹簧弹性势L 0x能以及重力势能零点都选在平衡位置，任意时刻振子运动到位置为 考虑到弹簧的质量，因此弹簧的重力势能不能够忽略不计，那么弹簧振子系统的势能 等于弹簧的弹pE性势能 和弹簧振子的重力势能 以及弹簧的重力势能 之和，即为：p1E2pE3pk0mmL0x图 2.2 弹簧振子玉林师范学院本科生毕业论文5Figure2.2 spring oscillator321ppEE（2.10）因为弹簧的弹性系数为 ，根据弹簧的弹性势能的式子： ，而重力势能的式k 2kxP子为： ；又弹性势能和重力势能的零势能点选择在弹簧振动系统的平衡位置，mgHEp所以在平衡位置上的弹簧弹性势能、重力势能为零势能面。对于弹簧的弹性势能 ，又根据微积分学，对其积分得到其表达式：P1Exkdxkxp 0201 （2.11）又因 ，所以弹簧的弹性势能 为：sin00gmkx 1pEsin20gxmkx（2.12）对于弹簧振动系统中振子的重力势能 为：2pEsingx（2.13）对于弹簧振动系统中弹簧的重力势能 为：P3E 0000003 2sinsinsinsin xLgmldxLgldxLgmldxLgExxp （2.14） 综上所述，弹簧振子振动系统的势能为：sin212sini00 002321xLgmkx xLgmEEPP （2.15）戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响62.3 弹簧振动系统的机械能综上根据弹簧系统的动能与势能分析情况，则弹簧振动系统的机械能 为弹簧系E统的动能与势能之和，即：sin21312 0020 xLgmkxvmEpk （2.16）弹簧振子是按照如图图 2.1 放置在一光滑的倾斜程度为 斜面上，弹性系数为 ，k弹簧的原长为 ，达到平衡位置时弹簧伸长量 ，物体的质量为 ，弹簧的质量为 L0x 0m。又因其倾斜程度为 ，且其范围在 之间，所以可以分为以下可能出现的2/情况 、 、 三种情况进行概括和总结系统的机械能。02/2/02.3.1 弹簧振子放置水平位置（ ）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于水平放置时，即 ，并且此时 ，弹簧的重力