【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 不等式（课时作业+单元测试）（打包11套）苏教版必修5
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 不等式（课时作业+单元测试）（打包11套）苏教版必修5,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,不等式,课时,作业,功课,单元测试,打包,11,十一,苏教版,必修
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1 等关系 课时目标 并能运用这些性质解决有关问题 1 比较实数 a， b 的大小 (1)文字叙述 如果 a b 是正数 ， 那么 如果 a b 等于 _， 那么 a b； 如果 a b 是负数 ， 那么 反之也成立 (2)符号表示 a b0 a b 0 a bb称性 )； (2)ab， bc递性 )； (3)aba c(可加性 )； (4)ab， c0ab， cda d； (6)ab0， cd0 (7)ab0， n N， n2 (8)ab0， n N， n2 n b. 一 、 填空题 1 若 f(x) 3x 1， g(x) 2x 1， 则 f(x)与 g(x)的大小关系是 _ 2 若 a， b， c R， ab， 则下列不等式成立的是 _ 1 1 1； a|c|b|c|. 3 若 x R， 则 2的大 小关系为 _ 4 设 n1， n N， A n n 1， B n 1 n， 则 A 与 B 的大小关系为 _ 5 已知 a、 b 为非零实数 ， 且 a1 ， M 1)， N 1)， 则 M， N 的大小关系为 _ 8 若 abc 且 a b c 0， 则下列不等式中正确的是 _ ab ac a|b|c|b|； a2b29 设 a， b R， 若 a |b|0， 则下列不等式中不正确的是 _ b a0； 10 已知三个不等式： ， ， (其中 a、 b、 c、 d 均为实数 )用其中两个不等式作为条件 ， 余下的一个不等式作为结论组成一个命题 ， 可组成的正确命题的个数是 _ 二 、 解答题 11 设 ab0， 试比较 2 12 设 f(x) 1 g(x) 2其中 x 0 且 x1 ， 试比较 f(x)与 g(x)的大小 能力提升 13 若 00ab； a b 0a b； a b 0 (3) (4) (6) (7) (8) 作业设计 1 f(x)g(x) 解析 f(x) g(x) 2x 2 (x 1)2 10， f(x)g(x) 2 解析 对 ，若 ab， 1 不成立； 对 ，若 a 1， b 2，则 1 1恒成立， 正确； 对 ，当 c 0 时， a|c| b|c|， 不成立 3. 12 解析 12 2x 1 2 0. 12. 4 AB 解析 A 1n n 1， B 1n 1 n n n 1B. 5 解析 对于 ，在 ， ， 1ab. c a t t(1) t(t 1)(t 1)， 又 10， ca.cab. 7 MN 解析 当 a1 时， 11， 此时， y x 为 R 上的增函数 ， 1)1)， 当 01)， a0 且 a1 时 ， 总有 MN. 8 4 解析 由 abc 及 a b c 0 知 a0， c ab9 解析 由 a|b|得 且 a b0. b 错而 (a b)(a b)0. 错 10 3 解析 0， 所以下列三个命题都成立： ca； ca； ca. 11 解 方法一 作差法 b2a ba b a b b2 a b a b a b 2 b2 a b 2ab a b ab0， a b0， a b0,2. 2ab a b 0， b2a b. 方法二 作商法 ab0， ，a b0. b a 2 12. b2a b. 12 解 f(x) g(x) 1 2 当 0 x 1，3 1，或 x 1，0 3 1， 即 1 x 43时 ， 0， f(x) g(x)； 5 当 3 1， 即 x 43时 ， 0， 即 f(x) g(x)； 当 0 x 1，0 3 1， 或 x 1，3 1，即 0 x 1， 或 x 43时 ， 0， 即 f(x) g(x) 综上所述 ， 当 1 x 43时 ， f(x) g(x)； 当 x 43时 ， f(x) g(x)； 当 0 x 1， 或 x 43时 ， f(x) g(x) 13 解析 方法一 特殊值法 令 14， 34， 14， 34， 则 1016 58， 616 38， 616 38， 581238， 最大的数应是 方法二 作差法 1 1 b1 00， ( 12 212 1) 12(21) (21) 2 2 2 2 0， 2. 