凸函数的性质及其应用研究

中文摘要第 I 页 共 III 页 凸函数的性质及其应用研究摘 要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 Jensen 1905著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12 种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明 Jensen不等式、一般不等式 、 Cauchy 不等式、Holder 不等式中的重要应用，并讨论了Jensen 不等式， Cauchy 不等式， Holder 不等式在证明其他不等式的应用。关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式英文摘要第 II 页 共 III 页 Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensens 1905 writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed. Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality*大 学 毕 业 论 文第 III 页 共 III 页 目 录 中 文 摘 要 .I英 文 摘 要 .1 引言 .12 凸函数的定义 .12.1 凸函数的 12 种定义 .13 凸函数的性质 .43.1 凸函数的常用性质 .44 凸函数的应用 .114.1 凸函数在微分学中的应用 .114.2 凸函数在积分学中的应用 .134.3 利用凸函数和 Jensen 不等式证明不等式 .154.4 利用凸函数证明 Cauchy 不等式 .174.5 利用凸函数证明 Holder 不等式 .184.6 利用凸函数证明一般不等式 .19参考文献 .24致谢 .25*大 学 毕 业 论 文11 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 Jensen 1905著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。尤其是凸函数的许多重要性质在数学的许多领域如：数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域中都有着广泛的应用，凸函数的性质在证明不等式、产品的外形设计，优化产品设计等方面都起着非常重要的作用，但是凸函数也有一定的局限性，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。目前凸函数还在不断研究中，它的性质及应用在不断完善。现行的高等数学教材中, 也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文结合现有的文献研究给出凸函数现有的几种定义及其有关性质的证明,并给出简单的应用，主要是应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式并讨论凸函数在证明一般不等式中的应用。2 凸函数的定义2.1.凸函数的 12 种定义定义 1 若函数 定义在 上，对 上任意的两点 ，有 ()fxba,12,x1212fxff那么称 是 上的凸(下凸)函数 1。()fba,定义 2 若 是定义 在 内的单调增加函数，那么存在 ，对任意x（ ） I 0xI有,xI，xdtfxf0)()()(则称 为 内的凸函数 2。()fxI定义 3 若函数 在区间 上有定义，对于 上任意三点 ，下()fxII123x列不等式中任何两个不等式成立，*大 学 毕 业 论 文2，213132()()()fxffxffxf则称 是区间 上的凸函数。)(xfI定义 4 利用二阶导数判断曲线的凸向来定义函数的凸性：设函数 在区()fx间 内存在二阶导数 ,则在 内有 在 内严格凸数。(,)ab(,)ab()0()fxfx,ab证法一 (Taylor 公式法) 对 设 ,把 在点 处展),(,21x210x()f0x开成具有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式，有 21100100()()()ffxffxx，22200200)()ffff，其中 在 与 之间， 在 与 之间，注意到 ,就有10x120x2 0201xx2()()()()fffff 于是,若有 ，在上式中有0x,22120120()(), ()()ffxfxffx 那 么即 是严格凸函数。证法二 (利用 Lagrange 中值定理)若 则有 严格单调增。