浅析含参数的一元二次不等式的讨论

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 浅析含参数的一元二次不等式的讨 论 【摘 要】含参数的一元二次不 等式，如何分类讨论？本文从五个例子 出发，引导学生思考为什么要分类 讨论，以及如何分类讨论。主要从三个 点入手：“是不是 ”、 “有没有”以及“根的 大小”。 中国论文网 /9/view-13014193.htm 【关键词】参数；一元二次不等 式；分类讨论 本文主要解决含参数的一元二次 不等式为什么要分类讨论以及如何分类。 当下，高中生学习数学的困难是： 数学概念基本能听懂，习题课的效果也 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 不错，但是学生一旦自己动手解题时， 往往就束手无策，导致功夫没少下，效 果却不佳的情况，从而丧失学习数学的 兴趣和动力。这是因为学生不知如何解 题。教学无外乎就是教会学生如何解题、 怎样解题及课后的自我整理消化。不只 是简简单单的把一道题目讲清楚讲明白， 而是要教会学生如何思考。 下面我们就从几个简单的含参数 的一元二次不等式，来引导学生思考： 为什么要分类以及如何分类。 例 1：求不等式 ax2-2ax0 的解 集。 分析：这个不等式从形式上看像 一元二次不等式，可以由其对应的二次 函数，借助图像求解。但由于 x2 的系 数未知，所以对其进行分类讨论，这个 讨论的依据为“ 是不是” 。如果是，接下 来要讨论二次函数的开口方向。 解： （1）当 a=0 时，00 不成立； （2）当 a0 时，因式分解为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 ax（x-2）0。 当 a0 时，不等式的解集为 x|x2 或 x0 的解集。 分析：这个不等式就满足刚才的 “是不是”了，但现在的问题是这个一元 二次不等式所对应的二次函数与 x 轴有 没有交点，判断与 0 的大小关系进行讨 论。所以这次讨论的依据是“有没有” 。 解：当，即时，不等式的解集为 当，即当 a=4 时，不等式的解集 为； 当 a=-4 时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为 R。 例 3：求不等式的解集。 分析：这个不等式不仅满足“是 不是”，是一元二次不等式，因式分解 为，可得方程等于零有两个根，分别为 a 和 2，但由于这个根的大小不确定， 所以这次讨论的依据是“ 根的大小 ”。 解：因式分解为 （1）当 a2 时，不等式的解集 为； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 （2）当 a=2 时，不等式的解集 为x|x2； （3）当 a2 或 x 例 4：已知 函数，试讨论函数的单调性。 分析：对于函数的单调性，可以 从导数的正负来考虑，所以要先求导， 得到，由于 ex 恒正，所以导数的符号 主要考虑的符号，根据上面的方法，先 考虑是不是，所以 a 和 0 比较大小，然 后因式分解得到，所以接下来就是要讨 论和-2 的大小，结合二次函数的图像， 由二次函数的开口以及与 x 轴的交点， 得出函数符号的正负。 解： （1）当 a=0 时， y=f （x）的单调递减区间为（ - 2，+ ） ，单调递增区间为（- ，-2） ； （2）a0 时， ，y=f（x） 的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当 a0 时， ， y=f（x）的 单调递减区间为，单调递增区间为。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 当，即 a1 时，y=f（x）在单 调递减，在区间单调递增； 当，即时，y=f （ x）在 （0，1）单调递减。 综上所述：当时，y=f（x）在 （0，1）单调递减； 当 a1 时，在单调递减，在区间 单调递增。 含参数的一元二次不等式的解法 常常涉及到参数的讨论问题，只要把握 好三个“讨论点 ”，一切便迎刃而解。分 类标注一：“ 是不是” ，二次项系数是否 为零，目的是讨论不等式是否为二次不 等式，如果是二次不等式，季就要讨论 二次函数图像的开口方向；分类标准二： “有没有”，即判别式的正负，目的是讨 论二次方