综上可知 ， 最大的数应为 14 解 5(24x 2z 2) 6 44x 1 22z 1 (2x 1)2 (x y)2 (z 1)20 ， 5 4x 2z 2， 当且仅当 x y 12且 z 1 时取到等号 1 元二次不等式 (一 ) 课时目标 一元二次方程之间的相互关系 1 一元一次不等式 一元一次不等式经过变形 ， 可以化成 axb (a0) 的形式 (1)若 a0， 解集为 _； (2)若 a0)； (2) 3 一元二次不等式与二次函数 、 一元二次方程的关系如下表所示： 判别式 4 0 0 0)的图象 一元二次方程 c 0(a0)的根 c0 (a0)的解集 R 解集 一 、 填空题 1 不等式 6x 20 的解集是 _ 2 一元二次方程 c 0 的根为 2， 1， 则当 解集是 _ 5 不等式 10 的解集是 _ 8 在 R 上定义运算 ： a b 2a b， 则满足 x (x 2)f(1)的解集是 _ 2 二 、 解答题 11 若不等式 c0 的解集为 x| 13 x2 ， 求关于 x 的不等式 能力提升 13 已知 a1a2， 则使得 (1 (2) x|x0，6x0 ， x 6 或 x2. 4 x|5 x| 3 3 52 解析 x 1 x 12 2 340， (x 1)(x 1)0 可转化为 解不等式 x 10， 由求根公式知 ， 1 52 ， 1 52 . x 10 的解集是x|52 . 原不等式的解集为x|52 . 8 ( 2,1) 解析 x (x 2) x(x 2) 2x x 20. 当 m 2 时 ， 40， x R； 当 解得 x3 或 0 解得 3f(1)的解是 ( 3,1) (3， ) 11 解 由 c0 的解集为 x| 13 x2 ， 知 又因为 形为 (x a)(x 0. a a(a 1) 当 ， 当 0a 当 a 0 或 1 时 ， 解集为 x|x R 且 x a 综上知 ， 当 ， 不等式的解集为 x| 当 0a； 当 a 0 或 1 时 ， 不等式的解集为 x|x R 且 x a 13. 0， 2由 (1 a2. 02 00 时 ， x 2a或 x 1； 当 20 时 ， 解集为 x|x 2a或 x 1 ； 当 a 0 时 ， 解集为 x|x 1 ； 当 2a0 时 ， 解集为 x|2a x 1 ； 当 a 2 时 ， 解集为 x|x 1 ； 当 a 2 时 ， 解集为 x| 1 x 2a . 1 元二次不等式 (二 ) 课时目标 组 )的简单分式不等式 解与一元二次不等式有关的恒成立问题 1 一元二次不等式的解集： 判别式 4 0 (a0) (1)f xg x 0_； (2)f xg x 0 _； (3)f xg x af x ag xg x 0. 3 处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况： c0 (a0) 恒成立 _； c0 ( a0) 恒成立 _. (2)一般地 ， 若函数 y f(x)， x D 既存在最大值 ， 也存在最小值 ， 则： af(x)， x D 恒成立 _； 解集是 _ 2 不等式 (x 1) x 20 的解集是 _ 3 不等式 2x 2x 10 的解集为 ( ， 1) (4， ) ， 则实数 a _. 7 若不等式 2x a0 恒成立 ， 则实数 a 的取值范围是 _ 8 若全集 I R， f(x)、 g(x)均为 x 的二次函数 ， P x|f(x)0，2k x 5p. (1)如果不等式当 |p|2 时恒成立 ， 求 x 的取值范围； (2)如果不等式当 2 x4 时恒成立 ， 求 p 的取值范围 1 解分式不等式时 ， 一定要等价变形为一边为零的形式 ， 再化归为一元二次不等式 (组 )求解若不等式含有等号时 ， 分母不为零 2 对于有的恒成立问题 ， 分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以 分离后 ， 问题往往会转化为函数问题 ， 从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时 ， 经常要用到下述简单结论： (1)af(x)恒成立 af(x)(2)x|x R且 x R x|2) f x g xg x 3 (1) a0 f(x) ， x2 或 x 2 时 ， 原不等式变为 x 10 ， 即 x1. 不等式的解集为 x|x1 或 x 2 3 x|x 2 解析 x 1 (x 12)2 34恒大于 0， 原不等式 2x 20(x 2)20， x 2. 不等式的解集为 x|x 2 4 12， 1) (1,3 解析 x 5x 22 x x 2x 10 12 x3 ，x1 ， x 12， 1)(1,3 5 6 解析 解不等式 (x 1)20(x 1)(x a)0(x 1)(x 4)0， a 4. 7 a1 解析 4 4a0 ， a1. 