2016年秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形解码专训 （新版）华东师大版

1 解直角三角形 解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值 名师点金： 对于 30 、 45 、 60 角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像 15 、 、 等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用 数形结合思想 进行巧算 巧构造 15 与 30 角的关系的图形计算 15 角的三角函数值 1求 5 ， 5 ， 5 的值 巧构造 与 45 角的关系的图形计算 角的三角函数值 2求 的值 巧用折叠法求 角的三角函数值 3小明在学习 “ 锐角三角函数 ” 中发现，将如图 所示的矩形纸片 过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 上的点 出 角的正切值 (第 3 题 ) 巧用含 36 角的等腰三角形中的相似关系求 18 、 72 角的三角函数值 2 4求 8 ， 2 的值 巧用 75 与 30 角的关系构图求 75 角的三角函数值 5求 5 ， 5 ， 5 的 值 3 解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题 名师点金： 锐角三角函数体现着一种新的数量关系 边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综 合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛 ) 利用三角函数解与函数的综合问题 1如图，直线 y 1 与 x 轴、 y 轴分别交于 B， C 两点， 12. (1)求点 B 的坐标和 k 的值； (2)若点 A(x， y)是第一象限内的直线 y 1 上的 一个动点，在点 A 的运动过程中，试写出 面积 S 与 x 的函数关系式 (第 1 题 ) 2 如图，反比例函数 y kx(x 0)的图象经过线段 端点 A， O 为原点，过点 A 作 AB，点 B 的坐标为 (2， 0)， 32. (1)求 k 的值； (2)将线段 x 轴正方向平移到线段 位置，反比例函数 y kx(x 0)的图象恰好经过中点 E，求直线 应的函数关系式； (3)若直线 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，请你探索线段 线段 数量关系，写出你的结论，并说明理由 (第 2 题 ) 4 利用三角函数解与方程的综合问题 3在 ， C 90 ， 斜边 c 5，两直角边的长 a， b 是关于 x 的一元二次方程 2m 2 0 的两个根，求 较小锐角的正弦值 利用三角函数解与相似的综合 4如图， 在矩形 ，点 E 是 中点，点 F 是边 一点，连接 延长交 ，连接 G. (1)求证： (2)若 3， S 6 3，求 长 (第 4 题 ) 解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题 名师点金： 在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元 素 (边、角 )之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形 进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解 其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 定位问题 1 (2014 贺州 )如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 42 方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯塔 C 在它的北偏西 55 方向上 (1)求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离； (结果精确到 里 ) 5 (2)求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离 (结果保留整数 ) (参考数据： 5 5 5 2 5 8 (第 1 题 ) 坡坝问题 2如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 坡角 45 ，坝高 20 米汛期来临，为加大水坝的 防洪强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处，使新的背水坡 坡角 F 30 ，求 长度 .