秩转换的非参数检验医学统计

秩转换的非参数检验 第二军医大学卫生统计学教研室 孟 虹 第八章内容 从数据的设计分类： *第一节、配对样本资料的 Wilcoxon符号秩检验 *第二节、两个独立样本比较的 Wilcoxon秩和检 验 *为重点 第三节、完全随机设计多个样本比较的 Kruskal- Wallis H检验 第四节、随机区组设计多个样本的 Friedman M 检验 非参数检验的概念 n 参数检验 : 假定比较数据服从 某分布 ,通过 参数的估计量 ( )对比较总体的参数 () 作 检验 ，统计上称为参数法检验 (parametric test)。如 t、 u检验、方差分析。 n 非参数检验 :是指在统计检验中不需要假定总 体分布形式和用参数估计量 ,直接对比较数据的 分布进行统计检验的方法。称为非参数检验 (nonparametric test). 非参数统计检验 秩和检验 适用范围广，特别适用于 组间 比较： 1.数据分布为偏态分布或不满足参数检验方 法 (组间方差不齐 )的 计量资料 . 2.有的数据为无确切值 ,只是某值或值的 计量资料 。 3.当比较的数据只能用严重程度、优劣等级 的 半定量 （等级）资料组间的比较。 秩和检验用于定量资料 n 计量资料中 ,变量值 (x)： 极度偏态资料，或个别数值偏离过 大 各组离散度相差悬殊 资料中含有不确定值 , 大于 5年 、 0.1 兼有等级和定量性质的资料 例 :两种食物对大鼠心肌坏死面积 (格子数 ) 甲 组 (n1=29) 乙 组 (n2=28) 0 1 0 0 0 1.6 0 0.2 0 2.2 0 0.2 0 2.6 0 0.2 0 3.3 0 0.3 0 4.3 0 0.4 0 5.1 0 0.4 0 5.4 0 0.9 0 5.5 0 0.9 0 6.1 0 1.3 0 6.2 0 1.7 0.3 9.7 0 2.8 0.4 13.8 0 7.4 0.4 36.0 0 13.0 0.6 0 M1=0.6 M2=0 医学研究中的等级资料 疗 效 (x)：痊愈、显效、有效、无效、恶化 化验结果 (x)： + + 体格发育 (x) ：下等、中下、中等、中上、上等 心功能分级 (x)： I、 II、 III 营养水平 (x) ：差、一般、好 例 1两组独立计量数据小样本的比较 观察值（ x） A组 7, 14, 22, 36, 40, 63, 98 ， 108 ， n=8 B组 5, 6, 10, 17, 18, 23， 29, 49， n=8 A组 48.5037.88 B组 19.6514.46 问两组均数差 别有无统计意 义 ?常用 t检验 用 t检验 ,要求数据满足正态和方差齐性条件 ( 计量资料 ). 两组数据箱式图的比较 组别 方差齐性检验： =0.10 F=37.882/14.462=6.86, P=0.015,两组 方差不齐 . 在不满足 t检验前提 ,如两均数比较用 t检验， =0.05, 结果： t=2.014 t0.05,14=2.1 ， P=0.065, p 0.05 容易增大 误差概率 !(取伪 ) 秩和检验的方法 -秩转换 秩和检验的基本计算步骤： 1.将数据（ x）按大小转化为秩次（ i） ,用秩 次的大小反映变量值的大小。 2.对各组 ”秩次 ”求和，称为秩和 (T =i)。 3.对各组秩和 (T)做检验的方法称为秩和检 验。 例 : 秩转换的基本方法 将两组比较原始数据（ X） 混合 按大小编秩 ,如 x 相同取平均秩 , 分别对各组的秩求和（ T） . 