8 P 析 g(x)0 的解集为 Q， 所以 g(x)0 0 03 解析 设 g(a) (x 2)a (4x 4)， 4 g(a)0 恒成立且 a 1,1 g 3x 20g 5x 60 11 解 由题意可列不等式如下： 20 52t 24 000 t%9 000 3 t5. 所以 t%应控制在 3%到 5%范围内 12 解 由 x 20， 可得 x 20，2k x 5 令 f(p) (x 1)p 2x 1， 则 f(p)的图象是一条直线又 |p|2 ， 2 p2 ， 于是得： f ，f 即 x 2x 10，x 2x 10. 即 4x 30，10. x3 或 x 2x 1， 2 x4 ， x 10. p 2x 1x 1 1 x. 由于不等式当 2 x4 时恒成立 ， p(1 x) x4 ， (1 x) 1， 于是 p 1. 故 p 的取值范围是 p 1. 1 元一次不等式表示的平面区域 元一次不等式组表示的平面区域 课时目标 组 )表示的平面区域 1 二元一次不等式 (组 )的概念 含有 _未知数 ， 并且未知数的次数是 _的不等式叫做二元一次不等式 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 _ 2 二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中 ， 二元一次不等式 C0 表示直线 _某一侧所有点组成的平面区域 ， 把直线画成 _以表示区域不包括边界 不等式 C0 表示的平面区域包括边界 ， 把边界画成 _ 3 二元一次不等式 (组 )表示平面区域的确定 (1)直线 C 0 同一侧的所有点的坐标 (x， y)代入 C 所得的符号都_ (2)在直线 C 0 的一侧取某个特殊点 ( 由 _的符号可以断定 C0 表示的是直线 C 0 哪一侧的平面区域 一 、 填空题 1 已知点 ( 1,2)和 (3， 3)在直线 3x y a 0 的两侧 ， 则 a 的取值范围是 _ 2 如图所示 ， 表示满足不等式 (x y)(x 2y 2)0 的点 (x， y)所在的区域为 _ 3原点与点 (1,1)有且仅有一个点在不等式 2x y a0 表示的平面区域内 ， 则 a 的取值范围为 _ 4 不等式组 4x 3y12 ，x y 1，y0表示的平面区域内整点的个数是 _个 5 若平面区域 D 的点 (x， y)满足不等式组 x 2 x y0x y0， 则平面区域 D 的面积是_ 2 6 在平面直角坐标系中 ， 不等式组 x y0 ，x y 40 ，x a(a 为常数 )表示的平面区域的面积是 9， 那么实数 a 的值为 _ 7 若不等式组 x0 ，x 3y4 ，3x y4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分 ， 则 k 的值是 _ 8 三个顶点坐标为 A(3， 1)， B( 1,1)， C(1,3)， 则 内部及边界所对应的二元一次不等式组是 _ 9 设点 A(5,6)， B( 2,0)， C(1， 2)为坐标平面上的三点 ， 点 P(k， k 1)在 则 k 的取值范围是 _ 10 若 A 为不等式组 x 0，y0 ，y x2表示的平面区域 ， 则当 a 从 2 连续变化到 1 时 ，动直线 x y a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 _ 二 、 解答题 11 已知实数 x， y 满足 x y x y1 x4 ， 求 2 的取值范围 12 利用平面区域求不等式组 x3y26x 7y50的整数解 能力提升 3 13 若不等式组 x y0 ，2x y2 ，y0 ，x y 则 a 的取值范围是_ 14 设不等式组 x y 110 ，3x y 30 ，5x 3y 90表示的平面区域为 y 上存在区域 D 上的点 ， 则 a 的取值范围是 _ 1 二元一次不等式 (组 )的解集对应着坐标平面的一个区域 ， 该区域内每一个点的坐标均满足不等式 (组 )常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分 2 画平面区域时 ， 注意边界线的虚实问题 3 求平面区域内的整点个数时 ， 要有一个明确的思路不可马虎大意 ， 常先确定 x 的范围 ， 再逐一代入不等式组 ， 求出 y 的范围最后确定整数解的个数 4 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 3 元一次不等式表示的平面区域 3 元一次不等式组表示的平面区域 答案 知识梳理 1两个 1 二元一次不等式组 C 0 虚线 实线 3 (1)相同 (2)C 作业设计 1 ( 1,6) 解析 由题意知， ( 3 2 a)(9 3 a)0 等价于不等式组 x y0，x 2y 20 或不等式组 x 10 原点 (0,0)不在该区域内，点 (1,1)在该区域内， 则 a0a 10 ， 102x y 40，把点 P(k， k 1)的坐标代入不等式组解得 1543时，表示区域是 当 x y a 过 B(1,0)时表示的区域是 时 a 1； 当 01， y 点时，由 9，得 a 3. 