第四章(水文统计基本方法)

第四章 水文统计基本方法 概率的基本概念 随机变量及其概率分布 水文频率曲线线型 P 型分布参数估计 水文频率计算 适线法 相关分析 第一节 概述 一、 水文现象的随机性 ： 二、 概率论和数理统计学在水文分析中的应用 ： 三、 水文统计解决的问题 ： 给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。 方法 ：确定频率曲线。 第二节 概率的基本概念 一、 事件 指在一定条件组合下，随机试验的结果。 分为：必然事件、不可能事件、随机事件。 水文测验可看作随机试验 。 二、 概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准： 三、 频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值： 第三节 随机变量及其概率分布 一、 随机变量 随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取 值 用 表示 。 例：水文特征值： 年径流、洪峰流量 。 离散型随机变量 ： 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变 量。 二、 随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称为随 机变量的 概率分布 。 对于水文变量；常研究大于等于某一取值 x 的概 率 ，即： 水文上通常称随机变量的 累积频率曲线 ， 简称 频率曲线 。 三、 概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数 。 四 、 随机变量的统计参数 总体统计参数、样本统计参数 均值、均方差、变差系数、偏态系数 总体 ：随机变量所有取值的全体。 样本： 从总体中抽取的一部分。 样本容量 ：样本包括的项数，样本大小。 水文样本系列 ： 统计参数是样本统计参数。 均值 ( )： 定义模比系数： 则： 反应系列 总水平 均方差 、 变差系数 Cv： 反映系列中各变量值集中或离散的程度 例 4-2： 5， 10， 15 x=10 =4.08 Cv=0.48 995， 1000， 1005 x=1000 =4.08 Cv=0.0048 偏态系数 （ Cs） : 反映系列在均值两边对称程度 正态曲线或正态分布 ： 密度函数： 密度曲线： 样本 系列 1 300 2 200 3 185 4 165 5 150 例 4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数 。 样本系列统计参数计算（ P.40） 样本 系列 (xi-x)2 (xi-x)3 Ki Ki-1 (Ki-1)3 1 300 10000 1000000 1.5 0.5 0.125 2 200 0 0 1 0 0 3 185 225 -3375 0.925 -0.075 -0.00042187 4 165 1225 -42875 0.825 -0.175 -0.00535938 5 150 2500 -125000 0.75 -0.25 -0.015625 均值 200 2790 165750 0.10359375 均方差 52.8 变差系数 0.264102 1.12 偏态系数 1.12 第四节 水文频率曲线线型 一、 经验频率曲线 由实测资料（样本）绘制的频率曲线。 绘制 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共 n 项， 按 由大到小 的次序排列为 x1、 x2、 .、 x m、 .、 x n。第 m 项的 经验频率就是在系列中大于及等于样本 x m 的项数 出现次数 （ m次）与样本容量（ n）之比值，即 当 m=n时， p=100%，即样本的 末项 xn是总体 中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年 数的增多，总会出现更小的数值。对上式进行修 正，有： 数学期望公式： 在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各 项的值为纵坐标点图，再通过点群中心目估绘光滑 曲线即经验频率曲线。 年份 年最大洪峰流量 序号 由大到小排列 经验频率 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 1961 720 1 2650 9.1 1962 1080 2 2060 18.2 1963 1030 3 1440 27.3 1964 1250 4 1420 36.4 1965 1440 5 1370 45.5 1966 1420 6 1250 54.5 1967 1120 7 1120 63.6 1968 2060 8 1080 72.7 1969 1370 9 1030 81.8 1970 2650 10 720 90.9 例 4-4：已知某水利枢纽，年最大洪峰流量系列 ，绘制经验频率曲线。 某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线 二、理论频率曲线： 1、皮尔逊 型分布曲线 （ P- ) 一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线 可以推证： 形状、尺度和 位置参数 水文计算： 一般需求出指定频率 P所对应的随机变量取值， 即 。 例如 ：频率为 1%（百年一遇）的设计 洪峰流量 。这就需要对密度曲线进行积 分，求出等于及大于 的累积频率 P值。 理论频率曲线绘制： 即求出的 应满足 ： 令： ， 是均值为零，标准差为 1的 标准化变量（离均系数） 则有 : 取决于 四个参数。 该 式包含 CS、 P与 p的关系，根据 拟 定 CS值 ， 可得不同 P 的 p 值 ，附表。