福建省2017届高中毕业班单科质量检查数学文试题含答案

2017 年福建省单科质量检查 文科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . z m i ，且 2 是纯虚数，则实数 m （ ） A 1 B 2 C D 的等差数列 9 项和为 81，则9a（ ） A 1 B 9 C 17 D 19 3. 函数 2 x x 的图象大致为 （ ） A B C D 2, 1 , , 0A a B a，那么 “ 1a ” 是 “ ” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充分 必要条件 D既不充分也不必要条件 体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 4 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了 4 用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ） A 8 B 9 C. 10 D 11 6. 已知三棱锥 P 的三条侧棱两两互相垂直，且 5 , 7 , 2A B B C A C ，则此三棱锥的外接球的体积为 （ ） A 83B 823 C. 163D 323输入 2017n ，输出 S 的值为 0，则 ） A s i x x B s i x x C. c o x x D c o x x 3s i n , 01 , 0x x ，则下 列结论正确的是 （ ） A B C. D O 与 x 轴的正半轴交点为 A ，点 B ， C 在 O 上，且 43,55B，点 C 在第一象限， ,1A O C B C ，则 c o （ ） A 45B 35C. 35D 4510. 已知直线 l 过点 1,0A 且与 22: 2 0B x y x 相切于点 D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D ，其一条渐近线平行于 l ，则 E 的方程为 （ ） A 223 144B 223 122C. 2 25 13y xD 223 122格纸上小正方形的边长为 1，粗 线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ） A 43 B 42 C. 6 D 25 12. 已知函数 xf x x a e ，曲线 y f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 2,e B 2,0e C. 2 ,e D 2,0e 第 卷 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 1 , 3 , , 3a b m，且 ,则实数 m 0202 2 0 ，则 2z x y 的最小值为 22: 1 0a 的左、右焦点分别为12,、下顶点分别为12顶点为 A ，直线1 D，则 C 的离心率等于 s i n 04f x x 在 ,12 3上有最大值，但没有最小值，则 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 中，角 ,对边分别为 ,2 c o s 2b C c a. （ 1）求 B 的大小 ； （ 2）若 3a ，且 上的中线长为 192，求 c 的值 . 三棱柱1 1 1 B C中，侧面11 侧面111 1 1 1 60B A A C A A ， 1 4 , 1A A C A B . （ 1）求证：1 1 1 1A B B C； （ 2）求三棱柱1 1 1 B C的侧面积 . 一年投入资金 1000 万元，出售产品收入 40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80 万元，同时，当预计投入的资金低于 20 万元时，就按 20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等 . （ 1）求第 n 年的预计投入资金与出售产品的收入； （ 2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入） 20. 已知 点 1,0F ，直线 :1 ，直线 l 垂直 l 于点 P ，线段 垂直平分线交 l 于点 Q . （ 1）求点 Q 的轨迹 C 的方程 ； （ 2）已知点 1,2H ，过 F 且与 x 轴不垂直的直线交 C 于 ,线 ,H 分别交 l 于点 ,证：以 直径的圆必过定点 . 1,xf x a x e a R . （ 1）讨论 （ 2）当 0 时，证明： e n n e m . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1 : 2 c o ，曲线 22 : s i n 4 c o 轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 曲线 C 的参数方程为12232 （ t 为参数） . （ 1）求12, （ 2） C 与12,四点在 C 上的排列顺次为 , , ,P Q R S ，求 S 的值 . 等式选讲 已知函数 21f x x a x . （ 1）当 1a 时，解不等式 2； （ 2）求证： 12f x a. 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 15. 1416. 3,34三、解答题 1）因为 2 c o s 2b C c a，所以由余弦定理可得， 2 2 2222a b cb c ， 化简得 2 2 2a c b a c ， 所以 2 2 2 1c o c bB ， 因为 0,B ，所以 23B . （ 2） 由（ 1）得， 2 2 2 2 39b a c a c c c ， 又因为在 中， 2 2 2c o b cC ， 取 点 D ，连结 因为 193,2a B D， 在 中，222 2 2 1944c o C D B C D a b， 所以 222 199 2 944 ， 把代入，化简得 2 3 1 0 0 ， 解得 5c ，或 2c （舍去），所以 5c . 