要满足题意， 需满足 ，解得 1a3. 1 单的线性规划问题 (一 ) 课时目标 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x， y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由 x， y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x， y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x， y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 (x， y) 可行域 约束条件表示的平面区域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在 _条件下的最大值或最小值问题 一 、 填空题 1 若实数 x， y 满足不等式组 x 3y 30 ，2x y 30 ，x y 10 ，则 x y 的最大值为 _ 2 已知点 P(x， y)的坐标满足条件 x y4 ，y x，x1 ，则 _ 3 设变量 x， y 满足约束条件 x y3 ，x y 1，2x yz 2x 3y 的最小值为_ 4 已知 1x y4 且 2x y3， 则 z 2x 3y 的取值范围是 _ (答案用区间表示 ) 5 已知实数 x， y 满足 x 2y 50 ，x1 ，y0 ，x 2y 30 ，则 _ 6 设变量 x， y 满足约束条件 x y 20 ，x 5y 100 ，x y 80 ，则目标函数 z 3x 4y 的最大值和最小值分别为 _和 _ 7 在坐标平面上有两个区域 M 和 N， 其中区域 Mx， y y0y x， 区域N (x， y)|t x t 1,0 t1 ， 区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示 ， 则f(t)的表达式为 _ 2 8 设不等式组 x1 ，x 2y 30y x， 所表示的平面区域是 1， 平面区域 2与 1关于直线 3x 4y 9 0 对称对于 1中的任意点 A 与 2中的任意点 B， 则 最小值为_ 二 、 解答题 9 线性约 束条件 x 3y12x y103x y12下 ， 求 z 2x y 的最大值和最小值 10 已知 2x y 503x y 50x 2y 50， 求 能力提升 11 已知实数 x， y 满足 x y x y1 x4 ， 求 2 的取值范围 12 已知实数 x、 y 满足 2x y 20x 2y 403x y 30， 试求 z y 1x 1的最大值和最小值 3 1 作不等式组表示的可行域时 ， 注意标出相应的直线方程 ， 还要给可行域的 各顶点标上字母 ， 平移直线时 ， 要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较 ，确定最优解 2 在解决与线性规划相关的问题时 ， 首先考虑目标函数的几何意义 ， 利用数形结合方法可迅速解决相关问题 3 单的线性规划问题 (一 ) 答案 知识梳理 线性约束 作业设计 1 9 解析 画出可行域如图： 当直线 y x z 过点 A 时， z 最大 由 2x y 3 0，x y 1 0 得 A(4,5)， 4 5 9. 2. 10 解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 4 易得 A(1,1)， | 2， B(2,2)， | 2 2， C(1,3)， | 10. (y2)| ( 10)2 10. 3 7 解析 作出可行域如图所示 由图可知， z 2x 3y 经过 点 A(2,1)时， z 有最小值， z 的最小值为 7. 4 (3,8) 解析 由 1x y4，2x y3 得平面区域如图阴影部分所示 由 x y 1，x y 3 得 x 1，y 2. 由 x y 4，x y 2 得 x 3，y 1. 23 31 z 2x 3y21 3( 2)， 即 3z8，故 z 2x 3y 的取值范围是 (3,8) 5 2 解析 画出不等式组 x 2y 50 ，x1 ，y0 ，x 2y 30对应的平面区域 ， y 0x 0表示平面区域 上的点 P(x， y)与 原点的连线的斜率 A(1,2)， B(3,0)， 0 . 