2017年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0，则（ B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） C（ 2， 3） D（ 2， 4） 2如图，在复平面内，复数 应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知等比数列 ， ， ，则公比 q=（ ） A B 2 C 2 D 4圆 x2+2x=0 和圆 x2+4y=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C外切 D内切 5设 ， 为向量，则 “ =0”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6甲、乙两位同学约定周日早上 8： 00 8： 30 在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少 10 分钟才能见面的概率为（ ） A B C D 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍 是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 2，则输出 ） A 211 1 B 211 2 C 210 1 D 210 2 8设函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，则f（ 0）的取值集合是（ ） A 1， 1， B 1， ， C 1， 1， ， D 1， 1， 2， 2 9设 双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 于曲线 双 曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 10已知三边长分别为 4， 5， 6 的 外接圆恰好是球 O 的一个大圆， 三棱锥 P 积的最大值为（ ） A 8 B 10 C 12 D 14 11函数 f（ x） = 的图象大致是（ ） A B C D 12已知 f（ x） = ，若函数 f（ x）有三个零点，则实数 a 的值是（ ） A e B C D e 二、填空题 13已知向量 =（ 1， 1）， =（ 2， x）， 在 方向上的投影是 ，则实数x= 14已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x 3y 的最小值为 15已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16数列 ， 与 （ n N*）最接近的正整数，则 = 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2c=2b （ ）求角 A 的大小； （ ）若 c= ，角 B 的平分线 ，求 a 18（ 12 分）已知长方体 ， B=2， ， E 为 中点，如图所示 （ ）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说明理由）； （ ）证明： 平面 （ ）求 点到平面 距离 19（ 12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户为 “A 组 ”，否则为 “B 组 ”，调查结果如下： A 组 B 组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为 “A 组 ”用户与 “性别 ”有关？ （ 2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中 “和 “的人数； （ 3）从（ 2）中抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的护肤品套装，求这 2人中至少有 1 人在 “A 组 ”的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量 参考数据： P（ 0（ 12 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 x 轴上，离心率为 ，在椭圆 E 上有一动点 A 与 距离之和为 4， （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ） 过 A、 一个平行四边形，使顶点 A、 B、 C、 D 都在椭圆 E 上，如图所示判断四边形 否为菱形，并说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =ax+图象在点 x=e（ e 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）当 x 1 时，求证 f（ x） 3（ x 1） 选做题请考生在 22， 23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑 .选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）已知曲线 参数方程为： （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为： =4+ ），直线 l 的极坐标方程为 = （ 1）求曲线 普通方程与曲线 直角坐标方程； （ 2）若曲线 曲线 直线 l 分别交于非坐标原点的 A， B 两点，求 |值 选修 4等式 选讲 23已知实数 a， b， c 均大于 0 （ 1）求证： + + a+b+c； （ 2）若 a+b+c=1，求证： 1 2017 年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0，则（ B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） C（ 2， 3） D（ 2， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式求出集合 B，根据补集与交集的定义写出（ B 【解答】 解：集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0=x|2 x 4， 则 x|1 x 3， 所以（ B=x|2 x 3=（ 2， 3） 故选： C 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2如图，在复平面内，复数 应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出 复数对应的点的象限即可 【解答】 解：由题意可知 2 i， z2=i = = = 1+2i， 复数 对应的点位于第二象限 故选 B 【点评】 本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义 3已知等比数列 ， ， ，则公比 q=（ ） A B 2 C 2 D 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的性质求出公比 q 的值即可 【解答】 解： 等比数列 ， ， ， a6= =4 ， 解得： q= 故选 D 【点评】 此题考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质，熟练掌握等比数的性质是解本题的关键 4圆 x2+2x=0 和圆 x2+4y=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C外切 D内切 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可 【解答】 解：圆 x2+2x=0，即（ x 1） 2+，圆心是 1， 0），半径是 圆 x2+4y=0，即 y 2） 2=4，圆心是 0， 2），半径是 | ，故 | | |r1+ 两圆的位置关系是相交 故选 B 【点评】 本题考查圆与圆的位置关系，是基础题 5设 ， 为向量，则 “ =0”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 ， 为向量，则 “ ”“ =0”，反之不成立，例如取 = 【解答】 解： ， 为向量，则 “ ”“ =0”，反之 不成立，例如取 = 则 “ =0”是 “ ”的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6甲、乙两位同学约定周日早上 8： 00 8： 30 在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少 10 分钟才能见面的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 =（ x， y） |0 x 30， 0 y 30，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条 件的事件是A=（ x， y） |0 x 30， 0 y 30， y x 10，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型， 试验包含的所有事件是 =（ x， y） |0 x 30， 0 y 30 事件对应的集合表示的面积是 s=900， 满足条件的事件是 A=（ x， y） |0 x 30， 0 y 30， y x 10，事件对应的集合表示的面积是 =200， 根据几何概型概率公式得到 P= 故选 C 【点评】 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发 生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 2，则输出 ） A 211 1 B 211 2 C 210 1 D 210 2 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：输入的 x=2， v=1， k=1， 满足进行循环的条件， v=2+1=3， k=2， 满足进行循环的条件， v=（ 2+1） 2+1=7， k=3 v=211 1， 故输出的 v 值为： 211 1， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答 8设函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，则f（ 0）的取值集合是（ ） A 1， 1， B 1， ， C 1， 1， ， D 1， 1， 2， 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，可得周期 T=6 或 T=3对其讨论可得答案 【解答】 解：函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2对称， x+= ，（ k Z） 当 x=0 时， = ， 那么： f（ 0） = 1 当直线 x= 1 和 x=2 是相邻对称轴，那么：周期 T=6函数 f（ x） =x+） 若 x= 1 过图象最低点时，则 x=2 过图象最高点，那么 = 若 x= 1 过图象最高点时，则 x=2 过图象最低点，那么 = f（ 0） =或 则 f（ 0）的取值集合为 1， 故选： C 【点评】 本题主要考查了对称的问题和周期的讨论属于中档题 9设 双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 于曲线 双曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，对称点为 F（ m， n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求 值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 对称点为 F（ m， n）， 即有 = ， 且 n= ， 解得： m= ， n= ， 将 F（ ， ），即（ ， ）， 代入双曲线的方程可得 =1， 化简可得 4=1，即有 ， 解得 e= 故选 D 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 10已知三边长分别为 4， 5， 6 的 外接圆恰好是球 O 的一个大圆， 三棱锥 P 积的最大值为（ ） A 8 B 10 C 12 D 14 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 利用正弦定理和余弦定理求出 外接圆的半径即球的半径，则当 P 到平面 距离为球的半径时，棱锥的体积最大 【解答】 解：设 最大角为 ，则 = ， = S = 设 外接圆半径为 r，则 =2r， r= 当 P 到平面 距离 d=r 时，三棱锥 P 积取得最大值V= = =10 故选： B 【点评 】 本题考查了棱锥的体积计算，正余弦定理解三角形，属于中档题 11函数 f（ x） = 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的变化趋势，判断选项即可 【解答】 解：函数 f（ x） = 是奇函数，排除 A， C， 当 x 0，并且 x0 时， f（ x） = 0， 排除 D 故选： B 【点评】 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点是常用判断方法 12已知 f（ x） = ，若函数 f（ x）有三个零点，则实数 a 的值是（ ） A e B C D e 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 判断 f（ x）的奇偶性，根据 f（ x）的零点个数可知 ex+ 在（ 0， + ）上只有一解，即直线 y= y=切，根据导数的几何意义列方程组解出 a 即可 【解答】 解：若 x 0，则 f（ x） =ex+ax=f（ x）， 同理，当 x 0 时， f（ x） =f（ x）， f（ x）是偶函数， 又 f（ 0） =0， x=0 是 f（ x）的一个零点， f（ x）有三个零点， f（ x）在（ 0， + ）上只有一个零点 当 x 0 时，令 f（ x） =0 得 直线 y= y=切 设切点坐标为（ 则 ， 解得 ， a= e 故选： D 【点评】 本题考查了函数奇偶性的判断与性质，函数零点的个数判定，导数的几何意义，属于中档题 二、填空题 13已知向量 =（ 1， 1）， =（ 2， x）， 在 方向上的投影是 ，则实数x= 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量的数量积与向量投影的定义，列出方程求出 x 的值 【解答】 解：向量 =（ 1， 1）， =（ 2， x）， =1 2+（ 1） x=2 x； 又 | |= = ， 在 方向上的投影为 | |， = = = ， 解得 x=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算与投影的定义，是基础题 14已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x 3y 的最小值为 16 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 ，作出可行域如图， 化目标函数 z=2x 3y 为 y= z，由 解得 A（ 7， 10） 由图可知，当直线 y= z 过 A（ 7， 10）时直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值，等于 14 3 10= 16 故答案为： 16； 【点评】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 4 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 底面面积 S= 2 3=3 ， 高 h=4， 故体积 V= =4 ； 故答案为： 4 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档 16数列 ， 与 （ n N*）最接近的正整数，则 = 19 【考点】 数列的求和 【分析】 与 （ n