19_3501676_6.定积分与几何概型交汇

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 定积分与几何概型交汇 问题 的 类型和解 法 定积分与几何概型的结合是因高考而产生的独特问题 ,在此类问题中 ,定积分作为求面积的工具 ,起到关键性作用 . 母题结构 :(几何概型 ):P(A)=构成事件 A 的区域面积与构成全部结果的区域面积的比值 . 解 题 程序 :定积分与几何概型的 交汇有二种基本类型 :一是以用 定积分求面积 为主的几何概型问题 ;二是把相关条件的概率问题转化为几何概型问题 . 子题类型 :(2014 年福建高考试题 )如图 e(e 为自然对数的底数 ) 的正方形中随机撒一粒黄豆 ,则他落到阴影部分的概率为 . 解析 :(法一 )由 y= y=y=x 对称 阴影部分的面积为 2 10 )( x=2(10=2; 又边长为 e 的正方形的面积为 落到阴影部分的概率为22e; (法二 )阴影部分的面积为 2e (2 落到阴影部分的概率为22e. 点评 :由 定积分求面积 ,要充分利用图形的对称性 ;本题由反函数的对称性得图形的对称性 ,给出两种解法 ,其中解法一中的原函数易求 . 子题类型 :(2012 年湖南高 考试题 )函数 f(x)= x+ )的导函数 y=f (x)的图像 如图所示 ,其中 ,A,若在曲线段 成的区域内随机取一点 ,则该点在 的概率为 . 解析 :由 f(x)= x+ ) f (x)= x+ ) B 到 x 轴的距离 = ;由图知 ,|2T= 1|=2;由 f (x)是最小正周 T=2的周期函 数 曲线段 =- (=22x |22=2 该点在 的概率 =4. 点评 :由 定积分求面积 ,可巧用图形的全等性和函数的周期性 ;本题 同时利用图形的全等性和函数的周期性 求面积 . 子题类型 :(2013 年全国高中数学联赛广东预赛试题 )设 E 为正方形 B 的中点 ,分别在边 任取两点 P、 Q,则 锐 角的概率为 . 解析 :设正方形边长为 1,AP=x,BQ=y,则 (= 1(0x, y) 所求概率为两直线 x=1,y=1 及曲线 1所围成图形的面积与 边长为 1 的正方形的面积之比 =434141=43 41=43点评 :把相关条 件的概 率 问题转化为几何概 型问题 ,从而利用定积分求面积 解决之 ,是一种重要的 解 题程序 . 1.(2010 年陕西高考试题 )从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y), 则点 M 取自阴影部分的概率为 . 2.(2012 年福建高考试题 )如图所示 ,在边长为 1 的正方形 任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) (A)41(B)51(C)61(D)713.(2014 年辽宁高考试题 )正方形的四个顶点 A(1),B(1,C(1,1),D() 分别在抛物线 y=y=如图所示 ,若将一个质点随机投入正方形 , 则质点落在阴影 区域的概率是 . 4.(2015 年 福 建 高考试题 )如图 ,点 A 的坐标为 (1,0),点 C 的坐标为 (2,4),函数 f(x) =在矩形 随机取一点 ,则此点取自阴影部分的概率等于 . 5.(2010 年课标高考试题 )设 y=f(x)为区间 0,1上的连续函数 ,且恒有 0 f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分10 )( 先产生两组 (每组 区间 0,1上的均匀随机数 x1, ,y1, ,此得到 x1,i=1,2, , N),再数出其中满足 f(i=1,2, ,N)的点数 么由随机模拟方法可得积分 10 )( . 6.(2010 年“华约”自主招生 试题 )在蒲丰投钟试验中 ,平行线间距为 a,针长为 b,试求针与线相交的概率与 a、 b 的关系 ,并求什么情况下概率是1. 由 长方形区域的面积为 3,阴影部分部分的面积 =10 23 0=1 点 M 取自阴影部分部分的概率 =31. 由 正方形 面积为 1,阴影部分的面积 = 10 )( 1 点 P 取自阴影部分的概率 =C). 由 正方形 面积为 4,阴影部分的面积 =4(1-10 238 质点落在阴影区域的概率 =32. 由矩形 面积 =4,阴影部分面积 =4-21 25 概率 P=125. 由题意可知)(10 10 )( 积分 10 )( 令 P 表示针的中点 ,则点 P 必在某相邻两平行线 m,n 的内部 (含平行线 m,n 上 ). 设针与 m,n 的夹角为 ( 0, ),点 P 到距离 m,n 的最小值为 y(y 0,2a), 则 针与线相交 y2 =( ,y)| 0, ,y 0,