5 6 3 11 解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知 z 3x 4y 经过点 A 时 z 有最小值，经过点 B 时 z 有最大值易求 A(3,5)， B(5,3) z 最大 35 43 3， z 最小 33 45 11. 7 f(t) t 12 解析 作出不等式组 y0y 由 t x t 1,0 t1 ，得 f(t) S S S 1 1212(1 t)2 t 12. 8 4 解析 如图所示由约束条件作出可行域，得 D(1,1)， E(1,2)， C(3,3) 要求 (AB)通过求 D、 E、 C 三点到直线 3x 4y 9 0 距离 最小值的 2 倍来求 经分析， D(1,1)到直线 3x 4y 9 0 的距离 d |31 41 9|5 2 最小， (AB)4. 6 9解 如图作出线性约束条件 x 3y12x y103x y12下的可行域，包含边界：其中三条直线中 x 3y 12 与 3x y 12 交于点 A(3,3)， x y 10 与 x 3y 12 交于点 B(9,1)， x y 10 与 3x y 12 交于点 C(1,9)， 作一组与直线 2x y 0 平行的直线 l： 2x y z， 即 y 2x z，然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为 z，当 l 经过点 B 时， z 取最小值，此时 z 最大，即 29 1 17；当 l 经过点 C 时， z 取最大值，此时 z 最小，即 21 9 7. 17， 7. 10解 作出不等式组 2x y 503x y 5 0x 2y 50的可行域如图所示， 由 x 2y 5 02x y 5 0 ，得 A(1,3)， 由 x 2y 5 03x y 5 0 ，得 B(3,4)， 7 由 3x y 5 02x y 5 0 ，得 C(2,1)， 设 z 它表示可 行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点 意到 原点到点 C 的距离最小故 | 25， | 5. 11解 作出可行域如图， 由 (x 0)2 (y 0)2， 可以看作区域内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线 x y 6 0 的距离的平方， 即 大值为 其中 A(4,10)， |0 0 6|12 12 62 3 2， 42 102 116， (2)(3 2)2 2 18 2 16， (2)( 116)2 2 116 2 114， 16 2114. 即 2 的取值范围为 16 2114. 12解 由于 z y 1x 1 y x ， 所以 z 的几何意义是点 (x， y)与点 M( 1， 1)连线的斜率， 因此 y 1x 1的最值就是点 (x， y)与点 M( 1， 1)连线的斜率的最值， 结合图可知，直线 斜率最大，直线 斜率最小，即 3，此时 x 0， y 2； 12，此时 x 1， y 0. z 的最大值为 3，最小值为 12. 1 单的线性规划问题 (二 ) 课时目标 1 用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数 (直线 )求出最优解； 根据实际问题的需要 ， 适当调整 最优解 (如整数解等 ) 2 在线性规划的实际问题中 ， 主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力 、 物力资源 ， 问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大 ， 收到的效益最大；二是给定一项任务 ，问怎样统筹安排 ， 能使完成的这项任务耗费的人力 、 物力资源最小 一 、 填空题 1 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 甲 、 乙产品每千克可获利润分别为 初一次性购进本月用的原料 A、 B 各 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大在这个问题中 ， 设全月生产甲 、 乙两种产品分别为x 千克 、 y 千克 ， 月利润总额为 z 元 ， 那么 ， 用于求使总利润 z 大的数学模型中 ， 约束条件为 _ 阴影部分且包括边界 )， 若使目标函数 z y (a0) 取得最大值的最优解有无穷多个 ， 则 a 的值为 _ 3 某公司有 60 万元资金 ， 计划投资甲 、 乙两个项目 ， 按要求对项 目甲的投资不小于对项目乙投资的 23倍 ， 且对每个项目的投资不能低于 5 万元 ， 对项目甲每投资 1 万元可获得 元的利润 ， 对项目乙每投资 1 万元可获得 元的利润 ， 该公司正确规划投资后 ， 在这两个项目上共可获得的最大利润为 _万元 4 