第一章函数、极限与连续学习指导

1第一章 函数、极限与连续重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质。难点：1计算极限技巧；2极限的“ ”， “ ”语言， X（一）函数概念是高等数学的基本概念，反应了同一过程中，几个变量的联1A系以及依赖关系。函数定义强调了自变量 在定义 上每取一值时，函数 都xDy有唯一确定的值与它对应，而对于对应关系的形式，定义中并无限制，因此一个函数可以用分析式子来表达，也可以用图象法和表格法来表达。在用分析式子来表达时，可用一个式子表达，也可用几个式子（即分段函数） ，参数式（实质是以参变量为中间变量的复合函数） ，隐式（即隐函数）表达。高等数学讨论的函数主要是初等函数。初等函数是由基本初等函数组2A成，因此对基本初等函数及其性质要非常熟悉，否则在研究初等函数的性质时会遇到困难。对基本初等函数以及性质的深入了解应结合函数图形进行，将函数的性质与图形的特点逐一对照，在此基础上利用图形来记忆函数的性质。由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此必须从变化的、3A运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确 “无限接近于 ”xfA的含义。 “ 无限接近于 ”是指 在某一过程中， 与 要有多接近就xfAx有多接近，或者说 与 的误差可达到任意小。f“ 无限接近于 ”， “ 无限接近于 ”均刻划了变量无限接近于某个xaxfA常数。这里有两点值得注意：无限接近是指在变化过程中，变量与某个常量要有多接近就有多接近，或者说 与 的误差可以达到任意小，因此“无限接近”与“越来越接近”xfA的含义是不同的。变量无限接近于某个常量并没有要求达到这个常量，如“ 无限接近于x2时， 无限接近于 ”，这个描述并不要求 最终达到 ，也不要求 达axfAxaxf到 。这一点不可忽视。A闭区间上连续函数具有：有界性、最值性、介值性、零值性。在这里，4闭区间与函数连续这两个前提应引起充分的注意，当前提不满足时结论就不能成立。数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列 是有界的，这里就有一个局部和nx整体的差别，其它性质也可进行对照比较。闭区间上连续函数的性质在实际中应用较广泛，在科学技术中常需知5A某个方程的根的近似值。对于较复杂的方程，若知 便可由零值定理0bfa知所求的根落在 内，而求出满足 的 ， 一般比求出方程ba, 0bfa的根要容易得多。0xf（二）“连续”是个局部的概念，是在 这一点定义的，因此区间上的1B0x连续函数是指对区间上的任一点处，函数都连续。函数 在 连续的定义常用以下两种：2xf0定义 1：若 在点 的某个邻域内有定义，且 ，则称函afx0lim数 在 处连续。xf0定义 2：若 在点 的某个邻域内有定义，且 在 处有 ，xf0 xf00liyx则称函数 在 处连续。0从以上定义中看出， 在 处连续的充要条件为同时满足以下三条：xf0 存在； 在 处有定义；极限值 与函数值xf0limxf0lim相等。f3无穷小量就是极限为 0 的变量，因此，极限为 的变量显然不是无3B 穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。常用的等价无穷小量：当 时， ；x1lnsixetgxx； 。0ln1axax 014B计算极限的基本方法小结：1利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限；2约简分式、分子（分母）有理化法；3变量替换法；4等价无穷小的替换法；5利用连续函数求极限法6利用对数求极限法；7利用洛必塔法则求极限（第二章后） 。（三）用“ ”， “ ”语言定义函数极限具有简练、精确、使用方便1CX的特点。但由于这种语言要通过一些符号、式子来表达，从而比较抽象。因此应将极限的描述性定义与用“ ”， “ ”语言给出的定义加以对照，深入理解。下面以 为例，将极限的描述性定义转化为用“ ”语言给Axf0lim出的定义，从而加深对用“ ”语言的理解。表示了：fx0li当 无限接近于 时，因变量 无限地接近于常数 ，0xxf A即： 可以任意小，只要 充分小（不用考虑 的情况）Axf00x即： ，只要 充分小， （不用考虑 的情况） ，就有 ，0x0xAf4即： ， ，当 时，就有 。00xAxf这时应注意到 ，且 不唯一。而定义中对 ，只要求了它的存在性，加外并无要求。由 的任意给定和 的呼应，用运动变化的观点来刻xf划 与 的无限接近。xfA“ ”， “ ”语言中， 、 均用于刻划自变量 的变化过2CXXx程，而 是用于刻划因变量 的变化趋势的。自变量 的变化过程有： 、yx、 、 、 、 。而对自变量每个变化过程，因xx00x变量 可有不同的变化趋势： 、 、 、fyAfxfxf。因此搭配起来就有 24 个不同的极限定义。 （当然也可以考虑分得xf更细些）只要真正掌握了极限的基本思想，理解了以上 ，这 24 个不同的极限定1C义，是可以理解和掌握的。可利用图象理解“ ”， “ ”语言给出的极限定义。3CX从图中易看出无论 取多么小，作二条平行线 ，一定存在邻域Ay，当 在这个邻域内变化的时候，对应函数图象落入这二条平行线之间。,0xN请将图中看到的这个结果与极限的“ ”的叙述语言联系起来考虑，并可考虑相应的图象来理解“ ”语言给出的极限定义。5使用“ ”， “ ”语言来证明函数的极限为某值时，语言一定4CX要规范，初学者应按教材上的例题为范例，进行证明，否则易走弯路。例 证明：当 时， 。0x00limxx证： ，因为 0001xxxAxf 要使 ，只要 ，且 ，f 而 ，可用 保证，因此取0x0x0,minx则当 满足 时，对应的函数值 满足不等式0x即 。00limx特别注意：证明中的划直线部分，实际上正是 的“ ”语言定义；00limxx划曲线部分是用“ ”， “ ”语言来证明 时，函数极限为X0这类问题的主要叙述语言，要尽快地熟悉和掌握； A式子 ，该式应引起充分注意，通过放大的手01xAxf段，将 与 联系起来了。f0从以上证明中不难看出 的取法不唯一，对小于 的数均可0,minx作为 。一致连续是个整体性的概念，它与 在区间上连续的差别在于5Cxf在区间 上连续，即 ，对 上的不同的 ，分别存在 ，当xfI0I00x6时， ，这里的 一般因 的不同而不同。但若0x0xf0x0在区间 上一致连续，则对于给定的 ，存在公共的 ，对于 上fI I的任一 ，当 时，恒有 成立。由于 与 地位是相0x0x0xfx0当的，因此 在 上一致连续用“ ”语言来定义时通常表达为： ，fI ， ， ，当 时恒有 。x1Ix221x21xff柯西准则6C我