(结果精确到 1 米，参考数据： 2 3 (第 2 题 ) 测距问题 3一条东西走向的高速公路上有两个加油站 A， B，在 A 的 北偏东 45 方向上还有一个加油站 C， C 到高速公路的最短距离是 30 千米， B， C 间的距离是 60 千米，想要经过 C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口 P 到 B， C 的距离相等，请求出交叉口 P 到加油站A 的距离 (结果保留根号 ) 6 测高问题 4 (2015 盐城 )如图所示， 一幢楼房 后有一台阶 阶每层高 ，且 太阳光线与水平地面的夹角为 ，当 60 时，测得楼房在地面上的影长 10米现有一只小猫睡在台阶的 层上晒太阳 ( 3取 (1)求楼房的高度约为多少米？ (2)过了一会儿，当 45 时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理 由 (第 4 题 ) 解码专训四：利用三角函数解判断说理问题 名师点金： 利用三角函数解答实际中的 “ 判断说理 ” 问 题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题 航行路线问题 1如图，某货船以 24 海里 /时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 在北偏东 60 的方向上该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时再测得该 岛在北偏东 30 的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由 (第 1 题 ) 7 工程规划问题 2 A， B 两市相距 150 千米，分别从 A， B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心、 45 千米为半径的圆， 关部门设计修建连接 A， B 两市的高速公路问连接 A， B 两市的高速公路会穿过风景 区吗？请说明理由 (第 2 题 ) 航行拦截问题 3 (2015 荆门 )如图，在一次军事演习中，蓝方 在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 B 处沿南偏西 60 方向前进实施拦截，红方行驶 1 000 米到达 前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45 方向前进了相同的距离，刚好在 D 处成功拦截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离 (结果不取近似值 ) (第 3 题 ) 台风影响问题 4如图所示，在某海滨城市 O 附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南 70 方向 200 海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向北偏西 65 的 向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为 60 且圆的半径以 10 km/h 的速度不断扩大 8 (1)当台风中心移动 4 h 时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 _台风中心移动 t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 _ (2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由 (参考数据： 2 3 (第 4 题 ) 解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点 名师点金： 本章 主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形 ，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容 直角三角形的性质 1 (2014 宁波 )如图，正方形 正方形 ，点 D 在 ， 1， 3，点 F 的中点，那么 长是 ( ) A B. 5 D 2 (第 1 题 ) (第 2 题 ) 2如图，在 ， C 90 ， B 60 ， D 是 一点， B 于点 E，且 2，1，则 长为 _ 锐角三角函数的定义 9 3如图， 放置在正方形网格中的一个 角，则 值是 _ (第 3 题 ) (第 4 题 ) 4如图，在矩形 ， E 为边 一点，沿 叠，点 D 恰好落在 上的 F 点处，若 3， 5，则 值为 _ 5如图，在 ， 90 ， 3， 15， 垂直平分线 延长线于 D 点，垂足为 E，求 值 (第 5 题 ) 特殊角的三角函数值及其计算 6在等腰直角三角形 ， C 90 ，那么 等于 ( ) B. 22 C. 32 D 1 7若等腰三角形底边与底边上 的高的比是 2 3，则顶角为 ( ) A 60 B 90 C 120 D 150 8计算： (0) 1( 1)2 016 |2 8| 22 1( 0 1)0. 