1_6354549_3.活用定义巧转化.解决抛物线的“焦点”问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 活用定义巧转化 点”问题 解决抛物线的“焦点”问题 的 方 法 根据抛物线的定义 ,抛物线上任意一点 到抛物线准线的距离 ,因此我们即可以把抛物线上一点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 ,也可以把抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离 ;为此我们构造三个母题如下 : 母题结构 :( )已知 点 P 是抛物线 C:px(p0,焦点 为 F)上的一动点 ,则 :当 定 点 A 在 C 的外部时 ,点 P 到 A 的距离与 的 准线的距离 最小值 ,当且仅当 点 F 与 |当 定 点 的内部时 ,| 最小值 ,当且仅当 点 P 是过 A 且平行于 的交点时 ,|得最小值 ; 当 定 直线l 与 C 不相 交时 ,点 P 到 直线 到 C 的 准线的距离 最小值 ,当且仅当 点 P 是过 F 且 垂直于 直线 l 的直线与 C 的交点时 ,d1+ ( )过 抛物线 G:px(p0)的焦点 F,倾斜角为 (斜率为 k)的 直线 l 与 G 交于 A、 B 两点 ,与 G 的 准线交于点 P, 21 21 若 则 1,12; 若 则 |=p;若 G 的 准线 与 x 轴交于点 H,且 |m|则 :10)的焦点为 F,不经过焦点 F 的直线 l 与 G 交于 A、 B 两点 ,与 G 的 准线交于点 P,与 y 轴交于 点Q,则 :| | | |2 |2; 中点 E 到 G 的 准 线 距 离d=21(|. 母题 解析 :( )如图 , 由 |d= | |当且仅 当 点 P 是直线 的交点时 ,等号 成立 ; 由 | |当且仅当 点 P 是过 A 且平行于 x 轴的直线与 C 的交点时 ,等号成立 ; 由 d1+| |当且仅当 点 P 是过 F 且 垂直于 直线 l 的直线与 C 的交点时 ,等号成立 ; ( ) 由 |p,|F = 11 |=11p(| 21p) 21同理可证 : 21 由 21= =2 +1 11 =1 k2=21)212; 由 t= 12 =211t |=p=p; 设 |t,则 |t,| 12m t 12m t xA=p 1(22 ;由 p =|p 1(22 +2p =t t= 121 2 2m m p 10)的焦点 , , |为 . 10.(2009 年 天津 高考试题 )设抛物线 x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点 ,与抛物线的准线相交于 C,|2,则 成面积之比=( ) (A)54(B)32(C)74(D)2111.(2011 年 辽宁 高考试题 )已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点 ,A,B 是该抛物线上的两点 ,|3,则线段 中点到 ) (A)43(B)1 (C)45(D)4712.(2012 年第 二 十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )已知 A,B 是抛物线 x 上的两个动点 ,且 |3,则当中点 M 到 y 轴的距离最短时 ,点 M 的横坐标是 . 13.(2012年全国高中数学联赛试题 ()抛物线 px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,个动点 ,且满足 在 ,则| | . 14.(2013 年全国高中数学联赛 甘肃 预 赛 试题 )抛物线 px(p0)的焦点为 F,已知点 A、 B 为抛物线上的两个动点 ,且满足 200,过弦 中点 N,垂中为 N,则| | . 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(21,0),A(0,2),由 d=| |d=| |A). 由 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(2,0),A(0,1),由 |d=| | 5 . 设 P 到准线的 距离 为 d,则 |d |d 3+21,当且仅当 P 在直线 y=2 上时 ,等 号成立 C). 由 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(1,0),则 |d |d 2+1=3,当且 仅当 P 在直线 y=时 ,等号成立 A). 过 A 点向准线 :x=垂线 为垂足 ,由抛物线的定义 :| | 2 | | A(t,t+2),代入 x 得 (t+2)2=8t t=2 A(2,4) 面积 =B). 如图 ,由 射线 FA:x+2(x 0) 21 55 | |5; 又由 抛物线的定义知 | | |C). 由 圆与 圆心 到 距离 相等 圆心 到 点 F(21,0)的 距离 相等 圆心 在直线x=21上 一个圆的圆心 (21,1),半径 r=D). 由 F(2,0) 直线 AF:y=- 3 ( A( 3 ) P(6,4 3 ) |6+2=B). 由 过 A 作 x 轴于 D,令 FD=m,则 m,由 p+m=2m m=p |=22 )3()2( =221p. 由 准线 :x=2 3 B(23,- 3 ) 直线 AB:y=32 2( ) =22 = 2122=A). 由 |xA+1=3 xA+5 线段 中点到 y 轴的距离 =21(xA+C). 设 A(xA,B(xB,则 xA, |3 (+(=9 (+4(xA+2 (+ 4(xA+8 1(xA+169 点 设 A,B在 l 上的投影为 D,C,由抛物线的定义 :|由梯形的中位 线定理得 |21(|=21(|;在 ,由余弦定理得 :|=|+| F|BF|(|2F| (|2 | )2=(2 | )2 =|,当且仅当 |等号成立 | | .