高考数学第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用更多资料关注微博高中学习资料库

1第九章 平面解析几何第 10课时 直线与圆锥曲线的综合应用1. 直线 ykxk1 与椭圆 1 的位置关系是_x29 y24答案：相交解析：由于直线 ykxk1k(x1)1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交2. 椭圆 1 的两焦点为 F1、F 2，一直线过 F1交椭圆于 P、Q，则PQF 2的周长x225 y29为_答案：20解析：PQF 2的周长4a20.3. 已知双曲线方程是 x2 1，过定点 P(2，1)作直线交双曲线于 P1、P 2两点，并y22使 P(2，1)为 P1P2的中点，则此直线方程是_答案：4xy70解析：设点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则由 x 1，x 1，得21 2k 4，从而所求方程为 4xy70.将此直线方程与双y2 y1x2 x1 2（ x2 x1）y2 y1 242曲线方程联立得 14x256x510，0，故此直线满足条件4. 若斜率为 的直线 l与椭圆 1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在22 x2a2 y2b2x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案：22解析：由题意易知两交点的横坐标为c、c，纵坐标分别为 、 ，所以由b2ab2a 得 2b2 ac2(a 2b2a ( b2a)c （ c） 22 2c2)，即 2e2 e20，解得 e 或 e (负根舍去)222 25. 已知双曲线 E的中心为原点，F(3，0)是 E的焦点，过 F的直线 l与 E相交于 A、B两点，且 AB的中点为 N(12，15)，则 E的方程为_答案： 1x24 y25解析：设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，由题意知 c3，a 2b 29.x2a2 y2b2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 两式作差得 ，又y1 y2x1 x2 b2（ x1 x2）a2（ y1 y2） 12b2 15a2 4b25a2AB的斜率是 1，所以将 4b25a 2代入 a2b 29 得 a24，b 25，所以双曲线的 15 0 12 3标准方程是 1.x24 y251. 直线与圆锥曲线的位置关系2判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或 x)得关于变量 x(或 y)的方程：ax 2bxc0(或 ay2byc0)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有：0 直线与圆锥曲线相交；0 直线与圆锥曲线相切；0，b0)，经过点 M 的直线 l与曲线 E交于(33， 0)点 A、B，且 2 .MB MA (1) 若点 B的坐标为(0，2)，求曲线 E的方程；(2) 若 ab1，求直线 AB的方程解：(1) 设 A(x0，y 0)，由已知 B(0，2)，M( ，0)，所以 ， (x 033 MB ( 33， 2) MA ， y0)33由于 2 ，所以( ，2)2(x 0 ，y 0)，所以 即 A( ，1)，MB MA 33 33 x0 32，y0 1， ) 32将 A、B 点的坐标代入曲线 E的方程，得 解得a(32)2 b（ 1） 2 1，a02 b22 1， ) a 1，b 14， )所以曲线 E的方程为 x2 1.y24(2) 当 ab1 时，曲线 E为圆 x2y 21，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)又 2 ，MB MA 所以 2(x 1 ，y 1)，(x233， y2) 33即有 x y 1 ，x y 1 ，由4，得(2x 1x 2)2x1 x2 3，2y1 y2 0， )21 21 2 2(2x1x 2)3，所以 2x1x 2 ，解得 x1 ，x 20.由 x1 ，得 y1 .当 A332 32 12时， B(0，1)，此时 kAB ，直线 AB的方程为 y x1；(32， 12) 3 33当 A 时， B(0，1)，此时 kAB ，直线 AB的方程为 y x1.(32， 12) 3 3备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，与过右焦点 F且斜率为 k(k0)的直线x2a2 y2b2 32相交于 A、B 两点若 3 ，则 k_AF FB 答案： 2解析：定点 F分线段 AB成比例，从而分别可以得出 A、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把 A、B 点的坐标代入椭圆方程 1，四个方程联立方程组，解x2a2 y2b2出根，得出 A、B 两点的坐标，进而求出直线 AB的方程由已知 e ，所以 a2b，ca 1 b2a2 32所以 a c，b .23 c3椭圆方程 1 变为 x23y 2c 2.x2a2 y2b2 34设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，又 3 ，AF FB 所以(cx 1，y 1)3(x 2c，y 2)，所以 所以c x1 3（ x2 c） ， y1 3y2， ) x1 3x2 4c，y1 3y2 0， )x 3y c 2，3421 21x 3y c 2，342 29，得 (x13x 2)(x13x 2)3(y 13y 2)(y13y 2)8c 2，所以344c(x13x 2)8c 2，34所以 x 13x 2 c，所以 x1 c，x 2 c.83 23 109从而 y1 c，y 2 c，23 29所以 A ，B ，故 k .