解直角三角形 10 (第 9 题 ) 9如图是教学用的直角三角板，边 30 C 90 ， 33 ，则边 长为 ( ) A 30 3 B 20 3 10 3 D 5 3 第 10 题 ) 10 (2014 大庆 )如图，矩形 ， 2， F 是 长线上一点， G 是 一点 ，且 F 20 ，则 _ 11 (2014 临沂 )如图，在 ， 10， 910， 面积是 _ (第 11 题 ) 解直角三角形的实际应用 12 (2015 南京 )如图，轮船甲位于码头 O 的正西 方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向C 处，测得 45 ，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北 方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得 58 ，此时 B 处距离码头 O 多远？ (参考数据： 88 (第 12 题 ) 11 三角 函数与学科内的综合 13如图，在矩形 ， 4， 5， P 是射线 的一个动点，过点 P 作 P ，交射线 点 E，射线 射线 点 F，设 a. (1)当点 P 在线段 时 (点 P 与点 B， C 都不重合 )，试用含 a 的代 数式表示 长； (2)当 a 3 时，连接 判断四边形 形状，并说明理由； (3)当 12时，求 a 的值 (第 13 题 ) 解直角三角形中思想方法的应用 a转化思想 14如图所示，已知四边形 120 ， B ， C ， 30 3， 50 3，求四边形 面积 (要求：用分割法和补形法两种方法求解 ) (第 14 题 ) b方程思想 15如图，在 ， 90 ， 35，点 D 是 一点， B 于点 E， 9，求 长 (第 15 题 ) 12 16 (中考 泰州 )如图，为了测量山顶铁塔 高，小明在 27 m 高的楼 部 D 测得 塔顶 A 的仰角为 45 ，在楼顶 C 测得塔顶 A 的仰角为 3652. 已知山高 56 m，楼的底部 D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高 参考数据： 652 652 (第 16 题 ) 答案 解码专训一 1解：如图，在 ， 30 ， C 90 ，延长 D，使 D 15 ，设 a，则 2a， 3a， 2a， (2 3)a. 在 ， 7 4 3） ( 6 2)a. 5 a（ 6 2） a 6 24 ； 5 D （ 2 3） a（ 6 2） a 6 24 ； 5 a（ 2 3） a 2 3. (第 1 题 ) 13 (第 2 题 ) 2解：如图，在 ， C 90 ， 长 D，使 D ，设 a，则 2a， 2a， ( 2 1)a， D a（ 2 1） a 2 1. 3解： 将矩形纸片 过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 上的点 E 处， 45 ，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 上的点 F 处， 452 ， 设 x，则 2x， 2x 2 1. (第 4 题 ) 4解：如图，作 使 36 ， 平分线 D 点，过 E E 点，设 a，则 a，由 得 ： a， 即 a 0， 5 12 a(负根舍去 )， 8 14 . 2 14 . (第 5 题 ) 5解：方法 1：利用第 1 题的图形求解 方法 2：如图，作 使得 30 ，过点 A 作 C 于 D，过 E E，则 75 ，设 a，则 2a， 33 a， 2 33 a， 33 1 E 5 6 3 26 a， 3 2 66 a， 5 2 66 3 a 6 24 ， 5 6 24 ， 5 2 3. 14 解码专训二 1解： (1)把 x 0 代入 y 1，得 y 1， 点 C 的坐标是 (0， 1)， 1. 在 ， 12， 12. 点 B 的坐标是 12， 0 . 把 B 12， 0 的坐标代入 y 1，得 12k 1 k 2. (2)由 (1)知直线 应的函数关系式为 y 2x 1，所以 面积 S 与 x 的函数关系式是 S 12OBy 12 12(2x 1) 12x 14. 2解： (1) 点 B 的坐标为 (2， 0)， 32， A 点的坐标为 (2， 3)， k 6. (2)易知点 E 的纵坐标为 32，代入 y 6点 E 的横坐标为 4，即点 E 的坐标为 4， 32 ， 直线 点 A(2， 3)， E4， 32， 易得直线 应的函数关系式为 y 34x 92. (3)结论： y 34x 92中，令 y 0 可得 x 6，令 x 0 可得 y 92. 点 M(6， 0)， N 0， 92 . 方法一：延长 y 轴于点 F，则 N ，且 2， 3， N 52. 6 4 2， 32， 根据勾股定理可得 52， 方法二：连接 长 y 轴于点 F，则 N ，且 2， S 12C 126 32 92， S 12F 12 922 92， S S 上的高相等， 3解： a ， b 是方程 2m 2 0 的根， a b m， 2m 2. 在 ，由勾股定理，得 52. a 2 (a b)2 225，即 2(2m 2) 7， 3. a ， b 是 两条直角边的长， a b m 0.即 m 3 不合题意，舍去 m 7. 当 m 7 时，原方程为 7x 12 3， 4. 不妨设 a 3， b 4，则 A 是最小的锐角， 35. 15 即 较小锐角的正弦值为 35. 4 (1)证明： 四边形 矩形， D 90 ， 点 E 是 中点， 中垂线， (2)解： G ， G 3，设 x，则 3x，S 32 6 3，解得 x 2 3(负值舍去 )， 2 3， 6，又易得 G ， 6 3， 6 3. 