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品 ， 由乙车间加工出 B 产品 ， 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时 ， 可加工出 7 千克 A 产品 ， 每千克 A 产品获利 40 元 ， 乙车间加工一箱原料耗费工时 6 小时 ， 可加工出 4 千克 B 产品 ， 每千克 B 产品获利 50 元甲 、乙两车间每天共能完 成至多 70 箱原料的加工 ， 每天甲 、 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时 ， 甲 、 乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料 _箱 ，乙车间加工原料 _箱 5 某公司租赁甲 、 乙两种设备生产 A， B 两类产品 ， 甲种设备每天能生产 A 类产品 5件和 B 类产品 10 件 ， 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件已知设备甲每天的租赁费为 200 元 ， 设备乙每天的租赁费为 300 元 ， 现该公司至少要生产 A 类产品50 件 ， B 类产品 140 件 ， 所需租赁费最少为 _元 2 6 某公司招收男职员 x 名 ， 女职员 y 名 ， x 和 y 需满足约束条件 5x 11y 22，2x 3y9 ，2x11 ，则 z 10x 10y 的最大值是 _ 7 某工厂有甲 、 乙两种产品 ， 按计划每天各生产不少于 15 吨 ， 已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨 ， 电力 4 千瓦 ， 劳动力 3 个 (按工作日计算 )；生产乙产品 1 吨需煤 4 吨 ， 电力 5千瓦 ， 劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元 ， 乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤量不得超过 300 吨 ， 电力不得超过 200 千瓦 ， 劳动力只有 300 个 ， 当每天生产甲产品 _吨 ， 乙产品 _吨时 ， 既能保证完成生产任务 ， 又能使工厂每天的利润最大 8 如图所示 ， 目标函数 z y 的可行域为四边形 点 B(3,2)是目标函数的最优解 ， 则 k 的取值范围为 _ 二 、 解答题 9 医院用甲 、 乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质 ， 售价 3 元；乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质 ， 售价 2元若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质 试问：应如何使用甲 、 乙原料 ，才能既满足营养 ， 又使费用最省？ 10 某家具厂有方木料 90 五合板 600 准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料 0.1 五合板 2 生产每个书橱需要方木料 0.2 五合板 1 出售一张方桌可获利润 80 元 ， 出售一个书橱可获利润 120 元 (1)如果只安排生产书桌 ， 可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱 ， 可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 能 力提升 11 在如图所示的坐标平面的可行域内 (阴影部分且包括边界 )， 目标函数 z x 得最小值的最优解有无数个 ， 则 a 的一个可能值为 _ 12 要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格 ， 每张钢板可同时截得三种规格的 3 小钢板的块数如下表所示： 规模类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别至少为 15、 18、 27 块 ， 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 ， 且使所用钢板张数最少？ 1 画图对解决线性规划问题至关重要 ， 关键步骤基本上是在图上完成的 ， 所以作图应尽可能准确 ， 图上操作尽可能规范 2 在实际应用问题中 ， 有些最优解往往需要整数解 (比如人数 、 车辆数等 )而直接根据约束条件得到的不一定是整数解 ， 可以运用枚举法验证求最优整数解 ， 或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个 ， 应具体情况具体分析 3 单的线性规划问题 (二 ) 答案 作业设计 1 c1，c2，x0 ，y02 35 解析 由 y z 知当 a 优解有无穷多个 35， a 35. 