然后利用已知的 和 CV值 ，通 过 下式即可求出与各种 P相 应 的 值 ，从 而可 绘 出理 论频 率曲 线 。 理论频率曲线的绘制 ： 已知统计参数 ，求不同频率 对应的值： 然后在频率格纸上绘曲线，横坐标为频率，纵坐 标为水文特征值。 例 4-5：某站年径流系列符合 P- 型分布，已知该系列的， , CV=0.25 ， CS=2Cv，试绘理论频率曲线。 解： 当 CS=2Cv 时，查附表得不同频率下的 Kp，代入下式 ： P 0.01 0.1 0.2 0.33 0.5 1 2 Kp 2.22 1.96 1.87 1.81 1.77 1.67 1.58 Xp 1443 1274 1215.5 1176.5 1150.5 1085.5 1027 P 10 20 50 75 90 95 99 Kp 1.33 1.2 0.98 0.82 0.7 0.63 0.52 Xp 864.5 780 637 533 455 409.5 338 理论频率曲线 三、频率与重现期的关系 水文上常用 “ 重现期 ” 来代替 “ 频率 ” 1. 当研究暴雨或洪水时 （一般 P50% ） 2. 当研究枯水或年径流时 （一般 P50% ） 例如 : 当某一洪水的 频 率 为 P=1%时 ， 则 T=100年，称此洪 水 为 百年一遇洪水，表示大于等于 这样 的洪水平均 100 年会遇到一次。 对 于 p=80%的枯水流量， 则 T=5 年，称作以五年一 遇枯水流量作 为设计 来水的 标 准。表示小于等于 这样 的流量平均 5年会遇到一次。 说 明具有 80%的可靠程度。 第五节 P 型分布参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如 P 型的 、 CV、 CS 。 一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。 均值 无偏估计： CV的无偏估计量 ： CS 的无偏估计量 ： 二、权函数法 马 秀峰（ 1984）提出。 三、抽样误差 由 随机抽样引起 的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为： 样本均值是随机变量 ,抽样误差也为随机变量。抽 样误差近似服从正态分布。 可以证明， 系列的均方差 可作为度量抽样误差的指标，称为均方误。 各参数的均方误（抽样误差） ： CV=2CS时样本参数的均方误 (相当误差， %） cv 参数 均值 变差系数 偏态系数 100 50 25 10 100 50 25 10 100 50 25 10 0.1 1 1 2 3 7 10 14 22 126 178 252 399 0.3 3 4 6 9 7 10 15 23 51 72 102 162 0.5 5 7 10 16 8 11 16 25 41 58 82 130 0.7 7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126 1 10 14 20 32 10 14 20 32 42 60 85 134 第六节 水文频率计算 适线法（配线法 ） 适线法 ： 是以 经验频率点据 为 基 础 ，在一定的 适线准则下 ，求解与 经验 点据 拟 合最 优 的 频率曲线参数 ，得到一 条 理论频率曲线 。 目估适线法、优化适线法 。 一、目估适线法 （ 1） 将 实测资 料 由大到小 排列， 计 算各 项 的 经验 频率 ，在 频 率格 纸 上点 绘经验 点据。 （ 2） 选 定水文 频 率分布 线 型（ 一般选用 P- 型 ） 。 （ 3） 初估一组参数 、 CV、 CS。 为 了使初估 值 大致接近 实际 ，可用矩法或其它方 法求出 3个参数，作 为 3个参数第一次的假定 值 。 当用矩法估 计时 ，因 CS的抽 样误 差太大，一般不 计 算 CS，而是根据 经验 假定 CS为 CV的某一倍数（如 CS =2 CV ）。 （ 4）根据假定的 、 CV 、 CS ， 查附表 ，计算 xP 值 ，以 x P为纵 坐 标 ， p为 横坐 标 ，即可得到 频 率曲 线 。 将此 线 画在 绘 有 经验 点据的 图 上，看与 经验 点 据配合的情况，若不理想， 则 修改参数 再次 进 行 计 算。 （ 5）最后根据 频 率曲 线 与 经验 点据的配合情况， 从中 选择 一条与 经验 点据配合 较好的曲线 作 为 采用 曲 线 。 相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值 。 二、统计参数对频率曲线的影响 ： （ 1）均 值 对 频 率曲 线 的影响 1.均值大的 位于小的之上 。 2.均值大的较 小的陡。 （ 2） CV对频 率曲 线 的影响 1.随着 CV的 增大 ,频率曲线 越来越陡。 （ 3） CS对频 率曲 线 的影响 1. CS越大 , 均值 (K=1)对应 的频率越小， 频率曲线中部 越向左偏，且 上段 越陡，下 段越平缓。 例 4-6：某枢纽处最大洪峰流量频率计算 某枢纽处年最大洪峰流量计算表 年份 洪峰流量 序号 排序 模比系数（ Ki) Ki-1 (Ki-1)2 频率（ P） （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 1945 1540 1 2750 2.207 1.207 1.4562 4.5 1946 980 2 2390 1.918 0.918 0.8424 9.1 1947 1090 3 1860 1.493 0.493 0.2426 13.6 1948 1050 4 1740 1.396 0.396 0.1570 18.2 1949 1860 5 1540 1.236 0.236 0.0556 22.7 1950 1140 6 1520 1.220 0.220 0.0483 27.3 1951 790 7 1270 1.019 0.019 0.0004 31.8 1952 2750 8 1260 1.011 0.011 0.0001 36.4 1953 762 