解码专训三 1解： (1)过 C 作 垂线，垂足为 D， 根 据题意可得： 42 ， 55. 设 x 海里， 在 ， 2 x 2 海里， 在 ， 5 x 5 海里 80 海里， 80 海里， x 2 x 5 80， 解得 x 答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离约是 里； (2)在 ， 5 5 60( 海里 )， 答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离约是 60 海里 2 解：在 ， 90 ， 45 ， 20 米， 20 米 在 ， 90 ， F 30 ， 20 米， 0 2033 20 3(米 ) 20 3 2020 20 5( 米 ) 答： 长度约是 15 米 3解：分两种情况： (1)如图 (1)，在 ， 30 千米， 60 千米 12， B 30. 16 B 30. 在 ， B 60 ， 30 10 3(千米 ) 在 ， A 45 ， 30 千米 (30 10 3)千米 (第 3 题 ) (2)如图 (2)，同法可求得 10 3千米， 30 千米 (30 10 3)千米 故交叉口 P 到加油站 A 的距离为 (3010 3)千米 点拨：本题运用了 分类讨论思想 ，针对 P 点位置分 两种情况讨论，即 P 可能在线段 ，也可能在 延长线上 (第 4 题 ) 4解： (1)当 60 时，在 ， 0 10 0 10 310 ) 即楼房的高度约为 (2)当 45 时，小猫仍可以晒到太阳 理由如下：如图，假设没有台阶，当 45 时，从点 B 射下的光线与地面 交点为点F，与 交点为点 H. 45 ， 5 1. 此时的影长 ，所以 )， ， 楼房的影子落在台阶 个侧面上 小猫仍能晒到太阳 解码专训四 1解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险理由如下： 过点 C 作 B ，交 延长线于点 D. 17 依题意，知 24 3060 12(海里 )， 90 60 30 ， 90 30 60. 在 ， 0 33 在 ， 0 3又 312 33 6 3海里 6 3 9， 若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险 技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型该货船有无触礁危险取决于岛 C 到航线 最短距离与 9 海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛 C 到航线 距离 2解：不会穿过风景区理由如下：过 C 作 B 于点 D，根据题意得： ， ，则在 ， ，在 ， . 503 50(千米 ) 50 45， 连接 A， B 两市的高速公路不会穿过风景区 (第 3 题 ) 3解：如图，过 B 作 垂线，过 C 作 平行线，两线交于点 E；过 C 作 垂线，过 D 作 平行线，两线交于点 F，则 E F 90 ，拦截点 D 处到公路的距离 在 ， E 90 ， 60 ， 30 ， 12121 000 500(米 )； 在 ， F 90 ， 45 ， 1 000 米， 22 500 2(米 ) (500 500 2)米， 即拦截点 D 处到公路的距离是 (500 500 2)米 4解 ： (1)100； (60 10t) (2)过点 O 作 Q 于点 t， 90 ， 65 (90 70) 45 ， 200 18 200 5 100 2141( 设经过 t h 时，台风中心从 P 移动到 H，台风中心移动速度为 20 km/h， 则 20t 100 2， t 5 2. 此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为 60 105 2131( 台风中心在整个移动过程中与城市 O 的最近距离 41 台风中心从 P 移动到 H 时受侵袭的圆形区域半径约为 131 131 141 此，当台风中心移动到与城市 市 O 不会受到台风侵袭 解码专训五 1 B 点拨 ： 连接 据正方形性质分别求出 长，由 45 ，得 90 ，然后利用勾股定理求出 长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 3. 22 解：设 x，则 x， x 3， 在 ， (x 3)2 ( 15)2 得 x 4， 4 3 1 14. 6 B 解：原式 12 11 2 2 2 22 11 2 2 2 2 (2 2 2) 2. 9. C 10. 6 9 12解：设 B 处距离码头 Ox 在 ， 45 ， (45 x) (x) 在 ， 58 ， 36 x 8 (x)， x 36 8 1 36 1 因此， B 处距离码头 O 大约 13.5 13解：设 y， (1) 四边形 矩形， 4， 5， B D 90. a， y， 5 a， 4 y， E ， 90 ， 90 ， 90 ， y 5即 5 19 (2)四边形 菱形，理由如下：当 a 3 时， y 32 534 32，即 2， 四边形矩形， F ， 3， 5. 四边形 平行四边形，在 ， 4，