三角函数的奇偶性和对称性

三角函数的奇偶性和对称性 奇偶性 判断一个 三角函数 既不是 奇函数 又不是 偶函数 和判断 函数奇偶性 是一样的， 都是有两个条件（1）函数的 定义域 要关于 原点 对称（这是一个奇函数或偶函数的前 提条件） （2）在（1）成立的基础上判断 f(-x)=-f(x)成立，那函数一定是奇函数，若 f(- x)=f(x),那函数一定是偶函数 你所问的三角函数既不是奇函数又不是偶函数方法：上边（1）不满足的情况下，三角函 数既不是奇函数又不是偶函数；（1）条件满足就要看（2 ）条件当 f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)这 两个等式都不成立时，三角函数既不是奇函数又不是偶函数。 1 设函数 f(x)=sin2x,若 f(x+t)是偶函数，则 t 的一个可能值是 _ f(x+t)=sin(x+t)=sin(2x+2t) 若要使 f(x+t)为偶函数则： 2t=k+/2 所以： t=(1/2)*k+/4 2 （1 ）若 f(x)=sin(x+a)为偶函数，求 a 的值； (2)已知函数 sin(x+a)+更 3cos(x+a)为偶函数，求 a 的值 1.f(x)是 偶函数 ，则有 f(x)=f(-x),即 sin（x+a)=sin(-x+a), 所以 sinxcosa+cosxsina=- sinxcosa+cosxsina, sinxcosa=0 对 xR 恒成立. cosa=0 a=2+k,其中 kZ. 2.同上 ,f(x)=f(-x)，且 f(x)=sin(x+a)+3cos(x+a)=2sin(x+a+3）， 则同 1，有 a+3=2+k，kZ ， 即 a=6+k，kZ。 3 已知 f(x)是定义在（ -1，1）上的偶函数，且在（0 ，1 ）上为增函数，若 f（a-2)- f(4-a)0，求实数 a 的取值范围。 我光列了一个， a-2| |4-a| 应该能用两边平方来解 但我不会 应该还有别的不等式 我认为是 |a-2|-1 |4-a|1 对不？说说你们的做法 a-2| |4-a| a-2|（a-2）（a+2）| 当 a 不等于 2 时候 可以消去 （a-2） 1|a+2| 下面的|a-2|-1 |4-a|1 就不对了 2 应该是 a-2 4-a 都在定义域范围内 即 a-2 4-a2 都属于（-1，1 ） 5. y=sin(x+)+cos(x-)为偶函数的充要条件是 偶函数 充要条件是 f(x)=f(-x)即 sin(x+a)+cos(x-a)=sin(a-x)+cos(x+a)化简得 sinxcos(a)+sin(a)=0 则 a=45+k*180（k 属于 Z） 6 7 f(x)的定义域是 R f(x+1)和 f(x-1)都是奇函数 则（ ） Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)=(x+2) Df(x+3)是奇函数 有题干中两个函数为奇函数，可得 f(x)是周期为 4 的函数 一个函数如果有两个对称中心或两条对称轴，那这个函数就是周期函数，周期等于两对称 中心或对称轴距离的两倍 对称性 1.对称性 f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要 x 有一个正一个负.就有 对称性.至于对称轴可用吃公式求 X=a+b/2 如 f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4 等等.此公式对于那些未知方程 ,却知道 2 方程的关系的 都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程 f(x)=ax2+bx+c 对称轴 原函数与反函数的对称轴是 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不 仅仅是还有（！）度等等因为他的定义为 （）他的对称轴则是， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加 上平移的数量就可以了 如（）令则（）可见原方程是由初等函数向右移 动了个单位同样对称轴也向右移个单位（记住平移是左加右减的形式，如本 题的说明向由移） ，至于周期性首先也的从一般形式说起（）（） 注意此公式里面的都是同号，而不象对称方程一正一负此区别也是判断对称性还是 周期性的关键 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等当然 它们的最小周期分别是， ，当然 他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期如（） （ ） 3 但是如果是（）的话它的周期就是 因为加了绝对值之后轴下 面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周 y1=(sinx)2=(1-cos2x)/2 y2=(cosx)2=(1+cos2x)/2 上面的个方程（ ） 而对于 个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同 的周期如 y=sin2x+cosx 因为他们有一个公共周期 所以它的周期为 而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数如 y=sinx+cosx 则 三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它独特的对称性， 学生掌握情况不是很理想，我