积分中值定理中间值的渐进性

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 积分中值定理中间值的渐进性 摘要：在积分中值定理中，只确 定了中间点的存在性，却没给出中间点 在区间内的位置。通过讨论当区间长度 趋近于零时，定理所确定的中间点在区 间上的渐进性，得到一些相应的结论， 并对其中一些结论进行证明。 中国论文网 /2/view-12758969.htm 关键词：中值定理；中间值；渐 进性 中图分类号：G4 文献标识码： A 文章编号：16723198（2015） 26023402 积分第一中值定理：若函数 f（x）在闭区间 a，b 上连续，则至少存 在一点 a，b，使得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 baf（x）dx=f（） （b-a） 。 积分第二中值定理：如果函数 f（x） ， g（x）在闭区间 a，b 上连续， 且 g（x）在 a，b 上不变号，则至少存 在一点 a，b，使得 baf（x）g（x）dx=f（） bag（ x）dx。 在上述积分中值定理中，一般来 说，不能断定中间值 就是区间 a，b 的中点，但当 f（a ）存在且 f（a）0 时，则有如下结果： 定理 1：设函数 f（t）Ca，x， 在 x=a 可导且 f（a）0。若 xaf（t）dt=f（） （x-a） ， （a，x） 则有 limxa-ax-a=12。 证明：考虑函数 h（x） =xaf（t）dt-f（a ） （x-a） （x-a）2， 利用积分第一中值定理得 limxah（x）=limxaxaf（t） dt-f（a） （x-a） （x-a ）2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 =limxaf （ ） （x-a ）-f （a） （x- a） （x-a）2 =limxaf （ ）-f （a）x- a=limxaf（）-f（a ）-a-ax-a =f（a）limxa-ax-a， 另一方面，应用 LHospital 法 则又有 limxah（x）=limxaxaf（t） dt-f（a） （x-a） （x-a ）2 =limxaf （x）-f（a）2（x-a） =12f（a） 比较后即得到 limxa-ax- a=12。 定理 2：设函数 f（t）Ca，x， 在 x=a 可导且 f（a）0，g（t） Ca，x 且不变号，g（a）0。若 xaf（t）g（t）dt=f（） xag（ t）dt ， （a，x） 则有 limxa-ax-a=12 证明：考虑函数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 h（x）=xaf（t）g（t）dt-f（a） xag（ t）dt （xag （t）dt ）2， 利用积分第二中值定理得 limxah（x）=limxaxaf（t） g（t）dt-f（a）xag（t）dt（xag（t） dt）2 =limxaf （ ）-f （a）xag（t） dt =limxaf （ ）-f （a）-ax- axag（t）dt-ax-a=f （a）g（a） limxa-ax-a 另一方面，应用柯西微分中值定 理又有 limxah（x）=limxaxaf（t） g（t）dt-f（a）xag（t）dt（xag（t） dt）2 =limxaf （x）g（ x）-f（a） g（x）2g（x）xag（t）dt =limxaf （x）-f（a）x-ax- a2xag（t）dt=f（a ）2g（ a） 比较后即得到 limxa-ax- a=12。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 上述定理还可以进一步推广得 定理 3：设函数 f（t）Ca，x， 在 x=a 二阶可导且 f（a）=