(23c， 23c) (109c， 29c) 2题型 2 有关垂直的问题4例 2 如图，在平面直角坐标系 xOy中，M、N 分别是椭圆 1 的顶点，过坐标x24 y22原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P在第一象限，过 P作 x轴的垂线，垂足为 C，连结AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA的斜率为 k.(1) 若直线 PA平分线段 MN，求 k的值；(2) 当 k2 时，求点 P到直线 AB的距离 d；(3) 对任意 k0，求证：PAPB.(1) 解：由题设知，a2，b ，故 M(2，0)，N(0， )，所以线段 MN中点的2 2坐标为 .由于直线 PA平分线段 MN，故直线 PA过线段 MN的中点又直线 PA过( 1， 22)坐标原点，所以 k . 22 1 22(2) 解：将直线 PA的方程 y2x 代入椭圆方程 1，解得 x ，因此 Px24 y22 23，A .于是 C ，直线 AC的斜率为 1，故直线 AB的方程为 xy(23， 43) ( 23， 43) (23， 0)0 4323 230.因此，d .23 |23 43 23|12 12 223(3) 证明：设 P(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x10，x 20，x 1x 2，A(x 1，y 1)，C(x1，0)，设直线 PA、PB、AB 的斜率分别为 k、k 1、k 2.因为 C在直线 AB上，所以 k2 .从而0 （ y1）x1 （ x1） y12x1 k2k1k12k 1k212 1 1 0.y2 y1x2 x1 y2 （ y1）x2 （ x1）因此 k1k1，所以 PAPB.备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）如图，F 是中心在原点、焦点在 x轴上的椭圆 C的右焦点，直线 l：x4 是椭圆 C的右准线，F 到直线 l的距离等于 3.(1) 求椭圆 C的方程；(2) 点 P是椭圆 C上动点，PMl，垂足为 M.是否存在点 P，使得FPM 为等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由解：(1) 设椭圆 C的方程为 1(ab0)，由已知，得x2a2 y2b2 b .a2c 4，a2c c 3， ) a 2，c 1.) 3所以椭圆 C的方程为 1.x24 y235(2) 由 e ，得 PF PM.PFPM.PFPM 12 12若 PFFM，则 PFFMPM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，PF 不可能与 PM相等若 FMPM，设 P(x，y)(x2)，则M(4，y) 4x， 9y 2168xx 2.又由 1，得32 y2x24 y23y23 x2.93 x2168xx 2，34 34 x28x40.7x 232x160.x 或 x4.74 47x(2，2)，x .P .综上，存在点 P ，使得47 (47， 3157 ) (47， 3157 )PFM为等腰三角形题型 3 直线与圆锥曲线例 3 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 1 的左、右顶点为 A、B，x29 y25右焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m0，y 10，y 20，y 20，得 m2 ，此时直线 MN的方程240 3m280 m2 3m2 6020 m2 10为 x1，过点 D(1，0)若 x1x 2，则 m2 .10直线 MD的斜率 kMD ，40m80 m2240 3m280 m2 1 10m40 m2直线 ND的斜率 kND ， 20m20 m23m2 6020 m2 1 10m40 m2得 kMDk ND，所以直线 MN过 D点因此，直线 MN必过 x轴上的点 D(1，0)变 式 训 练已知椭圆 C： 1(ab0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 .直线 yk(x1)x2a2 y2b2 22与椭圆 C交于不同的两点 M，N.(1) 求椭圆 C的方程；(2) 当AMN 的面积为 时，求 k的值103解：(1) 由题意得 解得 b ，所以椭圆 C的方程为 1.a 2，ca 22，a2 b2 c2， ) 2 x24 y22(2) 由 得(12k 2)x24k 2x2k 240.设点 M，N 的坐标分别为y k（ x 1） ，x24 y22 1， )(x1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y1k(x 11)，y 2k(x 21)，x1x 2 ，x 1x2 ，4k21 2k2 2k2 41 2k2所以 MN （ x2 x1） 2 （ y2 y1） 2 （ 1 k2） （ x1 x2） 2 4x1x2 .2（ 1 k2） （ 4 6k2）1 2k2又因为点 A(2，0)到直线 yk(x1)的距离 d ，所以AMN 的面积为|k|1 k2S MNd .