3 析 设投资甲项目 x 万元，投资乙项目 y 万元， 4 可获得利润为 z 万元，则 x y60 ，x 23y，x5 ，y5 ，z 由图象知，目标函数 z A 点取得最大值 4 6 元 ) 4 15 55 解析 设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，由题意可知 x y70 ，10x 6y480 ，x0 ，y两车间每天总获利为 z 280x 200y. 画出可行域如图所示 点 M(15,55)为直线 x y 70 和直线 10x 6y 480 的交点，由图象知在点 M(15,55)处z 取得最大值 5 2 300 解析 设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台，则 5x 6y50 ，10x 20y140 ，x N*，y N*z 200x 300y. 作出其可行域，易知当 x 4， y 5 时， z 200x 300y 有最小值 2 300 元 6 90 5 解析 该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于 x， y N*，计算区域内与点 112 ， 92 最近的整点为 (5,4)，当 x 5， y 4 时， z 取得最大值为 90. 7 20 24 解析 设每天生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，总利润为 S 万元， 依题意约束条件为： 9x 4y300 ，4x 5y 200，3x 10y300 ，x15 ，y15 ，目标函数为 S 7x 12y. 从图中可以看出，当直线 S 7x 12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以 S 也取最大值 解方程组 4x 5y 200 0，3x 10y 300 0， 得 A(20,24)，故当 x 20， y 24 时， 720 1224 428(万元 ) 8. 2， 23 解析 y z.若 k0，则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0， 4)，不符合题意 ， y 1斜率 k 1 为使目标函数 z 取得最小值的最优解有无数个， 当且仅当斜率 1a 1a 13， a 3. 8 12解 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张 2x y15x 2y18x 3y27x0 ， y0. 作出可行域 (如图 )： (阴影部分 ) 目标函数为 z x y. 作出一组平行直线 x y t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x 3y 27和直线 2x y 15的交点 A 185 ， 395 ，直线方程为 x y 85 和 395 都不是整数，而最优解 (x， y)中， x， y 必须都是整数，所以可行域内点 185 ， 395 不 是最优解 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x y 12，经过的整点是 B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张两种方法都最少要截两种钢板共 12 张 1 本不等式的证明 课时目标 1 如果 a， b R， 那么 且仅当 _时取 “ ” 号 ) 2 若 a， b 都为 _数 ， 那么 a _ 且仅当 ， 等号成立 )， 称上述不等式为 _不等式 ， 其中 _称为 a， b 的算术平均数 ， _称为 a， b 的几何平均数 3 基本不等式的常用推论 (1) a (a， b R)； (2)当 x0时 ， x 1x_ ；当 ， _ ；当 ， 则 a， b， a 2b， 六个代数式用不等号 “2)， n 12 2 (3x 1 a 恒成立 ， 则 a 的取值范围为 _ 10 已知两个正数 x， y 满足 x y 4， 则使不等式 1x 4y m 恒成立的实数 m 的取值范围是 _ 二 、 解答题 11 设 a、 b、 c 都是正数 ， 求证： a b c. 2 12 abc， n N 且 1a b 1b c c， 求 n 的最大值 能力提升 13 已知不等式 (x y) 1x 9 对任意正实数 x， y 恒成立 ， 则正实数 a 的最小值为_ 14 已知 a， b， c 为不等正实数 ， 且 1. 