9 1210 0.971 -0.029 0.0008 40.9 1954 2390 10 1200 0.963 -0.037 0.0014 45.5 1955 1210 11 1140 0.915 -0.085 0.0073 50.0 1956 1270 12 1090 0.875 -0.125 0.0157 54.5 1957 1200 13 1050 0.843 -0.157 0.0248 59.1 1958 1740 14 1050 0.843 -0.157 0.0248 63.6 1959 883 15 980 0.786 -0.214 0.0456 68.2 1960 1260 16 883 0.709 -0.291 0.0849 72.7 1961 408 17 794 0.637 -0.363 0.1317 77.3 1962 1050 18 790 0.634 -0.366 0.1340 81.8 1963 1520 19 762 0.611 -0.389 0.1510 86.4 1964 483 20 483 0.388 -0.612 0.3751 90.9 1965 794 21 408 0.327 -0.673 0.4524 95.5 总计 26170 26170 21.00 0.000 4.252 均值 1246 变差系数 0.46 1、 矩法估计参数 洪峰频率曲线选配计算表 频率 P（ %） 第一次配线 第二次配线 第三次配线 Q=1246 CV=0.5 CS=2CV=1.0 Q=1246 CV=0.6 CS=2CV=1.2 Q=1246 CV=0.6 CS=2.5CV=1.5 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） 1 2.51 3127 2.89 3601 3 3738 5 1.94 2417 2.15 2679 2.17 2704 10 1.67 2081 1.8 2243 1.8 2243 20 1.38 1719 1.44 1794 1.42 1769 50 0.92 1146 0.89 1109 0.86 1072 75 0.64 797 0.56 698 0.56 698 90 0.44 548 0.35 436 0.39 486 95 0.34 424 0.26 324 0.32 399 99 0.21 262 0.13 162 0.24 299 2、权函数法估计参数 ： 序号 排序 Qi(m3/s) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 1 2750 0.00069429 -3.42 0.03 2.26 2.73 3.292 2 2390 0.00069429 -1.98 0.14 9.57 8.79 8.065 3 1860 0.00069429 -0.57 0.57 39.24 19.33 9.520 4 1740 0.00069429 -0.37 0.69 47.99 19.02 7.536 5 1540 0.00069429 -0.13 0.88 60.92 14.36 3.386 6 1520 0.00069429 -0.11 0.89 61.98 13.62 2.992 7 1270 0.00069429 0.00 1.00 69.37 1.33 0.025 8 1260 0.00069429 0.00 1.00 69.41 0.77 0.009 9 1210 0.00069429 0.00 1.00 69.29 -2.01 0.058 10 1200 0.00069429 0.00 1.00 69.21 -2.57 0.095 11 1140 0.00069429 -0.02 0.98 68.25 -5.82 0.496 12 1090 0.00069429 -0.04 0.96 66.91 -8.39 1.051 13 1050 0.00069429 -0.06 0.94 65.50 -10.31 1.623 14 1050 0.00069429 -0.06 0.94 65.50 -10.31 1.623 15 980 0.00069429 -0.11 0.90 62.37 -13.32 2.845 16 883 0.00069429 -0.20 0.82 56.86 -16.57 4.829 17 794 0.00069429 -0.31 0.73 50.94 -18.48 6.707 18 790 0.00069429 -0.32 0.73 50.66 -18.55 6.789 19 762 0.00069429 -0.36 0.70 48.68 -18.91 7.349 20 483 0.00069429 -0.88 0.41 28.74 -17.60 10.779 21 408 0.00069429 -1.06 0.35 23.96 -16.12 10.839 总和 26170 15.66492 6 1087.60785 -79.01747471 89.90943292 均值 1246.19 E -4689.1 G 6648976.8 CS 1.6 两种参数估计方法配线结果对比 第七节 相关分析 一、相关关系的概念 1、 相关分析 ： 研究 两个 或 多个随机变量之间 的联系。例如：降雨 与径流之间、上下游洪水之间、水位与流量之间等。 水文计算中的 应用 ：资料的插补展延、水文预报等。 2、 注意的问题 ： 必须先分析变量在 成因上 是否有联系。 3、 两变量之间关系 (简单相关 ) 二、简单直线相关关系 方法： 相关图解法 相关分析法 1、 相关分析法 最小二乘法确定参数 a、 b。 设：两变量之间的相关关系为： 原理 ： 在所有观测点与配合的直线在纵轴方向 的离差平方和最小的前提下求 a、 b： 观测点与配合的直线在纵轴方向的 离差 为： 在： 为极小值的条件下求 a、 b 。 欲使上式取得极小值，可分别对 a和 b求一阶导数 ，并使其等于零，即令： 得方程组 解方程组，可得： r：相关