N*）最接近的正整数，可得： n=1， 2 时， ； n=3， 4，5， 6 时， ； n=7， 8， ， 12 时， ； n=91 ， 92， ， 100 时， 0即可得出 【解答】 解： 与 （ n N*） 最接近的正整数， n=1， 2 时， ； n=3， 4， 5， 6 时， ； n=7， 8， ， 12 时， ； n=13， 14， ， 20 时， ； n=21， 14， ， 30 时， ； n=31， 32， ， 40， 41， 42 时， ； n=43， 44， ， 56 时， ； n=57， 59， ， 72 时， ； n=73， 74， ， 90 时， ； n=91， 92， ， 100 时， 0 =2+ + + + + + +16 +18 +10=19 故答案为： 19 【点评】 本题考查了数列递推关系、分类讨论方法、整数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017河北二模）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b， c，且 2c=2b （ ）求角 A 的大小； （ ）若 c= ，角 B 的平分线 ，求 a 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出 值，由 A 的范围和特殊角的三角函数值求出角 A 的值； （ ）由条件和正弦定理求出 条件求出 内角和定理分别求出 合条件和余弦定理求出边 a 的值 【解答】 解：（ ）由 2c=2b 及正弦定理得， 2 （ 2 分） 2A+C） =2 0， ， 又 A （ 0， ）， A= ； （ 6 分） （ ）在 ， c= ，角 B 的平分线 ， 由正弦定理得 ， = = ， （ 8 分） 由 A= 得 ， （ ） = ， = ， B= 由余弦定理得， 2C2+2 2 =6， a= （ 12 分） 【点评】 本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力 18（ 12 分）（ 2017宁城县一模）已知长方体 ， B=2， ， 1中点，如图所示 （ ）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说明理由）； （ ）证 明： 平面 （ ）求 点到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 M，则直线 为平面 平面 （ ）在长方体 ， M 为 中点，又 E 为 中点，由三角形中位线定理可得 由线面平行的判定可得 平面 （ ） B 到平面 距离 d 即为 点到平面 距离，然后利用等积法即可求得 点到平面 距离 【解答】 （ ）解： 连接 M，则直线 为平面 平面交线，如图所示； （ ）证明：由（ ），在长方体 ， M 为 中点，又 E 为 中点， 在 ， 中位线，则 又 面 面 平面 （ ）解： 平面 B 到平面 距离 d 即为 点到平面 距离 ， ， ， ， ， ， d= 【点评】 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能 力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 19（ 12 分）（ 2017宁城县一模）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户为 “，否则为 “，调查结果如下： A 组 B 组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能否 有 60%的把握认为 “A 组 ”用户与 “性别 ”有关？ （ 2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中 “和 “的人数； （ 3）从（ 2）中抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的护肤品套装，求这 2人中至少有 1 人在 “A 组 ”的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量 参考数据： P（ 考点】 独立性 检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）利用列联表，计算 照数表得出概率结论； （ 2）利用分层抽样原理计算从女性中选出 5 人中 “和 “的人数； （ 3）计算基本事件数，求出对应的概率值 【解答】 解：（ 1）由列联表可得 （ 2 分） 没有 60%的把握认为 “用户与 “性别 ”有关 （ 2）由题意得所抽取的 5 位女性中， “3人， “2 人（ 6 分） （ 3）从这 5 人中任取 2 人，基本事件空间 =10 种，全是 B 组有 1 种情况， 这 2 人中至少有 1 人在 “的概率是 1 = （ 12 分） 【点评】 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题和用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目 20（ 12 分）（ 2017宁城县一模）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 心率为 ，在椭圆 E 上有一动点 A 与 距离之和为 4， （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ） 过 A、 一个平行四边形，使顶点 A、 B、 C、 D 都在椭 圆 E 上，如图所示判断四边形 否为菱形，并说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由椭圆离心率为 ，在椭圆 E 上有一动点 A 与 距离之和为 4，列出方程组，求出 a=2， b= ，由此能求出椭圆 E 的方程 （ ）由 1， 0），令直线 x=1，联立方程组 ，得（ 3） 69=0，由此利用韦达定理、直线垂直的性质，结合已知条件能求出四边形 能是菱形 【解答】 解：（ ） 椭圆 E 的中心在原点，焦点 x 轴上，离心率为 ， 在椭圆 E 上有一动点 A 与 距离之和为 4， 由条件得 a=2c， 2a=4，解得 a=2， b= ， 椭圆 E 的方程是 （ ） 1， 0），如图，直线 能平行于 x 轴， 令直线 方程为 x=1， A（ B（ 联立方程组 ，得（ 3） 69=0， （ 6 分） ， （ 7 分） 若四边形 菱形，则 ， 于是有 x1x2+y1， （ 9 分） 又 x1 1）（ 1） =m（ y1+1， 所以有（ ） m（ y1+1=0， 得到 =0，（ 11 分） 这个方程没有实数解，故四边形 能是菱形 （ 12 分） 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形形是否为菱形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用 21（ 12 分）（ 2017宁城县一模）已知函数 f（ x） =ax+图象在点 x=e（ 的切线斜率为 3 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）当 x 1 时，求证 f（ x） 3（ x 1） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，由题意可得切线的斜率，解 a 的方程可得 （ 2）求出 f（ x）的解析式，令 g（ x） = = ，求得导数，令 h（ x） =x 2（ x 1），求出导数，判断单调性，运用零点存在定理可得 h（ x）零点的范围，进而得到 g（ x）的单调性，即有 g（ x）的最小值，即可得证 【解答】 解：（ 1）因为 f（ x） =ax+以 f（ x） =a+ 因为函数 f（ x） =ax+图象在点 x=e 处的切线斜率为 3， 所以 f（ e） =3，即 a+=3所以 a=1 （ 2）证明：由（ 1）知， f（ x） =x+ 令 g（ x） = = ， 则 g（ x） = ， 令 h（ x） =x 2（ x 1）， 则 h（ x） =1 = 0， 所以函数 h（ x）在（ 1， + ）上单调递增 （ 7 分） 因为