甲组（ x） 3 5 10 20 22 秩和 秩号 （ i） 1 3 5 7 8 T1=24 乙组（ x） 4 9 15 25 35 秩号（ i） 2 4 6 9 10 T2=31 总秩和 T=10(10+1)/2=55 例 : 两组比较的等级数据编秩 A组 ： 、 、 +、 +、 +、 + 秩 (i) ： 1 2 4.5 4.5 4.5 8.5 秩和 : TA 25 (组间相同 ,求平均秩 ) B组 ： +、 +、 +、 +、 +、 + 秩 (i) ： 4.5 8.5 8.5 8.5 11 12 秩和 : TB 53 (组内相同 ,不影响求秩和 ) 总秩和 : TA+TB=12(12+1)/2=78 秩次：在一定程度上反映了原始数据大小 (等级 )的 信息。 秩和：反映了一组数据在分布上的范围位置。 平均秩次：反映一组数据平均水平 A组平均秩次 =23.5/6=3.92 B组平均秩次 =54.5/6=9.08 A组 (x) 3, 5, 7, 9 11 14 (i) 1 2 3 4 5 8.5 T=23.5 B组 (x) 12 13 14 16 20 22 (i) 6 7 8.5 10 11 12 T=54.5 第一节、配对样本比较的符号秩检验 （ Wilcoxon signed rank test） 何时选用配对资料的秩和检验 1.配对设计 等级资料 的比较 2.两组配对 计量数据 , 变量差值 (d) 不为正态分布 ,秩和检验效率 高 于参数 的配对 t检验。 讲义例 8-1配对设计计量数据 表 8-1 12份血清用两法测转氨酶结果比较 编 号 原法 新法 差 值 （ d） 1 60 80 20 2 142 152 10 3 195 243 48 4 80 82 2 5 242 240 -2 6 220 220 0 7 190 205 15 8 25 38 13 9 212 243 31 10 38 44 6 11 236 200 -36 12 95 100 5 用配对 t检验的条件 : 差值 (d)为计量数据 , 并且服从正态 . 对表 8-1数据进行正态性检验 : 概率图 (probality-probality plot,P-P plot) SPSS统计软件 数据点不为直线 ,并未分布在线 上 ,提示本资料 不为正态 . 配对设计资料的秩和检验步骤 （ Wilcoxcon signed-rank test） 方法： 1.将配对数据的 差值（ d） 按绝对值大小转换 为秩 ，如差值为 0舍去。 2.求差值的正、负秩和 ,记为 (T+) 、 (T-) 。 3.用 任意 一个正或负秩和（ T）做检验。 4.检验方法有 : 1）查表法 : (对子数 n50)* 2）正态近似法， n 50时用公式 (8-1) 例 :表 8-1 12份血清用两法测转氨酶结果比较 编 号 原法 新法 差 值 （ d） 正秩 负 秩 1 60 80 20 8 2 142 152 10 5 3 195 243 48 11 4 80 82 2 1.5 5 242 240 -2 1.5 6 220 220 0 7 190 205 15 7 8 25 38 13 6 9 212 243 31 9 10 38 44 6 4 11 236 200 -36 10 12 95 100 5 3 合 计 54.5 11.5 (T+) (T-) 例表 8-1配对资料秩和检验步骤 1.建立检验假设： H0： Md=0, (T +) =(T-),即两种方法测定结 果值相同 H1： Md0,或 (T +) (T-) =0.05 2.编秩，求正、负秩次的秩和 (T) 3.任取 (T) 查表 确定秩和 (T)的概率（ p） (本例 n=11 50) 用 (T+) 或 T- 与 T0.05,n界值范围做比较 . 确定 p值方法： T 在 T0.05,n界值范围内， P 0.05 等于或在 T0.05界值范围外， P0.05 本例：查表 824页 （ n=11）界值 T0.05=10 56(双侧 ) 本例 T-=11.5或 T+=54.5在 T0.05范围内， P 0.05 结论：按 =0.05水准，不拒绝 H0， 尚 还不能认 为两法测定值差别有统计意义。 