不妨()0,f()f设 ,并设 分别在区间 和 上应用 Lagrange 中值定12x120x10,x2,x理,有 1001101(,) ()();xfffx存 在 使 得22 2.x存 在 使 得*大 学 毕 业 论 文3由 ，又由 ，那么 10212()xxff0120xx，120()(ff 0()()fff即:，12120()()xfxfff则 为严格凸函数。()fx定义 5 若对任意的 在区间 为凸1212,()()xIfx函 数 0,1函数，则称 在区间 内为凸函数 2。()f定义 6 在区间 上有定义，当且仅当 的切线恒保持在曲线以下，xI ()yfx则称 为区间 上的凸函数 1。()f定义 7 设函数 在区间 内有定义，()fx(,)ab若对任意 ，有 ，则称 在区间123123,xx11223()0fxf()fx内的凸函数 1,2。(,)ab定义 8 设函数 在区间 内有定义，若对任意 ，对任意()fx(,)ab12,(,)xab有(0,1)t，1212()()()ftxtfxtfx则称 在区间 内的凸函数 1。()fx,ab定义 9 (詹森 Jensen 不等式 1) 设函数 在区间 内有定义，若对任意()fx(,)ab， 且 有 ，则称,)kx0,1)(,2ktn 1,kt11()nnkkttfx在区间 内的凸函数。(f(,ab定义 10 设函数 在区间 内有定义， 在区间 内连续。若对()fx(,)ab()fx(,)ab*大 学 毕 业 论 文4任意 有 1212,(,)xabx，2112()()xfxff ftd则称 在区间 内的凸函数 1。()fx(,)ab定义 11 若 在 内可导，对任意的 有()fxI,xyI)()()(yfxyfxf则称 为 内的凸函数 2。I定义 12 若有 则1212()()( )n nxffxff N为 内的凸函数。()fxI3 凸函数的性质3.1 凸函数的常用性质性质 1 若 为区间 上的凸函数， 为非负实数，则 也为区间 上()fxIk()kfxI的凸函数。性质 2 若 均为区间 上的凸函数，则 也为区间 上()fg、 I()fgI的凸函数。证明：因为 在区间 上为凸函数.对定义区间内任意两点 及任,fxI 12,x意的 ，有0,11212fxfxfx和， 1212ggg不等式两边分别相加得： 12121122fxxfxfxg*大 学 毕 业 论 文5按定义 为凸函数。fxg推论 若 均为区间 上的凸函数， 为非负实数，则()fxg、 I12,k也为区间 上的凸函数。12()()kf I性质 3 若 是单调增加的凸函数，且 为凸函数，则复合函数fuux也是凸函数 3 。fx证明：因为 是凸函数，对任意的 有x12,x（由凸函数的定义）,又因为 是单调增加的凸函数，1212x fx所以对任意的 有12,x12122 fxfxxff （ ）所以复合函数 也是凸函数。12122xx fu性质 4 若 均为区间 上的凸函数，则(),xgI也是区间 上的凸函数。()ma(),FxfxgI性质 5 设 为区间 上的严格凸函数,若有 是 的极小值点，则0I()fx是 在 上唯一的极小值点 1,4,5,6。0)(xfI证明: 假设 有异于 的另一极小值点 ，不妨设 ()fx01I，由于 是区间 上严格凸函数,故对于任意的 ,都有10()ff()fI (0)，0101()()xffxf于是对任意 ,只要 充分接近 1，总有00()(,).xUI但是, .这与 是 的极小值点矛盾，从而 是 在 上唯()fxf 0x()fI*大 学 毕 业 论 文6一的极小值点。性质 6 设 是 上的凸函数 2,3,则 在 上处处存在左、右()fx,ab()fx,ab导数 ,且 ()f.f证明： ，记00(,)(,)(,U对 任 意 的 存 在，0,fxF-=,xab对任意的 且 则有120,(,)xU1210,(,)02021()()fxffxfF即 在 上单调递增;再在 右方任取一定点 ,由定()Fx0,)0 0,义 3 得 ， 所以 在 上单调递增且有上界,故12(xF()x0)x由单调原理极限 存在,即 存在;同理可证,极限 存在,即0lim)x0f 0lim()xF存在,任意 由定义 3 有0()f12,10202()()ffxffFFx，在上式中令 ,则有 。1020,x 00()()ff性质 7 设 为 上的可微函数,则以下三者互相等价 5,7:()fI为区间 上的凸函数; (1)fxI为区间 上的递增函数; 2fI对区间 上任意两点 , 有 。(3)I1x21121()()ffxfx证明: 在区间 上任取两点 及充分小的正数 ,()I2,h*大 学 毕 业 论 文7根据 的凸性及定义 3 有 112.xhxh()fx12122( ) () )(f fxfhfx，由 的可微性,当 时,有 ，所以()fx0h211 2( )()fff fx 为区间 上的递增函数。I在以