2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷a(1)

南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008 年 12 月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题（共 60 分） 1. 方程 是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性” ） 4424(,)uufxyxy 非齐次 （“齐次”或“非齐次” ）偏微分方程（3 分） ； 2. 方程 的全部解可写为 = （ 是任意 220atx(,)uxy()()fatgxt,fg 二阶连续可微函数） ；（3 分） 3. 二维 Laplace 方程 的基本解为 = ；（3 分） 20uxy(,)xy21lnxy 4. 若 是非齐次波动方程 的解，则 满足的微分(,)iuxt 22(,)iuafxtt1(,)icut 方程是 ；（3 分） 221(,)inuacfxtt 5. 方程 的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征 222360uxyy 方程为 或 ，特征曲线为 和 ，可以将其化为标d113xc2yxc 准型的自变量变换为 ，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换3yx （其中 待定） ；（5 分）(,)(,)uve, 6. 定解问题 属于初值 2 ,0(,0)(,0)(txtuaxtx 问题（“初值”或“边值” ） ，其解的表达式为 = (,)uy ；定解问题 属于11()()()22xatxattd0xfn 2 Dirichlet 边值问题（“Dirichlet”或“Neumann” ） ，其中 为 的边界，若 其存在古典解，则 一定满足 ；（4 分）ffds 7. 若 满足初值问题 ，则(,)hxt 2 ,0|0,|(,)txtthaxtf 满足的定解问题为 0(,)(,)twd （4 分） 200(,),0|,|txtwafxt 8. 对于端点自由的半无界弦振动问题，通过偶延拓（“奇延拓”或“偶延拓” ） 的方法，可以转化为无界弦振动问题；我们可以借助于三维波动方程初值 问题解的 Pisson 表达式来获得二维波动方程初值问题解的表达式，这种方 法称为 降维法；（3 分） 9. 用分离变量法求定解问题 时，得到 2 0,(0,)(,)()txtuaxltltul 关于 的特征值问题是 ，由此可以得到相()Xx“()()0Xxxl 应的特征值 = ，特征函数 = ；用分离变量法n2(),1,l ()nXsil 求定解问题 时，首先通过函数变12 ,(0,)(,)(00)txtuaxltultl 换 ，将其转化为 的齐次边界条件的定解问题，(,),(,)uxtvtwx(,vxt 则可选为 = ；用分离变量法求解稳定的非齐次定解问211()ttl 题 时，通过函数代换 2 0,(0,)(,)()txtaxltultul ，可以将其转化为齐次方程，齐次边界条件的定解问(,),()xtvwx 题，其中 = ；（8 分） 3 10. 三维调和方程 的解的积分表达式为 = 220uxyz0()uM ，其中 ， 为 的边界，若区域 上的 Green 函数记为 ，0M0(,)G 则（1） = ；(2)定解问题 的解0(,)GdSn |()xuxf 的表达式为 = ，其中 为边界 上的单位外0()u n 法向量；（6 分） 11. 作出四分之一平面 的 Green 函数为 ；（3(,)xy 分） 12. 用 Fourier 变换求解偏微分方程定解问题时，是通过 Fourier 变换把解偏微分 方程的定解问题转化为含参数 的常微分方程的定解问题，则对 KdV 方程 的初值问题 20,06(,)(txxahxtf 关于 进行 Fourier 变换后的形式为 ；（3 分）x 13. 的 Fourier 变换定义为 = ，()f ()F 与 的卷积定义为 = ，xgfgx 若 ，则 = ()(),()FfxG1()FGA ；（3 分） 14. = ； = ；（4|xe 1te 分） 15. 已知 ，则 = ； 2241axaFee2axbcFe = ；（4 分）21at 二，用 DAlembert 公式求解下列弦振动方程;（10 分） xxuxutatt)0,(sin)0,( 0,2 4 三， （1）写出建立上半平面 Green 函数的详细过程； （2）用 Green 函数法求解下列定解问题;（15 分）00|()xyuf 四， 利用 Fourier 变换求解下列定解问题；（ 15 分）2,0(,0)1txucxt22212 122()(),1ln(,)3 0,