高中数学案例：“数列求和”教学案例

1让学生尝试“数学的发现”“数列求和”教学案例教学背景新课程提出课程功能的“三维目标”理念，强调在数学学习活动中要充分发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的知识的再创造过程。因此，我们在数学教学中要关注学生的主动性。知识的学习并非是一个被动的过程，而是一个主动建构的过程。知识的传授不能简单的从一个人迁移到另一个人，它必须基于个人对具体问题的兴趣、探究、交流、反思、消化、改造，使之适合学生自己的知识结构。本节课由一个很普通的问题：“等差数列、等比数列求和”引出了一系列问题，经历探索、实践、失败、再探索、再实践，逐步深化理解，体现螺旋上升的认知规律，让学生在亲历知识的形成和发展的过程中体验学习的快乐。教学过程、提出问题，回顾旧知教师 在数列这一章的学习中，我们经常遇到有关数列求和问题，知道数列有哪些常见的求和方法？（学生思考）教师 那么，让我们通过具体问题总结吧！问题 （） 135(21)_n（） 学生 这两个数列分别是等差和等比数列，可直接利用求和公式求和，答案为 ，(1)n。21n学生 所用方法一样，但结果不同，因为都是 项，用公式求和为 ，1n2()。1n教师 很好！对于等差和等比数列，可直接利用公式求和，我们不妨称之为公式法，但要注意，利用公式求和时，要清楚数列的首项，公差（比） ，项数等。问题 23(1)()()_ (0,1)naaa学生 把括号拆开重新分组，就得到一个等差数列和一个等比数列，即原式 23(+)(123)nn 1)(na教师 我们把这种方法叫做分组求和法。 （学生都点头接受）问题 （） 1_1234()n2（） 11_3245(2)n学生 （观察思考后）因为 ，所以可用裂项相消法求和。 1()（请该同学板演，教师巡视）在学生解题过程中，教师通过巡视了解到，一小部分同学认为第（）小题和第（）小题一样，在消去后只剩首末两项，即原式= 111( )()23422nn教师 这样对吗？为什么？要注意什么？学生 错。原式 1( )35462n1122n学生 在拆项的过程中，开始和末尾可以多拆几项，并且，开始剩几个“正项” ，末尾相对应就剩几个“负项” ，是两端对称的。问题 2113_nxx教师 仔细观察数列各项特点，想到了什么方法？学生 是一个等比和等差数列对应项相乘得到的新数列，可用错位相减法求和设 21nnSxx则 ()n两式上下对应相减，得211nnxSxx所以 2nn教师 好的！这位同学用错位相减法熟练的解决了这个问题，在解题过程中体现了转化的思想，即通过错位相减将问题转化为等比数列求和，另外要注意乘以公比得到第二个式子时要错开一位，以便对应项相减，最后注意符号变化，运算正确。、对比归纳，探究规律教师 现在请大家仔细回味，结合自己体会，总结一下你是如何掌握数列求和的各种方法的？（同学们兴奋起来，有的紧张思考，有的热烈讨论）学生 看到题目好像就知道求和方法了。 （大家笑了）学生 记住常见题型和相应的方法。 （大家深有感触）学生 应该针对数列的特点选择不同的求和方法。如前面的四种类型问题。教师 很好！针对数列的特点灵活选择不同的求和方法确实是很重要的一个环节，让我3们再看一个具体例子。问题 5 111_232423n 学生 先要研究数列特点（思考） （有同学笑了，但老师鼓励他继续说）先求数列的通项， ，再用裂项相消法求和，同问题。 （同学们也活跃起来）(1)na学生 对，数列的通项反映了数列的特点，刚才的这些数列都可借助通项研究其规律，再选择简便的求和方法，不妨称之为“通项法” 。同学们通过分析、比较，似乎发现了“新大陆” ，情绪高昂。、积极实践，深化认识教师 较复杂的数列求和，我们可以研究通项公式入手，发现通项的规律，就能转化为常见的数列求和，这就体现了一个很重要的数学思想方法转化。我们也可称之为通项化归法， （同学们都很兴奋，因为是自己探究的结果）下面，让我们在实践中检验我们的结论吧！问题 （） 33_ （）已知数阵（如图）1,4567,89,012,13 求前 行中所有数的和。n学生练习，老师巡视，了解到大家都已掌握通项化归法。虽然中间计算过程有点困难，但解题目标明确了，方向是正确的，强化了对方法的认识，也增强了信心。、总结思考，拓展思维教师 数列求和是一项重要内容，重在研究数列的通项。我们通过自己的努力，进行分析、比较、总结、归纳，得出了一般规律，这是我们最大的收获。但任何方法都不是万能的，如：问题 已知 ，求 的和42xf2207()()088fff1（ ）大家动手尝试，失败。教师 这并不是说我们方法不行，而是我们还没找到其中的规律，只要大家大胆猜想，敢于探索，不断的尝试、总结、再尝试，就会成功。教学反思、新课程倡导新的学习方式，以自主合作，探究为主，教师应遵循学生发展的需要和状况设计、组织教学活动，而不是请学生按照先设计好的过程参加学习。教师应该放下架子，做一个配角，与学生一起发现问题，解决问题，同步思维，更要注重分享学生的每一次成功的喜悦。教师的“教”是为了更好的促进学生的“学” ，以激励学生的探究为目标，服务于每位学生的发展。2、教学强调体验过程，强调自主探究的能力的发展。其教学的关键是让学生在学习过程中4参与更多，想更多，因而也获得更多。数学教学不仅要关注他们的数学学习的结果，更要关注他们在数学活动中的变化和发展，要让学生张开数学思想的翅膀，变被动学习为主动学习。在这个过程教师要循循善诱，不断发现学生在探究过程中出现的新亮点，并及时给予鼓励，表扬一个，带动一批，为学生的学习热情加油打气。同时，还要不断的修正学生探究过程中出现的偏差，真正起到组织者、引导者、合作者的作用。、本课的整个探究过