附表 9 ， n=11的双侧 T界值与概率（ p） T界值 5 10 13 33 53 56 61 P值 0.01 0.05 0.10 0.10 0.05 0.01 例 8-1 T-=11.5 , T+=54.5 0.05 P 0.10 如 H0假设成立，理论秩和 T+=T-=33， 理论总秩和 =11（ 11+1） /2=66 抽样 n=4，差值（ d）秩可能为 0,1 ， 2 ， 3， 4 秩和 (T) 秩的组成 f 概率 (p=f/16) 0 0 1 0.0625 1 1 1 0.0625 2 2 1 0.0625 3 3 1+2 2 0.125 4 4 1+3 2 0.125 5 1+4 2+3 2 0.125 6 1+2+3 2+4 2 0.125 7 1+2+4 3+4 2 0.125 8 1+3+4 1 0.0625 9 2+3+4 1 0.0625 10 1+2+3+4 1 0.0625 16 符号秩和检验的基本思想 如 H0成立，则理论上差值 (d)的正、负秩 和应相等，或样本的 T+ 与 T 均接近 理论上秩 和 (T)。 T= N(N+1)/2/2。 如果样本秩和与理论秩和相差太大，超出 了事先规定的检验水准界值， 则认为 H0成立 可能性小，拒绝 H0 。 资料 8-1Wilcoxon Signed Ranks Test 用参数法 配对 t=1.602， P=0.137 第二节、两组独立样本比较的 秩和检验 常用方法： W检验（ Wilcoxon rank sum test ） 常见的数据形式： 计量数据的两组比较 例数较少（原始数据形式） 等级数据的两组比 例数较多（频数表形式） 表 8-5肺癌病人与矽肺 0期工人 RD值比较 肺癌病人 矽 肺 0期 观 察 值 秩号 观 察 值 秩号 2.78 1 3.23 2.53 .23 2.5 3.5 4 4.20 7 4.01 54.87 14 4.15 6 5.12 17 4.28 86.21 18 4.34 9 7.18 19 4.47 108.05 20 4.64 11 8.56 21 4.75 129.6 22 4.82 13 4.95 155.10 16 n=10 混合 编 秩 T1=141.5 n=12 T2=111.5 总 T=253 表 8-5资料 t检验计算结果 两独立样本秩和检验计算步骤 1. 两组变量值 混合编秩 求出各组秩和 . 有相同 x值 在不同组 ,求平均秩 . 2.对 n较小组 求秩和（ T）做统计检验 3.检验方法： 1）查表法 :较小组例数 n10查表确定统计量 （ T）的概率 2)正态近似法 : 计算 u值， 公式 8-2 (较小组例数 n 10) 例：表 8-3资料秩和检验 1.建立检验假设： H0：两组 RD值的 总体分布位置 相同 H1：肺癌病人 RD值高于矽肺 0期工人 =0.05（单侧） 2.确定检验的统计量（ T） 当 n1n2时，取例数较小组的秩和为 T. 本例：较小组 n1=10， T1=141.5 当 n1=n2，任取一个组的秩和为 T。 3.本例 n1=10,查附表 10确定 T概率（ 825页） 用 T与 T0.05,n比较，如 T在 T0.05界值范围内， p 0.05，不拒绝 H0 查表 n=10 单侧 T0.05,10=89 141 本例 T=141.5 p 0.05 结论：在 =0.05水准， p 0.05， 拒绝 H0， 两 组 变量值分布差别有统计意义，肺癌组平均秩次 （ 141.5/10=14.15）高于矽肺 0期组平均秩次 （ 111.5/12=9.29）。 ， 两组秩和检验界值范围和概率 例数 n1=10， n2-n1=2的界值 单侧概率 界值： 假设成立 T1理论秩和 =115 76 79 84 89 115 141 146 151 154 0.05 0.025 0.01 0.005 本例 T=141.5 p 0.05 两组秩和检验的基本思想 如 H0： “两总体观察值的分布相同 ”假定成立 ， 则 n1样本的秩和（ T1） 应接近 n1理论的秩和 n1（ N+1） /2。 