1） 取1 ，连结11,C. 01 1 1 1 14 , 6 0A A A C A C C A A ， 11正三角形， 11A，1 23 又侧面11 侧面11面11平面1 1 1 111 1面11 又11面111 1 1 B， 在11， 01 1 1 1 16 0 , 1 , 2O A B A B A B O A ， 201 1 4 2 1 2 c o s 6 0 ， 1 3 2 2 21 1 1 1O A O B A B，1 1 1A B 又11O B O C O，1面1 1 1, 平面11 11面11 又11面111 1 1 1A B B C. （ 2）依题意：1101 1 112 s i n 6 0 2 32A B B B A A ， 1101 1 1132 s i n 6 0 4 4 8 322A C C C A A ， 在平行四边形111 点 E ， 过 O 作1B于点 F ，则11 E. 由（ 1）知1面1 1 1, 平面11 11C，又1 1 1,B B O F O C O F O O C 平面1平面1 1面11, C F 平面111C F 又 01 1 13s i n 6 0 2B E A B， 在1C F中，1 23132O F B E， 2213 5 12322 ， 11 11 2 5 1B C C B C F. 综上，三棱柱的侧面积为 2 3 8 3 2 5 1 1 0 3 2 5 1 . 1）设第 n 年的投 入资金和收入金额分别为 依题意得，当投入的资金不低于 20 万元，即 20时， 111 , 8 0 22n n na a b b n ， 此时， 000，公比为 12的等比数列； 首项为 40，公差为 80 的等差数列， 所以， 111 0 0 0 , 8 0 4 02b n ， 令 20，得 12 50n ，解得 7n ， 所以，111 0 0 0 , 1 622 0 , 7 ， 8 0 4 0 , 1 64 4 0 , 7 . （ 2）由（ 1）可知当 16n时，总利润 211 0 0 0 124 0 8 0 4 0 12 0 0 0 4 0 2 0 0 0122 12 ， 所以 ，112 0 0 0 8 0 4 0 , 22 n n ， 因为 12 0 0 0 8 0 4 02xf x x 为增函数， 3 0 , 4 0， 所以，当 23n时，1；当 46n时，1， 又因为160 , 5 2 8 . 7 5 0 ， 所以，当 16n时， 0，即前 6 年未盈利， 当 7n 时， 6 7 7 8 8 5 2 8 . 7 5 4 2 0 6n n b a b a b a n ， 令 0，得 8n . 综上，预计该公司从第 8 年起开始盈利 . 1）依题意得 F ，即 Q 到直线 :1 的距离 与到点 F 的距离 相等， 所以点 Q 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线 . 设抛物线方程为 2 20y px p，则 2p ，即点 Q 的轨迹 C 的方程是 2 4. （ 2） 由题意可设直线 : 1 0A B x m y m ，代入 2 4，得 2 4 4 0y m y ， 设 221212, , ,44y B y ，则1 2 1 24 , 4y y m y y ； 又 1,2H ，设直线 ,H 的斜率分别为12, 则121222122244,221144 ， 设 1, , 1,y N y， 令 1x ，得 111228222 ， 同理，得 222228222 ， 从而 1 2 1 2121 2 1 2 1 24 2 42 2 2 2 4 4 2 4 4 42 2 2 4 4 2 4 4y y yy y y y y y y m ； 12882222 12114822 121 2 1 284424y y y 8 4 44 4 2 4 4m m 4m . 又以 直径的圆的方程为： 210y y y y ， 即 22 10M N M Ny y y y y y x ，即 22 42 3 0x x y ， 令2202 3 0yx x y ，解得 3x 或 1x ， 从而以 直径的圆恒过定点 3,0 和 1,0 . 1） ，且 1 xf x a x a e ， 当 0a 时， 0xf x e ，此时 , . 当 0a 时，由 0 ，得 1； 由 0 ，得 1. 此时 , ，单调增区间为 1 , . 当 0a 时，由 0 ，得 1； 由 0 ，得 1. 此时 , ，单调增区间为 1, . （ 2）当 0 时，要证： e n n e m ， 只要证： 11e n e ，即证： 11 .（ *） 设 1 ,0x ，则 211 ,0x ， 设 11xh x x e ， 由（ 1）知 0, 上单调递增， 所以当 0x 时， 00h x h，于是 0 ，所以 0, 上单调递增， 所以当 0 时，（ *）式成立， 故当 0 时， e n n e n . 1）因为 c o s , s i ， 由 2 得 2 2 co s ， 所以曲线1 2 211 ， 由 2s i n 4 c o s 得 22s i n 4 c o s ， 所以曲线22 4. （ 2） 不妨设四个交点自下而上依次为 , , ,P Q R S ，它们对应的参数分别为1 2 3 4, , ,t t t t. 把12232 代入 2 4， 得 23 4242，即 23 8 3 2 0 ， 则 21 8 4 3 3 2 4 4 8 0 ，1483， 把12232 ，代入 2 211 ， 得 22132 1 122 ，即 2 0 ， 则2 10 ，231 ， 所以 2 1 4 3 2 3 1 48 1 11 33P Q R S t t t