由 ，解得 k1.12 |k|4 6k21 2k2 |k|4 6k21 2k2 103【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 16分)7已知双曲线 1 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 ，过右焦点 F2的直x2a2 y2b2 3线 l交双曲线于 A、B 两点，F 1为左焦点(1) 求双曲线的方程；(2) 若F 1AB的面积等于 6 ，求直线 l的方程2学生错解：解：(2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，F(2，0)，直线 l：yk(x2)，由 消元得(k 23)x 24k 2x4k 230，x 1x 2 ，x 1x2y k（ x 2） ，x2 y23 1， ) 4k2k2 3，y 1y 2k(x 1x 2)，4k2 3k2 3F 1AB的面积 Sc|y 1y 2|2|k|x 1x 2|2|k|2|k| 6 k 48k 290k 21k （ 4k2） 2 4（ k2 3） （ 4k2 3）|k2 3| 6k2 1|k2 3| 31，所以直线 l的方程为 y(x2)审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2) F 1AB面积的表示规范解答： 解：(1) 依题意，b ， 2a 1，c2，(4 分)3ca 双曲线的方程为 x2 1.(6 分)y23(2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 2(2，0)，直线 l：yk(x2)，由 消元得(k 23)x 24k 2x4k 230，(8 分)y k（ x 2） ，x2 y23 1， )k 时，x 1x 2 ，x 1x2 ，y 1y 2k(x 1x 2)，(10 分)34k2k2 3 4k2 3k2 3F 1AB的面积 Sc|y 1y 2|2|k|x 1x 2|2|k|2|k| 6 k 48k 290k 21k （ 4k2） 2 4（ k2 3） （ 4k2 3）|k2 3| k2 1|k2 3| 31，(14 分)所以直线 l的方程为 y(x2)(16 分)错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即 k 这一条件31. 设抛物线 y28x 的准线与 x轴交于点 Q，若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是_答案：1，1解析：易知抛物线 y28x 的准线 x2 与 x轴的交点为 Q(2，0)，于是，可设过点 Q(2，0)的直线 l的方程为 yk(x2)(由题可知 k是存在的)，联立k 2x2(4k 28)x4k 20.其判别式为 (4k 28)y2 8x，y k（ x 2） )216k 464k 2640，可解得1k1.82. 如图，过抛物线 C：y 24x 上一点 P(1，2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点 A(x， y1)，B(x 2，y 2)(1) 求 y1y 2的值；(2) 若 y10，y 20，求PAB 面积的最大值解：(1) 因为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线 C：y 24x 上，所以A ，B ，k PA ，同理 kPB ，依题意有 kPAk PB，因为4y1 2 4y2 2 ，所以 y1y 24.4y1 2 4y2 2(2) 由(1)知 kAB 1，设 AB的方程为 yy 1x ，即xyy 1 0，P 到 AB的距离为d ，AB |y1y 2|2 |2y 1|，所以 S2 2 2PAB 2 |2y 1| |y 4y 112|y 12| |(y12) 216|y 12|，令12 2 14 21 14y12t，由 y1y 24，y 10，y 20，可知2t2.S PAB |t316t|，因为 SPAB 14|t316t|为偶函数，只考虑 0t2 的情况，记 f(t)|t 316t|16tt 3，f(t)14163t 20，故 f(t)在0，2是单调增函数，故 f(t)的最大值为 f(2)24，故 SPAB 的最大值为 6.3. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，圆 C：(x1) 2y 216，点 F(1，0)，E 是圆 C上的一个动点，EF 的垂直平分线 PQ与 CE交于点 B，与 EF交于点 D.(1) 求点 B的轨迹方程；(2) 当点 D位于 y轴的正半轴上时，求直线 PQ的方程；(3) 若 G是圆 C上的另一个动点，且满足 FGFE，记线段 EG的中点为 M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解：(1) 连结 BF，由已知 BFBE，所以 BCBFBCBECE4，所以点 B的轨迹是以 C、F 为焦点，长轴为 4的椭圆，所以 B点的轨迹方程为 1.x24 y23(2) 当点 D位于 y轴的正半轴上时，因为 D是线段 EF的中点，O 为线段 CF的中点，所以 CEOD，且 CE2OD，所以 E、D 的坐标分别为(1，4)和(0，2)因为 PQ是线段 EF的垂直平分线，所以直线 PQ的方程为 y x2，即直线 PQ的方程12为 x2y40.