同理， n2样本的秩和 (T2)与应 n2（ N+1） /2相差不大。 如相差悬殊，即 P 0.05 ， 表示 H0假定成 立的概率较小，便拒绝 H0假定。 例：两组变量值分布相等 ,n1=n2 甲组（ x1） 2 4 5 8 秩和 秩次 1.5 3.5 5.5 7.5 18 乙组（ x2） 2 4 5 8 秩次 1.5 3.5 5.5 7.5 18 总秩和 =N（ N+1） /2=8（ 8+1） /2=36 各组理论秩和 = 各组平均秩次 =（ N+1） /2=4.5 例：两组变量值例数不相等 甲组（ x） 2 4 5 5 秩和 秩次 1.5 3.5 6 6 17 乙组（ x） 2 4 5 秩次 1.5 3.5 6 11 假设两组分布相等 甲组理论秩和 =4（ 7+1） /2=16 乙组理论秩和 =3（ 7+1） /2=12 肺癌组 矽肺组 总秩和 样本秩和 141.5 111.5 253 理论秩和 115 138 差值 26.5 -26.5 抽样误差？ 如果 H0成立，则理论秩和与样本秩和之差应不 大。 表表 8-5肺癌病人与矽肺肺癌病人与矽肺 0期工人期工人 RD值比较值比较 表 8-7 N=7， n=2的取秩组合和秩和（ T） 取秩 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 T 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 取秩 3,4 3,5 3,6 3,7 4,5 4,6 4,7 5,6 5,7 6,7 T 7 8 9 10 9 10 11 11 12 13 表 8-8 N=7， n=2的 T概率分布 T 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P 0.04 0.04 0.095 0.095 0.142 0.142 0.142 0.095 0.095 0.04 0.04 0.10 0.05 （二） u检验法 正态近似法（ 例数超出 附表 10范围） 采用公式 8-2计算 u值，确定 p值。 公式 8-2 U1.96， p0.05 T为 n小的组秩和 Tj为相同秩的个 数 频数表资料和等级数据的两组比较 表 8-6表 8-6 计算步骤 1.建立检验假设： H0：两组观察值的 总体分布位置 相同 H1：两组观察值的总体分布位置不同 =0.05 2.混合编秩，求各组秩和 3.确定检验的统计量（ T） 方法同前：本例 T=1917（ 例数较小组 ） 例 : 表 8-6频数表资料 吸烟组 不吸烟组 总秩和 例数 39 40 样本秩和 1917 1243 3160 理论秩和 1560 1600 3160 差值 357 -357 平均秩次 49.15 31.07 H0:两组变量值的分布相同 结论 :在 =0.05水准， p 0.01，拒绝 H0，两组变 量值分布差别有统计意义，吸烟组工人的 HbCO(%)高于 (平均秩次为 49.15) 对照组（ 31.07） . 例 : 表 8-6频数表资料 式中 t为各等级的合计数 u=3.7023 2.58 校正系数 第三节、多组资料的秩和检验 (Kruskal-Wallis H检验 ) 1.多个独立样本资料的比较 1）编秩方法同两组资料（不配对）相 同 .(混合编秩 ) 2）计算检验公式为 H（公式 8-4） 1)查表法 (总例数 N15时 ) 2) N 15时 , 用 H值与卡方界值做比较 . 3.如 p 值有统计意义，做组间的两两比 较（见讲义） . 2.确定 H统计量的 p 值 表 8-9 三个独立样本的比较 变量值为百分率，不符合正态要求。 检验步骤 1.建立检验假设： H0：三组药物死亡率总体分布位置相同 H1：三组药物死亡率总体分布位置不同 =0.05 2.混合编秩，求各组秩