求证： a b c2 以，最大的只能是a b 之一而 (a b) a(a 1) b(b 1)，又 00， y0， 2x 5y 2x ( x 2 时取等号 ) 5 3 解析 x0， y0 且 1 . 当且仅当 6 mn 解析 m (a 2) 1a 2 22 a 1a 2 2 4， n 222 x n. 7 b22析 0， 12， 2. b ( (b b(1 b) a(b a)0， b b228 2 4 解析 10 在 x ( 0， 1 上恒成立 a x 1x x 1x2 ， x 1x 2， a 2. 9. 15， 解析 x0， 3x 10，易知 a0. 3x 1x 1a， 1a x 1x 3. x0， x 1x 32 x 1x 3 5(x 1 时取 等号 )， 1a5. a 15. 10. ， 94 解析 x y 4， 1x 4y 14(x y) 1x 4y 14 5 4 14 5 2 4 94， 1x4y m 恒成立，只要 1x4y m，即94 m. 11证明 a、 b、 c 都是正数， 都是正数 2 c， 2 a， 2 b， 三式相加得 2 2( a b c)， 即 a b c. 12 解 abc， a b0， b c0， a c0. 1a b 1b c c， n a b a c. a c (a b) (b c)， 5 n a b b b a b b c ， n b b a c 2. b b a c2 b b a c 2(2b a c 时取等号 ) n4. n 的最大值是 4. 13 4 解析 只需求 (x y) 1x 最小值大于等于 9 即可， 又 (x y) 1x 1 a a a 1 2 a a 2 a 1，等号成立仅当a 以 ( a)2 2 a 19 ， 即 ( a)2 2 a 80 求得 a2 或 a 4(舍去 )，所以 a4 ，即 a 的最小值为 4. 14证明 1a 1b2 12 c， 1b1c2 12 a， 1c1a2 12 b， 2 1a 1b 1c 2( a b c)， 即 1a 1b 1c a b c. a， b， c 为不等正实数， a b c1a 1b 1c. 1 本不等式的应用 课时目标 )值问题 1 设 x， y 为正实数 (1)若 x y s(和 s 为定值 )， 则当 _时 ， 积 最 _值 ， 且这个值为 _ (2)若 p(积 p 为定值 )， 则当 _时 ， 和 x y 有最 _值 ， 且这个值为 _ 2 利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时 ， 需满足： (1)x， y 必须是 _； (2)求积 最大值时 ， 应看和 x y 是否为 _；求和 x y 的最小值时 ， 应看积否为 _ (3)等号成立的条件是否满足 利用基本不等式求最值时 ， 一定要注意三个前提条件 ， 这三个前提条件概括为 “ 一正 、二定 、 三相等 ” 一 、 填空题 1 函数 y x 1x 1 5 (x1)的最小值为 _ 2 已知点 P(x， y)在经过 A(3,0)， B(1,1)两点的直线上 ， 则 2x 4_ 3 已知 x 52， 则 f(x) 4x 52x 4 的最小值为 _ 4 函数 y 54的最小值为 _ 5 设 x 1， 则函数 y x xx 1 的最小值是 _ 6 已知正数 a， b 满足 a b 3 0， 则 最小值是 _ 7 已知 x0， y0， x 2y 28， 则 x 2y 的最小值是 _ 8 若 正数 ， 则 x 12y 2 y 12x 2的最小值是 _ 9 建造一个容积为 8 深为 2 m 的长方体无盖水池 ， 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元 ， 那么水池的最低总造价为 _元 10 函数 y x 3) 1 (a0， a1) 的图象恒过点 A， 若点 A 在直线 1 0上 ， 其中 ， 则 1m 2_ 二 、 解答题 11 已知 x0， y0， 且 1x 9y 1， 求 x y 的最小值 2 12 某种生产设备购买时费用为 10 万元 ， 每年的设备管理费共计 9 千元 ， 这种生产设备的维修费各年为：第一年 2 千元 ， 第二年 4 千元 ， 第三年 6 千元 ， 而且以后以每年 2千元的增 量逐年递增 ， 问这种生产设备最多使用多少年报废最合算 (即使用多少年的年平均费用最少 )? 能力提升 13 若关于 x 的不等式 (1 k2)x 4 的解集是 M， 则对任意实常数 k， 总有 _ 2 M,0 M； 2M,0M； 2 M,0M； 2M,0 M. 14 设正数 x， y 满足 x y a x 则 a 的最小值是 _ 1 利用基本不等式求最值必须满足 “ 一正 、 二定
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