专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)

圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 1页 专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨 迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电 粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且 出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 【典型题目练习】 1如图所示，在半径为 R 的圆形区域内充满磁感应强度为 B 的匀强 磁场，MN 是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点 P 垂直磁场射 入大量的带正电，电荷量为 q，质量为 m，速度为 v 的粒子，不考虑 粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ） A只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在 MN 上 B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D只要速度满足 ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上qBRvm 2如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m，O 、 e分别是ad 、 bc的中点，以e为圆 心eb为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心O d为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场) 磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310 -7kg、电荷 量q=+210 -3C的带正电粒子以速度v=510 2m/s沿垂直ad方向且 垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ） A从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D从ad边射人的粒子，出射点全部通过 b点 3如图所示，在坐标系 xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为 O1（a，0） ，圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线 y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x 轴 负方向的匀强电场，场强大小为 E，一质量为 m、电荷量为+q（q0）的粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿 x 轴方向时，粒子恰好从 O1 点正上方的 A 点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与 y 轴正方向的夹角； 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 2页 （3）若将电场方向变为沿 y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度 v 从 O 点垂直于 磁场方向、并与 x 轴正方向夹角 =300 射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场 的总时间 t。 4如图所示的直角坐标系中，从直线 x=2l0 到 y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有 界匀强电场，其中 x 轴上方的电场方向沿 y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。 在电场左边界从 A（2l 0， l0）点到 C（2l 0，0）点区域内，连续分布着电量为 +q、质量为 m 的粒子。从某时刻起，A 点到 C 点间的粒子依次连续以相同速度 v0 沿 x 轴正方 向射入电场。从 A 点射入的粒子恰好从 y 轴上 的 （0，l 0）点沿沿 x 轴正方向射出电场， 其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。 （1）求从 AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间 t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。 （2）求在 A、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿 x 轴正方向运动？ （3）为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线 x=2l0 上的某点为圆心的圆 形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿 x 轴正方向射出电场的 粒子经磁场偏转后，都能通过 x=2l0 与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多 大？相应的磁感应强度 B 是多大？ 5如图所示，在 xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为 r=0.1m 的圆 形磁场区域，磁感应强度 B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点 分别为 A、C；第四象限中，由 y 轴、抛物线 FG（ ，单位：m）和直210.5y 线 DH（ ，单位： m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E=2.5N/C0.425yx 的匀强电场；以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场 B2=0.5T。现有大量质量 m=110-6 kg（重力不计） ，电量大小为 q=210-4 C，速率均为 20m/s 的带负电的粒子从 A处 垂直磁场进入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在 0 至 1800 之间。 （1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径； （2）试证明这些粒子经过 x 轴时速度方向均与 x 轴垂直； 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 3页 （3）通过计算说明这些粒子会经过 y 轴上的同一点， 并求出该点坐标。 6如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场 区域、和两个直径为 L 的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为 E，区域的场 强方向沿 x 轴正方向，其下边界在 x 轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场 强方向沿 y 轴正方向，其上边界在 x 轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场 的磁感应强度大小均为 ，区域的圆心坐标为（0， ） 、磁场方向垂直于 xOy 平2mEqL2L 面向外；区域的圆心坐标为（0， ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为 m、电荷量均为 q 的带正电粒子 M、N，在外力约束下静止在坐标为（ ， ） 、 （32L ， ）的两点。在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，32L4 板面垂直于 xOy 平面。将粒子 M、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。 不计粒子的重力。求： （1）粒子离开电场时的速度大小。 （2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。 （3）粒子 N 在磁场中运动的时间。 7如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O1 在 x 轴上，OO 1 距离等于半圆磁场的半径，磁 感应强度大小为 B1。虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。在 MN 上方是正交的匀强电 场和匀强磁场，电场场强大小为 E，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B2。B 1，B 2 方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射入第 I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁场的粒子经过 P 点射入 MN 后，恰好在正交的 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 4页 电磁场中做直线运动，粒子质量为 m，电荷量为 q（粒子重力不计） 。求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。 （2）若撤去磁场 B2，则经过 P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。 （3）试证明：题中所有从原点 O 进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。 8如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应 强度大小 B=2.0103T，方向垂直于纸面向里，在 x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的 宽度 L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度 E=1.5103N/C，在 x=2m 处有一垂直 x 方向的足够 长的荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷 带负电的粒子，91.0/qCkgm 粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子 M，恰能从磁场与 电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： （1）粒子 M 进入电场时的速度。 （2）速度方向与 y 轴正方向成 30（如图中所示）射入磁 场的粒子 N，最后打到荧光屏上 ,画出粒子 N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。 9如图甲所示,质量 m=8.01025kg，电荷量 q=1.61015C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹角大于等于 30的范围内，粒子射入时的速度方 向不同，但大小均为 v0=2.0107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场, 磁感应强度大小 B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 y 轴平行的荧光屏 MN 上,并且 当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(=3.14)求： （1）粒子从 y 轴穿过的范围。 （2）荧光屏上光斑的长度。 （3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 （4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示） 。 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 5页 参考答案 1当 vB 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为 、mvRqB 的匀速圆周运动；只要速度满足 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁2mTq qBRvm 场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上，选项 D 正确。 2由 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从 Oa 入0.3vRB 射的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达 be，由于边 界无磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。 3解析：（1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时，几何关系知：r=a； 由 知： 2vqBmrvmqra （2）从 A 点进入电场后作类平抛运动； 沿水平方向做匀加速直线运动： 2xEv 沿竖直方向做匀速直线运动：v y=v0； 粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角：20tanxyEqavm （3）粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO 1PO2 构成菱形， 故粒子从 P 点的出射方向与 OO1 平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示； 粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为 1=600，粒子从 O 到 P 用时： 。163Tatv 由几何知识可知，粒子由 P 点到 x 轴的距离 ；1sin2Sa 粒子在电场中做匀变速运动的时间： ；2mvtEq 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间： ；3()(23)aSatvv 粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从 Q 点射出， O1QO3 构成菱形；由几何知识可知 Q 点 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 6页 在 x 轴上，即为（2a，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角 2=1200，粒子从 P 到 Q 用时： ；43Ttv 粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间： 。1234(3)2amvttvEq 4解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有 0ltv 从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知 201()qlm 解得 20028mlvEqt （2）设距 C 点为 处入射的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，第一次达 x 轴用时 ，有y t 水平方向 0xvt 竖直方向 21()Em 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿 x 轴正方向，有 （n 02lnx =1，2，3，） 解得： 2021()qlynvn 即在 A、C 间入射的粒子通过电场后沿 x 轴正方向的 y 坐标为 （n 021ln =1，2，3，） （3）当 n=1 时，粒子射出的坐标为 10yl 当 n=2 时，粒子射出的坐标为 24 当 n3 时，沿 x 轴正方向射出的粒子分布在 y1 到 y2 之间（如图） y1 到 y2 之间的距离 为 ；12054Lyl 则磁场的最小半径为 0528LlR 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子 的运动半径与磁场圆的半径相等（如图） ， 轨迹圆与磁场圆相交，四边形 PO1QO2 为 棱形，由 得： 200mvqBR05vql 5解析：（1）由 知： 211.mRB （2）考察从 A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从 K 点离开磁场，O 1 和 O2 分别是磁 场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此 O1AO2K 为菱形， 离开磁场时速度垂直于 O2K，即垂直于 x 轴，得证。 （3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y 1）,离开电 A O x y v0 E E C A x=2l 0 C x=2l0 O1 O2 P Q 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 7页 场时的坐标为（x，y 2）,离开电场时速度为 v2； 在电场中运动过程，动能定理： 21()Eqymv 其中 ， 解得 v2=100x210.5yx20.45x 在 B2 磁场区域做圆周运动的半径为 R2，有 解得 R2=x22qB 因为粒子在 B2 磁场区域圆周运动的半径刚好为 x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在 y 轴上；又因 v2 的方向与 DH 成 45，且直线 HD 与 y 轴的夹角为 450，则所有粒子在此磁场 中恰好经过四分之一圆周后刚好到达 H 处，H 点坐标为（ 0，0.425） 。 6解析：（1）粒子在区域中运动，由动能定理得 解得21EqLmv02EqLvm （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 ，又有 ，解得 200vqBrBq0mvLrqB 因 M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故 M 在磁场中运动四分之一个 周期后经过原点进入磁场，再运动四分之一个周期后平行于 x 轴正方向离开磁场，进入 电场后做类平抛运动。 假设 M 射出电场后再打在 x 轴的感光板上，则 M 在电场中运动的的时间 （1 分）0Ltv 沿电场方向的位移 （2 分）2201()4Eqyatmv 假设成立，运动轨迹如图所示。 沿电场方向的速度 2yLat 速度的偏向角 01tnv 设射出电场后沿 x 轴方向的位移 x1，有 24tan L M 击中感光板的横坐标 ，位置坐标为（2L，0） （1 分）2L （3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得 N 将从 b 点进入磁场，从原 点 O 离开磁场进入磁场 ，然后从 d 点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 8页 在磁场中，由几何关系 34cos2L 则 =300，圆弧对应的圆心角 =1800300=1500 粒子在磁场中运动的周期 02 LmTvqE 粒子在磁场中运动的时间 1536t 由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等； 故粒子在磁场中运动的时间 12mLtqE 7解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有 02qvB 解得 02EvB 粒子在磁场 B1 中匀速圆周运动，有 2001vqBmR 解得 012mvERq 由题意知粒子在磁场 B1 中圆周运动半径与该磁场半径相同，即 12mEqB （2）撤去磁场 B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有 水平方向匀加速 2EqRtm 竖直方向匀速 0221yvtBB 从 y 轴出电场的坐标为 0212()EyRvtq （3）证明：设从 O 点入射的任一粒子进入 B1 磁场时，速度方向与 x 轴成 角，粒子出 B1 磁场与半圆磁场边界交于 Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形 OO1O2Q 四条 边等长是平行四边形，所以半径 O2Q 与 OO1 平行。所以从 Q 点出磁场速度与 O2Q 垂直， 即与 x 轴垂直，所以垂直进入 MN 边界。进入正交电磁场 E、B 2 中都有 故做直0qv 线运动。 8解析：（1）由沿 y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可 知粒子 M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 R=r=0.5m。 圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 9页 粒子 M 在磁场中匀速圆周运动有： 2vqBmR 解得 610/qBRvsm （2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子 N 在磁场中转过 120角后从 P 点垂直 电场线进入电场，运动轨迹如图所示。 在电场中运动的加速度大小 12.50/Eqams 穿出电场的竖直速度 7.yLvt 速度的偏转角 tan0.5 在磁场中从 P 点穿出时距 O 点的竖直距离 1.50.7yrm 在电场中运动沿电场方向的距离 2