(3) 设点 E、G 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则点 M的坐标为 ，(x1 x22 ， y1 y22 )因为点 E、G 均在圆 C上，且 FGFE，所以(x 11) 2y 16， (x 21) 2y 16，21 2(x11)(x 21)y 1y20，所以 x y 152x 1，x y 152x 2，x 1x2y 1y2x 1x 21.所以21 21 2 2MO2 (x1x 2)2(y 1y 2)2 (x y )(x y )2(x 1x2y 1y2)14 14 21 21 2 29 152x 1152x 22(x 1x 21)7，即 M点到坐标原点 O的距离为定值，且定值为14.74. 给定椭圆 C： 1(ab0)，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆 C的x2a2 y2b2 a2 b2“准圆” 已知椭圆 C的一个焦点为 F( ，0)，其短轴的一个端点到点 F的距离为 .2 3(1) 求椭圆 C和其“准圆”的方程；(2) 若点 A是椭圆 C的“准圆”与 x轴正半轴的交点，B、D 是椭圆 C上的两相异点，且 BDx 轴，求 的取值范围；AB AD (3) 在椭圆 C的“准圆”上任取一点 P，过点 P作直线 l1，l 2，使得 l1，l 2与椭圆 C都只有一个交点，试判断 l1，l 2是否垂直？并说明理由解：(1) 由题意知 c ，且 a ，可得 b1，故椭圆 C的方程为2 b2 c2 3y 21，其“准圆”方程为 x2y 24.x23(2) 由题意，可设 B(m，n)，D(m，n)( 0)，则 ON的方程为 y x(k0)联立方程组14k解得y kx，x2 4y2 4， )M .同理可得 N .(21 4k2， 2k1 4k2) ( 4k1 4k2， 11 4k2)因为点 N到直线 OM的距离为d ，OM 2 ，所以OMN 的面积1 4k21 k2 ( 21 4k2)2 ( 2k1 4k2)2 1 k21 4k2S dOM 2 1，故OMN 的面积为定值12 12 1 4k21 k2 1 k21 4k21. 若双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，线段 F1F2被抛物线x2a2 y2b2y22bx 的焦点分成 73 的两段，则此双曲线的离心率为_答案：53解析：依题意得，c 2c，即 b c(其中 c是双曲线的半焦距)，ab2 77 3 45 c，则 ，因此该双曲线的离心率等于 .c2 b235 ca 53 532. 如图，设 E： 1(ab0)的焦点为 F1与 F2，且 PE，F 1PF22.求证：x2a2 y2b2PF 1F2的面积 Sb 2tan.证明：设|PF 1|r 1，|PF 2|r 2，则 S r1r2sin2.12又|F 1F2|2c，由余弦定理有(2c) 2r r 2r 1r2cos2(r 1r 2)22r 1r22r 1r2cos2(2a)21 222r 1r2(1cos2)，于是 2r1r2(1cos2)4a 24c 24b 2.所以 r1r2 .2b21 cos2这样即有 S sin2b 2 b 2tan.12 2b21 cos2 2sin cos2cos2113. 已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，短轴的一个端点为 M(0，1)，直线x2a2 y2b2 22l：ykx 与椭圆相交于不同的两点 A、B.13(1) 若 AB ，求 k的值；4269(2) 求证：不论 k取何值，以 AB为直径的圆恒过点 M.(1) 解：由题意知 ，b1.ca 22由 a2b 2c 2可得 cb1，a ，2 椭圆的方程为 y 21.x22由 得(2k 21)x 2 kx 0.y kx 13，x22 y2 1) 43 169 k24(2k 21) 16k 2 0 恒成立，169 ( 169) 649设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .4k3（ 2k2 1） 169（ 2k2 1） AB |x1x 2| 1 k2 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x24（ 1 k2） （ 9k2 4）3（ 2k2 1） 4269，化简得 23k413k 2100，即(k 21)(23k 210)0，解得 k1.(2) 证明： (x 1，y 11)， (x 2，y 21)，MA MB x 1x2(y 11)(y 21)(1k 2)x1x2 k(x1x 2)MA MB 43 0.169 16（ 1 k2）9（ 2k2 1） 16k29（ 2k2 1） 169 不论 k取何值，以 AB为直径的圆恒过点 M.4. 已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，且过点 P ，A 为上顶点，F 为右焦x2a2 y2b2 35 (4， 125)点点 Q(0，t)是线段 OA(除端点外)上的一个动点，过 Q作平行于 x轴的直线交直线 AP于点 M，以 QM为直径的圆的圆心为 N.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆 N与 x轴相切，求圆 N